精品解析：陕西西安市交通大学附属中学航天高级中学2026-2027年上学期第一次诊断高一数学试题

交大附中航天学校2026—2027学年第一学期 第一次诊断高一数学试题 本试题共4页，四道大题．考试时长100分钟，试卷满分100分． 一、单择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下面选项中的两个集合相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A. 5000套 B. 6000套 C. 3000套 D. 4000套 5. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 8. 已知集合，，且，则集合B的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 13. 已知，，则的取值范围是______． 14. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为_______ 四、解答题（本大题共5小题，第15题8分，第16题、第17题10分，第18题、第19题12分，共52分．要求写出推理证明过程） 15. 已知集合，，全集，求，及. 16. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 17. 已知命题：，为假命题． （1）求实数的取值集合； （2）设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 19. 已知条件集合，条件非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围． （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）否存在实数，使是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中航天学校2026—2027学年第一学期 第一次诊断高一数学试题 本试题共4页，四道大题．考试时长100分钟，试卷满分100分． 一、单择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由集合，得， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 3. 下面选项中的两个集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 4. 某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A. 5000套 B. 6000套 C. 3000套 D. 4000套 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 5. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次方程化简集合，根据正整数的范围确定集合，再结合真包含的关系明确集合的元素构成特征，利用子集个数公式计算符合条件的的个数. 【详解】∵ 解方程，得或，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ， ∴ 必须包含所有中的元素2,3，且至少含有1个中不属于的元素，至多含有2个中不属于的元素. 中不属于的元素构成集合，其非空真子集的个数为，即满足条件的集合的个数为6. 6. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于“，”为假命题，故“，”为真命题 故，由于，即 7. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 8. 已知集合，，且，则集合B的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由集合交集与补集的运算性质推导得到是的子集，结合一元二次方程根与系数的关系确定集合B的元素个数，最后代入子集个数公式计算结果。 【详解】∵ 集合，∴ . ∵ ， ∴ ，即1和2都是集合的元素. 集合是方程的解集，即方程的解为或的根. ∵ 的根为和，方程的两根之和为， ∴ 1和2不可能同时是的根，故1和2分别为两个方程的根. ①若1是的根，代入得，解得，此时的根为0，1； 2是的根，代入得，解得，此时的根为2，-4，故，共4个元素. ②若2是的根，代入得，解得，此时的根为0,2； 1是的根，代入得，解得，此时的根为1,-3，故，共4个元素. 两种情况集合都有4个元素，故的子集个数为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】用不等式的性质与作差比较法逐一判断即可． 【详解】对于A，由可得，则，故A错误； 对于B，由得，所以等价于 ，整理得， 因为且，故，所以，故B正确； 对于C，由，，得，即， 当时，，由，易得，即； 当时，，显然有，故C正确； 对于D，由得，则 ，故D错误． 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式求解即可；对于B，将变换为，再利用基本不等式求解即可；对于C，将代入，结合一元二次函数即可求解；对于D，将变换为，再利用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 联立可得，所以，故B正确； 对于C，由（），代入得， 为开口向上的二次函数，对称轴为， 代入得最小值， 此时，故C正确； 对于D， ， 又，当且仅当成立， 联立可得， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 13. 已知，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设， 所以，解得， 因为，，则，， 因此，. 故答案为：. 14. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设，，则， 因为，所以，解得， 所以花园的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以花园的面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，第15题8分，第16题、第17题10分，第18题、第19题12分，共52分．要求写出推理证明过程） 15. 已知集合，，全集，求，及. 【答案】；，或 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集、并集和补集的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由全集，且集合， 则， 又由或， 则，或. 16. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】（1），. （2）仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 17. 已知命题：，为假命题． （1）求实数的取值集合； （2）设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意可得，结合得到，解得即可． 【小问1详解】 因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． 【小问2详解】 由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2） 证明：因为为三角形的三边长，所以  由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知条件集合，条件非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围． （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）否存在实数，使是的充要条件． 【答案】（1）； （2）； （3）不存在. 【解析】 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【小问1详解】 因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； 【小问3详解】 若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $