精品解析：上海市进才中学北校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期初三10月自适应练习数学学科 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 4. 已知线段，作线段，使，那么正确的作法是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：由可得，， A、由平行线分线段成比例可得，，则，故A正确； B、由平行线分线段成比例可得，，则，故B错误； C、由平行线分线段成比例可得，，则，故C错误； D、由平行线分线段成比例可得，，则，故D错误． 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 6. 如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象确定的符号及对称轴，结合二次函数性质逐项判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则．对称轴为直线，则，即．抛物线与轴交于负半轴，则． ，故①正确． ， ，故②正确． 对称轴为直线， 点与点关于直线对称， ，故③正确． 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为． 当时，， 当时，，故④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例关系和代数式的求值，通过比例关系变形代数式后代入求值，即可解题． 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 因此该二次函数的图像与轴的交点坐标为． 9. 在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例尺定义得到比例关系，计算实际距离后进行单位换算即可． 【详解】解：设这两地的实际距离是， 根据题意得 解得 ∵ ∴ 即这两地的实际距离是． 10. 如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴左侧为上升，判断抛物线开口方向，进而得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴． 11. 如图，，如果，那么_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先求出的长，再代入数据计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 12. 如果点、是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式得到开口方向和对称轴，比较两点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的函数值变化规律比较和的大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为， ∵，开口向下的抛物线上，点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∴． 13. 点是线段的黄金分割点，且厘米，那么__________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义得到比例关系，设未知数代入已知条件列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 即， 设厘米， 已知厘米， 则厘米， 代入得， 展开整理得， 解得或， ，大于线段的长度，不符合题意舍去， 厘米． 14. 二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】已知函数为二次函数，因此二次项系数不为0，函数图像与轴有两个交点，因此判别式大于0，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴，即， ∵二次函数图像与轴有两个交点 ∴判别式， 其中，，， 代入得： 展开计算得： ， 令，即 解得． 综上，实数的取值范围是且． 15. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据日盈利等于每件盈利乘以日销售量，建立与的二次函数关系，求二次函数的最大值点即可得到结果． 【详解】解：∵每件商品降价元， ∴降价后每件盈利为元，日销售量为件， 因此日盈利 ∵二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 因此每件商品降价元时日盈利最大． 16. 如图，二次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，直线平行于轴，且与二次函数的图像交于点，则的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】设点 的坐标，根据点 在反比例函数图像上得出横纵坐标之积为 ；利用二次函数图像的对称性得出点 的坐标，进而表示出的长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 点在反比例函数的图像上 ． 点在二次函数的图像上，且直线平行于轴，交二次函数图像于点， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ， ， ， ． 17. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点（相切）时的值，从而得到当直线与新图像有个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图所示： 当时，， 解得，， 则，， 将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方的部分图像的解析式为，即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点(相切）时， 方程，即有两个相等的实数解， 所以， 解得， 所以当直线与新图像有个交点时，的取值范围为． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知一个二次函数的图像与轴有两个交点，两个交点之间的距离为6，对称轴为直线，函数有最大值9，请求出这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称轴与两交点距离求出轴交点坐标，结合顶点坐标（对称轴处取最大值），设顶点式求解． 【详解】解：∵二次函数图像的对称轴为直线，与轴两交点的距离为6． ∴两交点到对称轴的距离为3，横坐标分别为，，即交点坐标为，． ∵函数有最大值9． ∴抛物线的顶点坐标为． 设二次函数的表达式为（）． 将点代入得：． 解得． ∴二次函数的表达式为，整理为一般式得． 19. 如图，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质求出的长，证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． （1）请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）在第（1）小题的基础上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 21. 已知二次函数的图像如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． （1）求此抛物线的表达式； （2）结合图像填空： ①关于的一元二次方程的解是_____； ②不等式的解集为_____． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）①由对称性可得抛物线过点，结合函数图象可得答案；②由对称性求出点D的坐标，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴由对称性可知，抛物线过点， ∴当时，或， ∴关于的一元二次方程的解是或； ②∵对称轴为直线，抛物线与轴交于和两点 ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 22. 如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，则，据此可得答案； （2）根据（1）和平行四边形的性质可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知（单位米）．同时，再建造一个周长为12米的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为米，加长后水池1的总面积为平方米，则关于的函数表达式为：；设水池2的边的长为米，面积为平方米，则关于的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是_____；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_____． （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（平方米），关于（米）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出的值． 【答案】（1）；或 （2）两个水池面积差的最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 整理得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （米）有唯一值， ，解得． 24. 如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． （1）求抛物线的表达式； （2）过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为 ． （2）①存在，点 的坐标为 ； ②点 的横坐标为 或 ． 【解析】 【分析】（1）由直线 与 轴、 轴的交点得 、，把两点坐标代入 ，用待定系数法求出 、； （2）①设过点 的直线为 ，分别与直线 、抛物线联立，用 表示点 、 的坐标；由 且 、、 共线，结合点 在第一象限时三点的位置关系，得点 是线段 的中点，再作垂线构造全等三角形，把中点转化为水平距离相等，列方程求出 ； （2）②先作 于 ，在等腰直角三角形与直角三角形中求出 ；再按点 在线段 上、点 左侧、点 右侧三类讨论：点 在线段 上时由三角形内角和得 ，直接解出点 ；点 左侧时由内角和得负角，舍去；点 右侧时作 的平分线构造 ，建立 与 的方程解出点 ，最后求直线 与抛物线的另一交点，得点 的横坐标． 【小问1详解】 解：对于直线 ，当 时，；当 时，． ∵直线 经过点 、，点 在 轴上，点 在 轴上， ∴，． 把 、 代入 ，得 ，， ∴，解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线 与 轴交于 、 两点， ∴，． 设过点 的直线为 ． ①存在．理由如下： 由 与 联立，得 ， 解得 ， ∴． 由 与 联立，得 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴， ∴． ∵点 在第一象限， ∴ 且 ， ∴ 或 ． 当 时，，则 ，点 在线段 上， 则 ，与 矛盾，舍去． 当 时，，点 在线段 上， ∵， ∴， 分别过点 、 作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∵，， ∴， ∴， 解得 或 （舍去）， ∴，， ∴点 的坐标为 ． ②当 时， 过 作 于点 ， ∵，， ∴，， ∵点 在线段 上， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 在线段 上， ∴，即 ． 设 ，点 在直线 上，其位置分三种情况讨论： 情况一：点 在线段 上，此时射线 与 方向相反， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得 ，解得 ， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 情况二：点 在点 的左侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，， 则 ，不成立，舍去． 情况三：点 在点 的右侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，． 作 的平分线交 于点 ，则 ， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又 ， ∴， ∴，即 ， 其中 ，，， 设 ，则 ，， ∴，即 ， 两边平方，得 ， 即 ， ∵，两边同除以 ， ∴， ∴， 解得 ， 经检验， 时，，，等式成立， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， ∴， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 综上，点 的横坐标为 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式、一次函数与二次函数的交点、等腰三角形的判定与性质、全等三角形、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数．解题关键：一是把 结合三点共线与位置关系转化为“点 是线段 的中点”，再作垂线构造全等三角形；二是对 按点 与线段 的位置关系分类，点 在线段上时转化为等腰三角形 ，点 在点 右侧时作角平分线构造相似三角形，建立 与 的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期初三10月自适应练习数学学科 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 4. 已知线段，作线段，使，那么正确的作法是（ ）． A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标为__________． 9. 在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 10. 如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 11. 如图，，如果，那么_____． 12. 如果点、是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_____（填“”、“”或“”）． 13. 点是线段的黄金分割点，且厘米，那么__________厘米． 14. 二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 15. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 16. 如图，二次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，直线平行于轴，且与二次函数的图像交于点，则的面积为_____． 17. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知一个二次函数的图像与轴有两个交点，两个交点之间的距离为6，对称轴为直线，函数有最大值9，请求出这个二次函数的表达式． 19. 如图，，，，，求的长． 20. 一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． （1）请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）在第（1）小题的基础上，求的值． 21. 已知二次函数的图像如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． （1）求此抛物线的表达式； （2）结合图像填空： ①关于的一元二次方程的解是_____； ②不等式的解集为_____． 22. 如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）已知，求的值． 23. 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知（单位米）．同时，再建造一个周长为12米的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为米，加长后水池1的总面积为平方米，则关于的函数表达式为：；设水池2的边的长为米，面积为平方米，则关于的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是_____；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_____． （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（平方米），关于（米）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出的值． 24. 如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． （1）求抛物线的表达式； （2）过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $