第26章 二次函数单元复习及提优2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以二次函数为核心，通过基础巩固、能力提升、母题回归、探究实践四层递进设计，实现从单一知识点到跨学科应用的完整路径，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|列解析式、图象性质等10个单一知识点|选择填空题为主，聚焦概念理解与基本技能| |能力提升层|面积最值、利润问题等综合应用|解答题形式，融合方程与函数，强化运算能力| |核心母题层|作图、方程关系、最值等核心题型|回归教材经典问题，培养推理意识与模型观念| |探究实践层|化学挥发、洒水车喷头等跨学科项目|实验与项目式学习，发展创新意识与应用能力|

第26章 二次函数单元复习及提优 单元复习 一、基础练习 知识点1 列二次函数解析式 1.某企业今年第一个月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该企业今年第三个月新产品的研发资金(万元)关于的函数关系式为________. 知识点2 二次函数的图象及性质 2.由二次函数可知A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线C. 其最小值为2D. 当时，随的增大而减小 知识点3 二次函数的平移 3.将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________. 知识点4 二次函数与坐标轴的交点 4.若抛物线与轴交于点，则的值为________. 知识点5 二次函数的增减性 5.二次函数随的增大而减小的的取值范围为（ ） A. 知识点6 求抛物线的对称轴 6.抛物线的对称轴是直线________. 知识点7 求二次函数的自变量取值范围 7.二次函数的图象如图所示，则其对称轴是________，当函数值时，对应的取值范围是________. 知识点8 二次函数与一次函数值比较大小 8.如图，直线和抛物线都经过点 ，不等式的解集为________. 知识点9 二次函数图象与的关系 9.如图，抛物线经过正方形的三个顶点，点在轴上，则的值为（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 知识点10 二次函数与一元二次方程(求近似解) 10.如表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________. 二、提升练习 11.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为)，其余三面用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽为1m的小门，便于同学们进入. (1) 若围成的菜地面积为，则此时菜地的宽为________. (2) 可以围成的菜地面积最大是多少？ 12.某超市销售一种成本为20元/千克的商品，在整个销售过程中，设该商品第天的销售价格和销售量分别为元/千克和千克，该商品第天的销售利润为元，已知以下函数关系：①与满足的函数关系式为；②n与x满足的函数关系式为n=5x＋100. (1) 求该商品第几天的销售利润可达到2500元； (2) 求第几天的销售利润最大，销售利润的最大值是多少. 13.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接. (1) 求抛物线的表达式； (2) D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3) 是抛物线上一动点，当时，求点的坐标. 母题回归 1.画出函数的图象，利用图象回答： (1) 方程的解是什么? (2) 求顶点坐标和对称轴. (3) 当取什么值时，函数值小于0？ 2.如果，下列情形时，抛物线的顶点在什么位置? (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3) 方程无实数根.如果呢? 3.某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度(单位：)与水离开水管后在空中的时间(单位：)的关系近似为. (1) 水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度? (2) 喷出的水在空中的最大高度是多少？ 4.某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件(每件售价不能高于70元).设每件商品的售价上涨元(为正整数)，每个月的销售利润为元. (1) 求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围. (2) 每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3) 每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元?根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元? 5.如图，点分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形.当点位于何处时，正方形EFGH的面积最小? 6. [对角线互相垂直的四边形面积两对角线积的一半]如图，四边形的两条对角线互相垂直，.当的长是多少时，四边形的面积最大? 7.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面.求当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度(结果保留小数点后一位). 8.如图，用长为的材料做一个上部为半圆、下部为矩形的窗框.底部宽(单位：)为多少时，窗户的透光面积S(单位：m²)最大(结果保留小数点后一位)？ 9.[特殊直角三角形与四边形的面积最大值]一块三角形材料如图所示，.用这块材料剪出一个矩形，其中，点分别在上.要使剪出的矩形的面积最大，点应选在何处？ 10.分别用4米的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大?为什么? 11.利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位)： (1) ； (2) . 12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是.在轴上任取一点，并按以下步骤作图： ①连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； ②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点，再用平滑曲线连接这些点，记为曲线. 解答如下问题： (1) 对于曲线上任意一点，线段与有什么关系? (2) 设点的坐标是，根据(1)的结论求满足的关系式.你能由此确定曲线是哪种曲线吗?(提示：根据勾股定理，用含的式子表示线段的长.) 13.已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.矩形的两邻边长各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大? 实验、探究与活动 1.阅读与思考 下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务： 二次函数的应用 ×年×月×日 今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10)，. 请你先猜想，积最大的是________×________，并说明理由. 猜想：积最大的是.理由如下： 设两个乘数的积为，其中一个乘数的个位上的数为，则另一个乘数个位上的数为10－x.依题意，得 任务： (1) 上面日记中的分析过程主要运用的数学思想是________； A. 数形结合 B. 统计思想 C. 分类讨论 D. 函数思想 (2) 请补全小牛的日记中的解题过程； (3) 【模型应用】有一组边长分别为 的矩形，它们中最大的面积是________； (4) 下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，801×899，802×898，803×897，...，897×803，898×802，899×801.用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由. 2.由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： (1) 以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. (2) 通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. (3) 一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为，已知这条高速公路限速.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶? 综合与实践、项目式学习 1.综合与实践 【实践任务】某研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.该研究小组在A，B两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据. 【实验数据】将该试剂挥发过程中剩余质量(克)随时间(分钟)变化的数据分别绘制在平面直角坐标系中，如图1、图2所示. 任务一：求出函数表达式 (1) 经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线的一部分，场景B的图象是直线的一部分，分别求出场景A，B相应的函数表达式. 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 (2) 查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长? 2.项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的主力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带)，为绿化带浇水，数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习. 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为1.2米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米. (1) 请你求出上边缘抛物线的函数解析式. 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的. (2) 请你结合模型探究下边缘抛物线与轴的交点的坐标. 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米. (3) 当调整与绿化带距离为2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由. 答案 单元复习 3. 7.直线 8.或 9.B 10. 1.1<x<1.2 11.解：(1) 设菜地的宽为，则菜地的长为. 依题意，得， 解得. 当时，(不合题意，舍去)； 当时，，符合题意. 故答案为. (2) 设菜地的面积为. 依题意，得 ， 解得， 又， 当时，取最大值，最大值为147. 答：可以围成的菜地面积最大为. 12.解：(1) 依题意，得销售利润 . 令， 即， 解得或(负值不合题意，舍去) 答：该商品第30天的销售利润可达到2500元. (2) 由(1) 得 . ， 当时，取最大值，最大值为4500. 答：第10天的销售利润最大，销售利润的最大值是4500元. 13.解：(1) 抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 抛物线的表达式为 . (2) 如答图，过点作轴交于点，交轴于点. ， 直线的解析式为. 设， 则. 为抛物线上第一象限内一点， . . ， 当时，面积最大，最大值为16. (3) ①当点在上方时，如答图所示. . 点关于直线对称. 又； ②当点在下方时，如答图所示.设交轴于点. . 设， . 在Rt中，，解得. . 由点的坐标，可得直线的解析式为. 联立 解得 ∵点在下方， ∴ 综上所述，点的坐标为或 母题回归 1.解：函数图象如图： (1) 由图象知，方程的解为. (2) 由图象知，顶点坐标为，对称轴为直线. (3) 由图象知，当时，函数值小于0. 2.解：(1) 当时，顶点在轴下方；当时，顶点在轴上方. (2) 当或时，顶点都在轴上. (3) 当时，顶点在轴上方； 当时，顶点在轴下方. 3.解：(1) 将代入，得， 解得(不合题意，舍去). 答：经过能落回到起始高度. (2) ， ， 当时，有最大值. 答：喷出的水在空中的最大高度是. 4.解：(1) 依题意，得 且为整数). (2) 由(1) 中的与的解析式配方得 ， 当时，， 当时，. 当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元. (3) 当时， ， 解得. 当时，； 当时，. 当售价定为每件60或55元时，每个月的利润为3500元. 因此当售价每件不低于55元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于3500元(或当售价每件分别为55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于3500元). 5.解：设正方形的边长为，则. 四边形是正方形， . . ， . 在和中， . 同理可证， ， . 正方形的面积 . 当(即是边上的中点)时，正方形EFGH的面积最小. 6.解：设，四边形的面积为，则. . 抛物线开口向下. 当时，最大. 当时，四边形的面积最大. 7.解：如图，以水位上涨前的水面为轴，大孔抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系. 设大孔抛物线的解析式为. 依题意，得抛物线经过点. 将代入，得 解得. . 当水位上涨刚好淹没小孔时，. 将代入，得 ， 解得. 大孔的水面宽度为 8.解：依题意，得矩形窗框的一边长为，另一边长为 . 当时，有最大值. 答：底部宽为时，窗户的透光面积最大. 9.解：在Rt中，， ·四边形CDEF是矩形， 设， 则. . . ， 当时，最大， 此时. . 点为的中点， 即点为的中点时，矩形的面积最大. 10.解：圆的面积大，理由如下： 设圆的半径为米， 则. (平方米). 设矩形的边长为米，米， 则. (平方米). ，当时，最大， 此时平方米. . 圆的面积大. 11.解：(1) 画出函数的图象，如图所示. 由图可知，函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别在－1和0，1和2之间.取－1和0的平均数－0.5，当时，，当时，，所以方程的一个根在－0.5和0之间. 取－0.5和0的平均数－0.25，当－0.25时，，所以方程的根在－0.5和－0.25之间. 取－0.5和－0.25的平均数－0.375，当时，，所以方程的这个根在－0.375和－0.25之间. 取－0.375和－0.25的平均数－0.3125，当时，0.132813，所以方程的这个根在－0.3125和－0.25之间， 由此方程可得到原方程的一个近似实数根为－0.3. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8. 所以方程的实数根是. (2) 将原方程变形，得 ， 画出函数和的图象，如图所示. 由图可知，抛物线与直线交于两点，分别过这两点作轴的垂线，用(1) 中同样的方法可知两点的横坐标大约为－5.7和0.7， 所以方程的实数根是. 12.解：(1) 根据垂直平分线的性质可得. (2) ， . . 曲线是抛物线. 13.解：设矩形的长为， 宽为. 矩形的周长为， . 旋转形成的圆柱侧面积是， 要求侧面积的最大值，即求的最大值. ， 、当时，有最大值81，此时. 矩形的长、宽都为时，旋转形成的圆柱的侧面积最大. 实验、探究与活动 1.解：(1) D (2) . ∵ 当时，取最大值625， 此时. 积最大的是. (3) 设矩形的边长为， ， 则矩形的面积 . ， 当时，取最大值9025. 故答案为9025. (4) 积最大的是.理由如下：设两个乘数的积为，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为，则另一个十位上的数与个位上的数组成的数为， . ， 当时，取最大值722500，此时. 积最大的是. 2.解：(1) 如图所示. (2) 该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数. 设二次函数的表达式为. 将点，(56，27.9)分别代入表达式， 得 解得 二次函数的表达式为 5.(答案不唯一) (3) 当时， ， 该汽车超速行驶. 综合与实践、项目式学习 1.解：(1) 场景A：把， 分别代入，得 解得 .场景A相应的函数表达式为 . 场景B：把分别代入 ，得 解得 场景B相应的函数表达式为. (2) 当时， 在场景A中，， 解得(不合题意，舍去)； 在场景B中，， 解得. ， 该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长. 2.解：(1) 由题意，得为上边缘抛物线的顶点， 可设.6. 又抛物线过点， . 上边缘抛物线的函数解析式为. (2) 由题意，得上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为. 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的. 令， 解得(不合题意，舍去). . 点的坐标为. (3) 能浇灌到整个绿化带.理由如下：由题意，得 (米). 点的坐标为. 当时， . 又当时，随的增大而减小，且， .洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $