精品解析：黑龙江省大庆市2027届高三一模数学试题

高三数学 2026.10 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，那么复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 6. 已知函数（，），若，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了满足员工的用餐需求，某公司开设了和两个不同风味的餐厅．员工甲每天要在公司餐厅吃午餐和晚餐，其中午餐是等可能地随机选择餐厅或餐厅用餐．如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为；如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为，则员工甲晚餐去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 当时，函数的值域为 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 11. 在平面内，为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线与圆：（）相切．若点为圆上的一个动点，点，，为抛物线上不同的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在点，使得为等边三角形 C. 若点到准线的距离为，则的最小值为 D. 若为等边三角形，且直线的斜率为，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是__________． 13. 已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— （1）完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ （2）将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为，，求的周长． 17. 已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）函数，若是的唯一极值点且是极小值点，求实数的取值范围； （3）函数，是否存在正实数，使得函数恰有三个零点，，，其中且，，成等差数列？若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 2026.10 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，那么复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数对应的点在第二象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 3. 已知非零向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量垂直计算求解. 【详解】因为非零向量，满足，且， 则， 则 4. 已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，则， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 由弦长公式可得，故D正确. 5. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为，则， 又因为，则，可得，即， 所以. 6. 已知函数（，），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数特征构造新函数，利用新函数的奇偶性性质求值. 【详解】根据题意构造新函数（，）， 因为，即，所以， 所以. 7. 为了满足员工的用餐需求，某公司开设了和两个不同风味的餐厅．员工甲每天要在公司餐厅吃午餐和晚餐，其中午餐是等可能地随机选择餐厅或餐厅用餐．如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为；如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为，则员工甲晚餐去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设员工甲午餐去餐厅用餐为事件，晚餐去餐厅用餐为事件， 则，，， 可得， 所以. 8. 在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过余弦定理判断底面三角形为直角三角形，结合外接球表面积求出直三棱柱的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，即，为直角三角形， 其外接圆圆心为中点，半径. 设直三棱柱的高为，直三棱柱外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点， 所以外接球半径满足. 由外接球表面积，得，则，解得. 以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则. . 设平面的法向量为， 则，即，令，则，即. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、B、C选项，利用不等式的性质，结合作差法即可判断；D选项，利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A：根据不等式性质，不等式两边同加上一个实数，不等号方向不变， 因此若，则，故A正确； 对于B：由可得，则，不等式两边同乘得，故B正确； 对于C：因为，由，得，又因为的符号不确定， 所以无法判断正负，即无法比较大小，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 当时，函数的值域为 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】首先应用辅助角公式及图象平移得，再由各项描述并结合正弦函数的性质及其图象依次分析各项的正误. 【详解】对于A选项，， 则的最小正周期，A正确； 对于B选项，当时，求得， 故函数的图象不关于点中心对称，B错误； 对于C选项，当时，则， 则，C正确； 对于D选项，由，则， 则在上单调递增且值域为， 在上单调递减且值域为， 要使在上有且仅有一个实数根，则，D错误. 11. 在平面内，为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线与圆：（）相切．若点为圆上的一个动点，点，，为抛物线上不同的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在点，使得为等边三角形 C. 若点到准线的距离为，则的最小值为 D. 若为等边三角形，且直线的斜率为，则的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线方程求出准线，进而求出圆心到准线的距离，根据相切得出的值；对于B，假设为等边三角形，推出与原点重合，无法构成三角形；对于C，根据抛物线定义得，故，得出的最小值；对于D，设，由的斜率为得，中垂线上存在点使为等边三角形，代入抛物线方程解得弦长，进而求出周长. 【详解】抛物线：的焦点为，准线， 对于A:圆心到准线的距离为，由相切得，正确； 对于B，若为等边三角形，则， 设在抛物线上，等于到准线的距离， 由得，此时，，矛盾，错误； 对于C，由抛物线定义，，故 （当在线段上、在线段上时取等号）， 验证取等可行：线段方程，与联立得， 解得，交点在线段上，正确； 对于D，设，，故， 记，则， 中点（由得）， 等边三角形的第三个顶点在中垂线上， 的方向向量为，中垂线方向向量为， 且，故或 将代入，化简得：无正解（舍）； 将代入，化简得：，故， 所以，周长为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的母线长度为，圆锥的高为，圆锥体积为， 而圆锥的侧面积是，可得，解得， 由勾股定理得， 则圆锥的体积为. 13. 已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意数列为首项为，公差为的等差数列，则，再利用裂项相消法求数列求和. 【详解】根据题意，，即， 即数列为公差为的等差数列， 由，则， 所以， 则， 所以数列的前10项和为 . 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】整理不等式，构造单调函数，利用单调性脱去外层函数，将原恒成立问题转化为求的最小值，进而求出的最大值． 【详解】由题意，，将两边同时除以得， ，即， 移项整理得， 构造函数，则， 由函数性质可知在上单调递增，所以，即， 不等式在上恒成立，等价于在上恒成立， 令，则， ，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，， ，即，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— （1）完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ （2）将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 【答案】（1）补全后的列联表如下： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 依据小概率值的独立性检验，能认为学生对AI的关注与性别有关联； （2）的分布列为： 1 2 3 均值. 【解析】 【分析】先补全2×2列联表，计算卡方统计量并与临界值比较完成独立性检验，再根据分层抽样规则确定样本构成，利用超几何分布求解X的分布列与均值. 【小问1详解】 首先补全列联表： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 女生不关注AI的人数为，男生关注AI的人数为，不关注AI的总人数为，总调查人数为, 提出零假设：学生对AI的关注与性别无关联, 代入卡方公式计算, 由于，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关联; 【小问2详解】 60名男生中关注AI的有40人，不关注AI的有20人，按比例分配分层抽样抽取6人时，抽取关注AI的人数为，不关注AI的人数为, 为从6人中抽3人时抽到关注AI的人数，服从超几何分布，可能取值为1,2,3, ,, , 因此的分布列为 1 2 3 所以 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. 【小问2详解】 由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 17. 已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，.理由如下： 因为，所以，. 设，，则， 因为点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）. 所以，即， 所以在棱上存在点，满足点到平面的距离为，此时. 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两平面所成角的余弦值. （3）利用空间向量，根据点到平面的距离确定点位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱是各棱长均为2的正三棱柱， 取中点，则两两垂直. 故可以为原点，所在射线分别为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以. 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又在直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【小问1详解】 设，由，所以的轨迹方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值． 19. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）函数，若是的唯一极值点且是极小值点，求实数的取值范围； （3）函数，是否存在正实数，使得函数恰有三个零点，，，其中且，，成等差数列？若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时， 在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） （3）存在，公差为 【解析】 【分析】（1）求导，分，，三类讨论，根据导数的正负判断其单调性； （2）对求导，令，分，两种情况分类讨论：当时，时，，在内存在零点，与是的唯一极值点矛盾，若，恒成立，符合题意； （3）化简，零点对应（需）或（需），恰有3个零点：1个负根，2个正根，需，根据三根成等差数列，设公差为，则，利用零点方程相除得到关系式并联立，化简求解. 【小问1详解】 ， 令，解得或， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，，所以当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，所以当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ， 则， 记， 若，当时，，故， 即存在使； 另一方面是的极小值点要求在内小于0，在内大于0， 即在两侧附近均大于0，由的连续性，在内必有零点，且为变号零点， 从而在该处变号，产生异于的极值点，与“是的唯一极值点”矛盾； 若，对任意，故 恒成立， 于是在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点且是极小值点， 综上，实数的取值范围为 【小问3详解】 因为为正实数， 所以 ， 令，则（需）或（需）， 若（需），设，方程化为， 因为，在上严格递增，且值域为， 故恰有一个负根， 若（需），， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为（在处取得）， 因为函数恰有三个零点，所以， 此时（需）恰有两个正根，且， 设等差数列公差为，则， 由相除，得：，故， 由与相除，， 故，即， 所以，化简得：，即， 解得（负值舍去），故， 此时，相应，满足恰有三个零点的条件， 故这样的正实数存在，所以此等差数列的公差为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $