第26章 二次函数专题提优2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖从系数关系到几何综合的知识路径，强化推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|系数与图象关系、基础计算|判断式辨析（如系数符号），夯实概念理解| |提升层|面积计算、最值问题|分步解答（如面积最值），培养逻辑推理| |综合层|几何综合、存在性问题|多解探究（如等腰三角形存在性），发展应用意识|

第26章二次函数专题提优 专题1抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系 一、二次函数y=ax十bx十ca≠0的图象特征与系数a,b,c的关 系 代数式 作用 代数式符号 图象特征 a>0 开口向上 决定开口方向 a<0 开口向下 c>0 交点在y轴正半轴 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 交点在原点 c<0 交点在y轴负半轴 2a0a·6>0(a,6同号) 对称轴在y轴左侧 会 决定对称轴的位置(“左同右异”) b=0 对称轴是y轴 2a>0ea·6<0(a,6异号) 对称轴在y轴右侧 1.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x=1,与x轴交于点 3,0,下列结论正确的有 (填序号) 1/28 ①a>0: ②c>0: ③b>0: ④b2-4ac>0: ⑤b+2a=0 2.如图，抛物线y=ax十bx十c的对称轴为直线x=-1,与x轴交于点 3,0,1,0?则下列结论错误的是 (填序号)： X=- ①a<0; ②c<0; ③b<0; ④b-4ac<0: ⑤b=2a 2/28 二、几种常考的关系式的解题方法 代数式 方法指引 对应点坐标 ①a+b+c 当x=1时，y=a+b+c (1,a+b+c) ②a-b+c 当x=-1时，y= (-1,a-b+c） ③4a+2b+c 当x=2时，y=】 (2,4a+2b+c) ④4a-2b+c 当x=-2时，y= (-2,4a-2b+c) ⑤abc 根据开口方向、对称轴及与y轴的交点进行判断 ⑥2a-b或2a+b 根据对称轴位置进行判断 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） △=b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个交点 (决定抛物线与x轴的交点个数) 62-4ac<0 与x轴没有交点 3.如图，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于点-1,0,3,0，确定下列各 式的符号： (1)a 0: (2)C 0; (3)b 0: (4)b2.4ac 0; (⑤)-2a 0: 3/28 (62a+b0: (7)a+b+c 0; (8)a-b十c 0; (9)4a+2b+c 0: (10)4a-2b+c 0; (11)函数y的最小值= 4.抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线x=-1,且过，点1,0，顶，点位于 第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断： ①ac>0,b>0; ②与x轴的另一个交点为（一3,0）： ③b2-4ac>0: ④2a-b=0: ⑤4a-2b+c>0: 4/28 ⑥9a-3b+c=0: ⑦9a+3b+c<0: ⑧a+b+2c>0: ⑨c=3a-3b: 1⑩8a+c>0. 其中正确的有 (填序号) 提升练习 5.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2十bx十ca,b,c为常数如图所示， 小明同学得出了以下结论：①abc<0;②b>4ac;③3a+c>0;④ 4a+2b+c>0:⑤a+b≤mam+b(m为任意实数)；⑥当x<-1时，y随x的增 大而增大.其中结论正确的个数为() A.3B.4C.5 D.6 6.二次函数y=ax十bx十Ca≠0的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下 5/28 列结论：①2a+b=0;②abc<0:③9a+3b+c>0:④3a+c<0;⑤若 m≠1？则mam+b-a<b其中正确的个数是（） A.1B.2C.3D.4 专题2二次函数的综合①) 复习旧知 1.已知A-1,0,B2,0,则AB= 2.已知A0,4,B0,1,则AB= 学习新知 知识点1求多边形的面积 3.如图，抛物线y=x-2x-3与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,点D 6/28 是该地物线的顶点」 (I)求点A,B,C,D的坐标： (2)连接AC,CD,BD,求四边形ACDB的面积. 4.如图，抛物线顶点为A2,0,过点C3,1,与y轴相交于点B (I)求抛物线的解析式 (②)求点B的坐标； (3)求四边形OACB的面积. 知识，点2由面积关系求，点坐标 5如因，8物线y-+2x≠6与×轴相交于A,B两点（点A在点B前左 7/28 侧)，与y轴相交于点D (I)求△ABD的面积： (2)P是抛物线上一动，点（不与，点D重合），且满足S△ABP=S△ABD,求，点P的坐 标 6如国，抛物线yx-2-1过原点，顶点B的坐标为2，-山，与x轴的另 一交点为A (1),点A的坐标为 (2)若点C在抛物线上且S△OAc=2S△0AB,求，点C的坐标 总结： ()求多边形的面积时：①求出多边形每个顶，点的坐标：②用“割补拼 8/28 凑”转化为规则图形来求解 (2)由面积求点坐标时：①设动点的坐标为x,y:②三角形的高为y, 解出y有两个值，再分类讨论 知识点3求斜三角形面积的最大值 7.如图，直线y=-x十3与抛物线y=-x2十2x+3交于点A0,3,B3,0 (I)用含X的代数式表示EF的长； (2)求EF的最大值； (3)求△ABE面积的最大值， E(x,-x2+2x+3) F,-x+3) 8.如图，A,B为一次函数y=-x十5的图象与二次函数y=x2十bx十c的图 象的公共点，点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数y=x2十bx十c的图象 上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA,PB. 9/28 (I)求b,c的值； (2)求△PAB的面积的最大值， 总结： 求斜三角形面积的最大值时： ①表示出斜三角形的西积=×水平宽×铅套商，一短水平宽是一个常数， 铅垂高的表示为y高y低； ②求出斜三角形面积的最大值」 专题3二次函数的综合(2) 知识，点1二次函数与最短路径问题 1.如图，抛物线y=x2-4x十3过点B1,0,C3,0. (1)求抛物线的对称轴； 10/28 (②)P是对称轴上一点，当PA十PC达到最小值时，求点P的坐标 2.如图，已知抛物线y=-x2十2x十3与x轴交于A,B两，点，与y轴交于点C (1)求点A,B,C的坐标： (2)P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA十PC的值最小时，求点P的坐 标 B 知识点2二次函数与特殊三角形 3.如图，已知抛物线y=-x2-2x十3与轴交于点A1,0和，点B-3,0,与 y轴交于点C设抛物线的对称轴与x轴交于点M,请问在对称轴上是否存在点P, 11/28 使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的，点P的坐标；若不存 在，请说明理由 4如围，二次函数y-×X十4的图象与x轴交于A,B两成（点A在点B的 右侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为2,0，点C的坐标为0,4.若点M在对 称轴上，且△MBC为直角三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标 知识，点3二次函数与平行四边形 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax十bx-5a≠0交X轴于A,C两 12/28 点，交y轴于点B,5OA=OB=OC (1)求此抛物线的表达式： (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ABM的周长最小，请求出 点M的坐标； (3)连接BC,P是线段BC上一点，过，点P作y轴的平行线交抛物线于点Q, 求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标 6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2x-3过A,B,C三点 (I)求点A,B,C的坐标 (②)M为X轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N 四，点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N (3)抛物线上是否存在，点P使得∠PCA=15°？若存在，请直接写出点P的横 坐标；若不存在，请说明理由 13/28 备用图 总结： 解决平行四边形ABCD的问题时可借助公式： x十xc=x十x,ya十yc=yB十yn则A,B,C,D四个顶点的横坐标知 三而得一，纵坐标也是如此 答案 专题1 1.②③④⑤ 2.①③④ (二)②a-b+c ③4a+2b+c ④4a-2b+c 3.(1)>2<3<(4>5>(6=7<8=9< (10)>11a+b+c 4.②③④⑤6⑦⑧⑨ 14/28 5.A 6.D 专题2 1.3 2.3 3.解：(1)令y=0,即x2-2x-3=0, ∴.X1=3,X2=-1. .A-1,0,B3,0 抛物线与y轴交于点C, .C0,-3 又y=x2-2x-3=x-12-4, .D1,-4 (2)如图，连接OD '.S四边形ACDB=S△A0C十SA0CD十S△ODB 1x3+号×3×1+号x3×4 =9, 4.解：(1)设抛物线的解析式为 15/28 y=a(x-22 将点C3,1代入，得1=a3-2 .a=1. ∴.y=x-22=x2-4x+4 (2)当x=0时，y=4, .点B的坐标为0,4 (3)如图，过点C作CD⊥X轴于点D 580%s=5a0mn-5n号×1f4×3-×1-2x1=7 2 5解：(0令y=0,即42x+6=0 ∴.X1=-2,X2=6. .A-2,0,B6,0 .该抛物线与y轴交于点D .D0,6 56Am号AB-0D2x8x6=24 16/28 设pm,m2m6 S△ABP=S△ABD' 号8m+2m+24 }m+2m+66 m2-4m=0或m2.4m-24=0 m=0(不合题意，舍去)或m=4或m=2+2/7或m=2-2/7 :点p的坐标为14,6或2+2V7,-6成2-27，-6} 6解：(1)当y=0时，1x-2-1=0,解得x1=0,为=4， :.点A的坐标为4,0 故答案为4,0」 (②)：SA0AC=2S△0AB :点c到oA的距离为2. 当y=2时，}x-2那-1=2， 解得x=2-2V3,x2=2+2V3, :.点c的坐标为12-23,2或2+23,2 7.解：1.Ex,-x2十2x十3， 17/28 Fx,-x+3 ∴.EF=-x2+2x+3--x+3=-x+3x ③=+3x=小+号 .-1<0 当x时，E即有装大值，为程 (3)如图，连接AE,EB,过点A作AM⊥EF,垂足为M,设EN⊥OB于 点N E(x,-x2+2: B ∴.SAAE=SAAEF十SABEF 号FAM+号FaN -号rAM+BN :AM⊥EF,EF⊥x轴，AO⊥X轴，.四边形AMNO是矩形. .'AM=ON. SAN-EF-(AM十BN EP-ON +BN) =EF.OB. 18/28 .OB=3, 二5a厘×-大3x3 =2-3x 6 当x,5版有最大位 8 8.解：(1)当x=0时，y=-x+5=5: 当x=4时，y=-x+5=1, .∴.A0,5,B4,1. 把A0,5,B4,1分别代入 y=x2+bx+c:得 c=5, 16+4b+c=1, 解得/b=-5, c=5. (2)由(1)可得y=x2-5x+5. 设Pm,m2-5m+5. 如图，过，点P作PE//OA一交AB于，点E, 19/28 则Em,-m十5. ∴.PE=4m-m2. 54s-4m-mx4-0 =-2m-22+8 又-2<0， :.当m=2时，SAP4B的值最大，最大值为8 专题3 1.解：(1)，a=1,b=-4, 品2 :.抛物线的对称轴为直线X=2 (2)如图，连接AC交对称轴于点P,此时PA十PC的值最小 20/28 当x=0时，y=3,.A0,3 设直线AC的解析式为y=kx十nk≠0. 把A0,3,C3,0代入，得 b=3, 解得/k=-1, 3k+n=0, n=3. :.直线AC的解析式为y=-X+3 当x=2时，y=-2十3=1， :点p的坐标为2,1 2.解：(1)：抛物线y=-x2十2x十3与x轴交于A,B两，点，与y轴交于点C, C0,3 令y=0,即-x2+2x+3=0 .X1=3,X2=-1 ∴.A-1,0,B3,0. (②)如图，连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA十PC的值最小. 设直线BC的解析式为y=心十b(k0), C0,3,B3,0: 21/28 0=3k十b, 解得 k=-1, 3=b, b=3. 直线BC的解析式为y=-X十3. 当x=1时，y=-1+3=2 当PA十PC的值最小时，点P的坐标为1,2. 3解：抛物线解析式为y=-X2-2x+3,其对称轴为直线x=2=-1 -2 点M的坐标为-1,0 设点P的坐标为-1，a」 当x=0时，y=3, :点C的坐标为10,3引 ①当CP=PM时， -1+a-3=a,解得a= 这时点p的坐标为-1，}引 ②当CM=PM时，-1+32=a2, 解得a=±V10. 这时点P的坐标为-1，V10或-1，-V10: ③当CM=CP时， 22/28 -12+32=-12+a-32, 解得01=6，a,=0(不合题意，舍去)， 这时点P的坐标为-1,6. 综上所述，存在符合条件的点P,其坐标为 -1,9 或-1，y10或 -1,-/10或-1,6 4解：令y=0,即-号x2-x+4=0, 2 解得X1=-4,2=2 B1-4,0?且该二次函数的对称轴为直线x=-1 设M-1,ml, BM=-1+42+m2=V9+m2, CM=V1+4-m2 =1+4-m2, BC=V42+42=4/2 ①当∠MCB=90°时，由勾股定理，得BM=BC2+CM, 即9+m2=32+1+4-m2, .m=5.∴.M-1,59 23/28 ②当∠CBM=90时，由勾股定理，得CM=BC2+BM2, 即1+4-m2=32+9+m2 ∴.m=-3.∴.M-1,-3 ③当∠BMC=90°时，由勾股定理，得BC2=BM2十CM2, 即32=9+m2+1+4-m2, m=2±V7 .M-1,2+V7或M-1,2-7. 综上所述，点M的坐标为-1,5或-1，-3或-1,2+V7或-1,2-7 5.解：(1)由抛物线的表达式知， c=-5=yB' ∴.OB=5=50A=OC. .点A,C,B的坐标分别为 1,0,-5,0,0,-5. 把A1,0,C-5,0分别代入 y=ax2+bx-5, 680365,64 a=1, :.抛物线的表达式为y=X+4x-5 (2)如图，设BC与抛物线的对称轴交于点M,连接AM,AB, 24/28 点A关于抛物线的对称轴的对称点为C, :BC与抛物线的对称轴的交点M即为所求，此时△ABM的周长最小， 即C△ABM=AB十AM+BM=AB+CM十BM=AB+BC为最小. 由点B,C的坐标，得直线BC的表达式为y=-x-5, 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线X=-2 当x=-2时，y=-x-5=-3, 点M的坐标为-2，-3 (3)设点Pm,-m-5, 则点Qm,m2+4m-5,且-5<m<0, ∴.PQ=-m-5-m2+4m-5=-m2-5m .四边形OBQP为平行四边形， .∴.PQ=OB=5. .∴.-m2-5m=5, 解得m,=-5+5 2e,m,=55 2 25/28 当m=5+5时，m-5=5-85 2 2； 当m=5-5时，m-5=5-5 2 2 :点p的坐标为5+5,5-5或-5-55-5 2 22 2 6解：(1)：抛物线y=x2-2x-3过A,B,C三点， ∴.C0,-3. 令y=0,即x-2x-3=0, 解得X1=3,X2=-1 ∴.B-1,0,A3,0 (2)设Mm,0,Nn,n2-2n-3 ①当MN为对角线时，有 m+n=3, n2-2n-3=-3, :m=1, m=3, n=2, 或n=0(含) .N2,-39 ②当MC为对角线时，有 m=3十n, -3=n2-2n-3, :n=2,或n=0,(舍去). m=5,m=3 ∴.N2,-39 26/28 ③当MA为对角线时，有m十3=n, 0=-3+n2-2n-3, :n=17,或 =1-7, m=V7-2,或m=-V7-2 .N1+V7,3戌N1-7,3 :.综上所述，存在，点N的坐标为2，-3或1+7,3或1-7,3 (3)存在点P的横坐标是2+3或2+ 如图所示， 3 ①当点P在直线AC下方时，延长CP交X轴于点D 由(1)知∠0CA=45°. 又，∠PCA=15, .∠0CP=45°+15°=60°. ∴.∠ODC=30°： .OC=3,.CD=6 ∴.0D=70D2-0C2=33 ∴.D33,0月 由D3V3,0,C0,-3,得直线PC的解析式为y= x3. 3 27/28 y=x2-2x-3, 联立 3 x-3, 解得x=0(含去)或x=2+ 3 故点P的横坐标为2+ 3 ②当点P(即P在直线AC的上方时，同理可得，点P的横坐标为2+3 综上所述，点P的横坐标是2十3或2+3 28/28