精品解析：黑龙江大庆实验中学实验一部2026-2027学年高一上学期10月阶段性质量检测数学数学试题

大庆实验中学实验一部2026级高一上学期 10月份阶段性质量检测 数学学科试题 2026.10.09—2026.10.10 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2．满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】等价于， 因此不等式的解集为，即，又， 则 3. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 4. 要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A. 80元 B. 160元 C. 200元 D. 240元 【答案】B 【解析】 【分析】先根据容器容积求得底面积，建立总造价关于底面边长的函数，再利用基本不等式求解总造价的最小值. 【详解】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为：  代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 5. 已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法不正确的是（ ） A. ，是一个函数 B. C. 当时， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合表示圆周率小数点后第位数字的含义，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】首先明确的定义：为小数点后第位的单个数字，其中. 选项A：对任意正整数，小数点后第位数字是唯一确定的，满足函数定义中“每个自变量对应唯一因变量”的要求，故（）是函数，A表述正确，不符合题意; 选项B：由，可得小数点后第4位数字为，即；小数点后第8位数字为，即，故，B表述正确，不符合题意; 选项C：当时，小数点后第5位数字为，即，C表述错误，符合题意; 选项D：数位上的数字只能是的整数，故，D表述正确，不符合题意. 6. 若函数与在区间上都是单调递减的，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是开口向下的二次函数，对称轴是，在上单调递减； ，当，即时，在上单调递减. 若和在区间上单调递减，则，同时满足，则a的取值范围是. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，分析其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解。 【详解】令， 由题设对任意，有，故在上为增函数. 因为是定义域为的奇函数，即， 故，即为偶函数， 因此在上为减函数， 由得，故， 由偶函数性质得. 原不等式等价于： ①当即时，得，即. 因为，在递增，故，解得； ②当即时，得，即， 由偶函数得在递减，故，解得，即. 综上所述，解集为. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定公共函数值的取值范围，再利用韦达定理得到和的表达式，将所求乘积转化为关于的函数求值域. 【详解】设，分两段分析： 当时，，其对称轴为，最小值为3，， 故当时，在上有两个不等实根，， 令，即，由韦达定理得. 当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故当时，在上有两个不等实根，， 令即，由韦达定理得. 所以， 由上述得，则. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为、 B. 若（其中），则 C. D. 集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【解析】 【详解】集合的所有真子集为、、，A错误. 由得，，，B正确. 由（），（），. ，C正确. 由题知，是的整数因数，， ，共个元素，D正确. 10. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过作差比较法判断A,B,D项，举反例排除C项即可. 【详解】对于A，， 由 可得 ，则 ，故A正确； 对于B，， 由 可得 ，则，故B正确； 对于C，若取 ，，满足 ， ，而 ， 因为 ，即 ，故C错误； 对于D，， 由 可得，则 ，故D正确. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； ， 当且仅当，即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置） 13. 设集合有且只有两个子集，则______________. 【答案】. 【解析】 【分析】 本题先将条件“集合有且只有两个子集”转化为“方程有且仅有1个解”，再建立方程求的值. 【详解】解：因为集合有且只有两个子集， 所以集合有且只有一个元素， 所以方程有且仅有1个解， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题. 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对一元二次不等式因式分解，分类讨论两根大小，结合解集中恰有两个正整数的限制条件求解参数的取值范围 【详解】由不等式，得， 当，即时，解集为， 区间内所有数均小于，无正整数，不符合题意； 当即时，不等式化为，解集为，不符合题意； 当，即时，解集为，若解集中恰有两个正整数， 则这两个正整数必为，因此需满足，即. 综上，实数的取值范围是 15. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先转化为命题的否命题，再构造为关于的函数，根据端点列不等式，即可求解. 【详解】命题“，使得成立”是假命题， 则，是真命题， 则将不等式化简为，构造函数， 当，恒成立，则且， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数，若对于任意的实数，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件转化为，再，和三种情况讨论函数的最值，即可求解. 【详解】由条件可知，对任意的实数，均有， 即， 当时，，， 当时，在区间单调递增， 当，得， 当时，函数的最大值为，最小值为，满足， 当时，，函数的最大值为，最小值为， 若，即，解得：，即， 所以当时，满足条件的的取值范围是， 当时，在区间单调递减，， 当，得，即时，函数的最小值为6，最大值为10，满足， 当时，得，函数的最大值为10，最小值为， 当时，，得，得，即， 所以当时，的取值范围是 当时，，，函数的最大值为，最小值为，满足， 综上可知，的取值范围是. 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求集合的补集，再根据交集及并集的定义计算可得； （2）将并集的运算关系转化为，再分两种情况讨论可得. 【小问1详解】 当时，得，因此或， 结合，根据并集和交集的定义， 得， 或或. 因此，或. 【小问2详解】 由可得，分两种情况讨论： 当时，满足，此时，解得； 当时，要满足，需满足不等式组，即，解得， 综上，的取值范围为或. 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由定义域为即可知不等式对恒成立，对进行分类讨论即可； （2）由的值域为可知函数的值域包括，限定的取值即可求得结果. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以对恒成立. 当时，不恒成立，不合题意. 当时，由题意可得， 解得. 综上可知的取值范固为. 【小问2详解】 设函数的值域为. 因为的值域为，所以. 当时，的值域为，满足题意. 当时，由题意知，解得. 故的取值范围为. 20. 函数的定义域为，且满足对任意，都有． （1）试判断的奇偶性并证明你的结论； （2）若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【答案】（1）函数是偶函数. 证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有， 所以令，得； 用替换，得. 所以， 即. 所以函数是偶函数. （2） 或或 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，根据奇偶性的定义可得； （2）由题意判断单调性，并结合题意，将不等式转化为，求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，，所以. 又在上是单调的，， 所以在上单调递增. 由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得或. 所以不等式的解集为 或或. 21. 已知定义在上的函数，． （1）解关于的不等式； （2）当时，的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对于，总有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，，再讨论三种情况，由一元二次不等式的解法得的不等式的解集； （2）讨论的对称轴与的关系，分析的最小值，可得的解析式； （3）讨论的单调性，将转化为，分离参数，结合基本不等式可得实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得， 即， ， 当时，原不等式等价于， 解集为. 当时，方程的实数根为，. 所以原不等式的解集为或. 当时，方程的实数根为，. 所以原不等式的解集为或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 函数， 当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为，； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，； 当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，. 所以. 【小问3详解】 由（2）得，， 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且. 综上所述，是减函数. 若对于，总有成立， 所以对于恒成立. 由，得， 由，得， 所以. 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为． 22. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 【答案】（1） 由函数，得， 显然不存在非零实数满足，因此不是“伪奇函数”； 由，得，整理得，解得， 即存在非零实数满足，因此为“伪偶函数”. 所以函数是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”. （2）①； ②由函数在上存在两个“伪奇函数点”， 得关于的方程在上有两个解，不妨设， 令函数， 函数在上是单调函数，则在上至多一个解， 若在上有两个解，则与矛盾， 因此在上有一个解，在上有一个解， 由，得，且， 而当时，函数在上单调递减， 又，则方程在上必有一个解，， 因此， 令函数，而函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用“伪偶函数”、 “伪奇函数”的定义分别判断即得. （2）①利用“伪奇函数”的定义建立等式，分段讨论并分离参数求出范围；②利用“伪奇函数点”的定义，结合零点存在性定理求出范围，再将分别用表示出，借助单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由函数为定义在上的“伪奇函数”， 得存在非0实数，使得，即， 则当时，，即，因此； 当时，，即，而函数在上单调递减， 因此，所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验一部2026级高一上学期 10月份阶段性质量检测 数学学科试题 2026.10.09—2026.10.10 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2．满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A. 80元 B. 160元 C. 200元 D. 240元 5. 已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法不正确的是（ ） A. ，是一个函数 B. C. 当时， D. 6. 若函数与在区间上都是单调递减的，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为、 B. 若（其中），则 C. D. 集合中的元素个数为8 10. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置） 13. 设集合有且只有两个子集，则______________. 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是______． 15. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________． 16. 已知函数，若对于任意的实数，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围. 20. 函数的定义域为，且满足对任意，都有． （1）试判断的奇偶性并证明你的结论； （2）若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 21. 已知定义在上的函数，． （1）解关于的不等式； （2）当时，的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对于，总有成立，求实数的取值范围． 22. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $