上海市进才中学北校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期初三10月自适应练习数学学科 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 4. 已知线段，作线段，使，那么正确的作法是（ ）． A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标为__________． 9. 在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 10. 如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 11. 如图，，如果，那么_____． 12. 如果点、是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_____（填“”、“”或“”）． 13. 点是线段的黄金分割点，且厘米，那么__________厘米． 14. 二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 15. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 16. 如图，二次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，直线平行于轴，且与二次函数的图像交于点，则的面积为_____． 17. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知一个二次函数的图像与轴有两个交点，两个交点之间的距离为6，对称轴为直线，函数有最大值9，请求出这个二次函数的表达式． 19. 如图，，，，，求的长． 20. 一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． （1）请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）在第（1）小题的基础上，求的值． 21. 已知二次函数的图像如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． （1）求此抛物线的表达式； （2）结合图像填空： ①关于的一元二次方程的解是_____； ②不等式的解集为_____． 22. 如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）已知，求的值． 23. 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知（单位米）．同时，再建造一个周长为12米的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为米，加长后水池1的总面积为平方米，则关于的函数表达式为：；设水池2的边的长为米，面积为平方米，则关于的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是_____；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_____． （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（平方米），关于（米）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出的值． 24. 如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． （1）求抛物线的表达式； （2）过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 2026学年第一学期初三10月自适应练习数学学科 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】8 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】且 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】5 【17题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）①或；②或 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1）；或 （2）两个水池面积差的最大值为，此时 （3） 【24题答案】 【答案】（1）抛物线的表达式为 ． （2）①存在，点 的坐标为 ； ②点 的横坐标为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $