湖南长沙市地质中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级上学期第一次随堂练习 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一．单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1．下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 5．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A．A班成绩的中位数比B班成绩的下四分位数低 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 8．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作边对角线，的平行线，两两相交于点，，，，则四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．分解因式：________． 12．在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为________． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则________． 14．为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为元的药品进行连续两次降价后为元．设平均每次降价的百分率为，则的值为________． 15．如图，轴交反比例函数的图象于点、交轴于点，连接，，．则的值是________． 16．如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为________． 三．解答题 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程： （1）； （2）． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 20．（8分）已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图象与轴的两个交点之间的距离为，求的值． 21．（8分）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规个，乙种圆规个，需要元；若购进甲种圆规个，乙种圆规个，需要元． （1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； （2）文具店购进甲、乙两种圆规共个，每个甲种圆规的售价为元，每个乙种圆规的售价为元，销售这两种圆规的总利润不低于元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 22．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）当函数值时，直接写出的取值范围． 23．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 24．（10分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是________；（填序号） ①；②；③；④； （2）已知抛物线（，均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； （3）点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $