精品解析：2026届黑龙江省绥化市海伦市第六中学第一次模拟考试高三数学试题

2026届黑龙江省绥化市海伦第六中学第一次模拟考试试题 高三数学 考试时间：150分钟 试卷满分： 150分 （适用地区：山西、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、贵州、云南、甘肃、新疆） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ） A. 177.5 B. 178 C. 178.5 D. 179 5. 若，则的值是（    ） A B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 10. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 11. 已知复数z满足，是z共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 13. 双曲线一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 是正三角形， 为棱 中点. （1）求证: 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 16. 已知函数（a为常数）． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 18. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届黑龙江省绥化市海伦第六中学第一次模拟考试试题 高三数学 考试时间：150分钟 试卷满分： 150分 （适用地区：山西、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、贵州、云南、甘肃、新疆） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得到集合 ，集合 ，所以由交集的运算得到. 【详解】由得到,则 ，由 ，则 所以集合 ，集合 ，所以 故选B 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而根据模长公式得. 【详解】复数， 故. 故选：D. 3. 在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底向量得到向量，然后即可求得. 【详解】，∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在直角中，，∴， ∴. 故选：C 4. 学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ） A. 177.5 B. 178 C. 178.5 D. 179 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得： 174，175，175，176，176，177，178，178，179，180， 因为，为整数，故取第个数与第个数的平均数， 即十名护旗手身高的分位数为， 故选：C. 5. 若，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值. 【详解】根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：B. 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C. 8. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D. 【详解】对于A，，故，又其定义域为R， 故为奇函数，故A正确； 对于B，，所以上，，单调递减； 在和上，，单调递增，故B错误； 对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误； 对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解， 且在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，根据方程求出参数值，再根据向量积的坐标表示，求出动点轨迹，进而求出符合条件的动点坐标即可. 【详解】变形为， 则，即， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以，从而点在直线上， 因为为线段的中点，，所以， 从而在以为直径的上，所以有， 此时，所以， 可得直线的斜率为， 因为满足，可知点在以为直径上，方程为. 若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于， 所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线. 联立，可得（负值舍去）， 所以，所求点坐标为. 故答案为：. 13. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】连接，如图所示： 因为，所以直线与所成角为（或其补角）， 因为平面，所以， 又底面为矩形，所以， 因为，平面，平面，而平面， 所以，所以均为直角三角形， 设，则，即， 因为点E为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛： （1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线； （2）锥体体积底面积高； （3）异面直线所成的角取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 是正三角形， 为棱 中点. （1）求证: 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点,连接,先证明四边形为平行四边形，所以，利用线面平行的判定定理得到平面 . （2）取AB中点O,连接PO,利用线面垂直的判定定理证明平面ABCD；过点A作,则平面ABCD； 以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面 与平面 夹角的余弦值即可 【小问1详解】 取中点,连接, 因为分别为PC，PB中点，所以, , 又因为，所以 所以四边形为平行四边形，所以 , 又因为平面，平面, 所以: 平面. 【小问2详解】 取AB中点O,连接PO, 因为 是正三角形，所以 , 又因为 则 ，所以, 又因为 , , 平面PAB, 所以平面PAB， 又因为平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD， 因为，平面PAB, 平面PAB平面ABCD 所以平面ABCD； 在平面PAB内过点A作,则平面ABCD； 如图所示，以A为原点，AB,AD,AM,分别为轴建立空间直角坐标系 则 ， 则 设平面的法向量为则 即 ，取 则 平面 的法向量为 ； 设平面 与平面 夹角为 ， 则 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 16. 已知函数（a为常数）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根， 从而得到，即， 又，故，且 令，则， ， 所以在上单调递减， 所以，即的值域为， 所以的范围是. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. （1）求双曲线C标准方程； （2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【小问1详解】 方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则， 双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 由题知直线斜率不为0，设过的直线为， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍）， 则直线MN的方程为. 18. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得. 19. 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）的最小值为9. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得曲线的方程为，联立，写出韦达公式，应用导数几何意义求切线方程，进而求点的轨迹方程； （2）（i）设，得到，， ，进而有、、，可得，最后应用对数的运算性质、等比数列的定义写出的通项；（ii）应用错位相减法求得，根据不等式能成立求参数值. 【小问1详解】 依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得，① 同理得的方程为，令，可得，② 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由①可知，， ①②可得. 于是可得，即，又因为，则， 于是，即，即， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，所以，所以. （ii）由（i）可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得 所以. 令，即. 当时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， ， 则满足不等式的的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $