上海市青浦区第一中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测卷

内容：（初三数学）素养评估 一、选择题．（每小题4分，共24分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（每小题4分，共68分） 7. 已知，那么________． 8. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 9. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 10. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 11. 如图，，，，，则的长度是________． 12. 如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为____________． 13. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 15. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______． 16. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 17. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 三、解答题．（第18、19、20题每题分，第21、22题每题12分，第23、24题每题14分，共82分） 18. 已知二次函数（、、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 3 4 … … 10 2 5 … （1）直接写出的值________； （2）求出函数表达式： （3）求抛物线顶点坐标，写出开口方向和对称轴． 19. 如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，画出，使它与的位似比为；点的对应点的坐标为________； （2）用无刻度的直尺画出上的一点，使得（保留作图痕迹，写出结论） 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 22. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 23. 如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 24. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 内容：（初三数学）素养评估 一、选择题．（每小题4分，共24分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 二、填空题．（每小题4分，共68分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】15 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】> 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】32 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 三、解答题．（第18、19、20题每题分，第21、22题每题12分，第23、24题每题14分，共82分） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线 【19题答案】 【答案】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）9 【20题答案】 【答案】（1）如图，即为所求； ； （2）如图，点即为所求； 【21题答案】 【答案】（1） （2）这根材料的长度够用 【22题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【23题答案】 【答案】（1），， （2）①；②存在，， 【24题答案】 【答案】（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $