云南省德宏傣族景颇族自治州高二数学上学期课后作业（人教A版选择性必修第一册第二章第五节）

云南省李建坤数学名师工作室 直线与圆的位置关系课后作业 设计者：陇川县第一中学董春梅 一、基础题 1.已知直线l：3x-4y-5=0，圆C：x²+y²=1，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由。 2.已知圆C：x²+y²=4，点P(2,0)在圆C上，求过点P且与圆C相切的直线方程。 3.求直线l：y=-2x+1被圆C：x²+y²=4截得的弦长。 4.若直线l：3x-y+m=0与圆C：x²+y²=2相离，求实数m的取值范围。 二、提升题 5.求经过点P(-3,-4)且与圆C：(x-1)²+(y-2)²=4相切的直线方程。 6.已知直线l：y=kx+2与圆C：x²+y²+2x-4y+1=0相交，截得的弦长为4，求实数k的值。 7.点P在圆C：x²+y²=4上运动，求点P到直线l：-3x+4y-25=0距离的最小值与最大值。 三、创新题 8.已知直线l：(2m+1)x-(m+1)y-7m-4=0（m∈R），圆C：(x-1)²+(y-2)²=25。 (1)求证：不论m取何值，直线l恒过一定点，并求出该定点坐标； (2)判断直线l与圆C的位置关系，并给出证明。 9.若直线l：y=x+b与曲线有公共点，求实数b的取值范围。 10.某实验中一束激光沿直线x+y-2=0（单位：米）方向传播，途中遇到一个以原点为圆心、半径为1米的圆形遮光屏障。 (1)判断该激光束是否会穿过圆形屏障的内部区域； (2)若会穿过，求激光束在屏障区域内经过的路径长度（结果保留根号）。 11.某监测站位于平面坐标原点，监测范围为以原点为圆心、半径5千米的圆形区域。一架无人机沿直线-3x+4y=20（单位：千米）匀速飞行。 (1)判断该无人机飞行路线是否会进入雷达监测区域； (2)求无人机处于监测区域内部的航程长度。 学科网（北京）股份有限公司 $云南省李建坤数学名师工作室 直线与圆的位置关系课后作业 设计者：陇川县第一中学董春梅 一、基础题 1.已知直线l：3x-4y-5=0，圆C：x²+y²=1，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由。 【答案】相切 【详解】圆心O(0,0)到l的距离，故直线与圆相切。 2.已知圆C：x²+y²=4，点P(2,0)在圆C上，求过点P且与圆C相切的直线方程。 【答案】x=2 【详解】圆心O(0,0)， 因为P在圆上，所以P是切点 所以，切线垂直于半径，故切线方程为x=2。 3.求直线l：y=-2x+1被圆C：x²+y²=4截得的弦长。 【答案】 【详解】由题可知，圆C的圆心坐标C(0,0),半径为2 C到直线l的距离 所以，弦长为2 4.若直线l：3x-y+m=0与圆C：x²+y²=2相离，求实数m的取值范围。 【答案】 【详解】由题可知，圆C的圆心坐标C(0,0),半径为 C到直线l的距离 因此，直线l与圆C相离 所以，,即 解得， 二、提升题 5.求经过点P(-3,-4)且与圆C：(x-1)²+(y-2)²=4相切的直线方程。 【答案】或 【详解】由题可知，圆C的圆心坐标C(1,2),半径为2 设经过点P的切线l的方程为，化简得 又因为直线与圆相切 所以，圆心C到直线的距离等于半径，即 解得 因此，切线方程为或 6.已知直线l：y=kx+2与圆C：x²+y²+2x-4y+1=0相交，截得的弦长为4，求实数k的值。 【答案】 【详解】由题可知，圆C的圆心坐标C(-1,2),半径为2 圆心C到直线的距离d= 弦长为2 解得=4 7.点P在圆C：x²+y²=4上运动，求点P到直线l：-3x+4y-25=0距离的最小值与最大值。 【答案】最小值=3；最大值=7 【详解】圆C的圆心为O(0,0)半径r=2。 先求圆心O到直线l的距离： d= 因为d=5>r=2，所以直线l与圆C相离 由圆的几何性质：圆上动点P到定直线距离的最大值、最小值，分别出现在”圆心到直线的垂线”与圆的两个交点处，即 最小值=d−r=5−2=3；最大值=d+r=5+2=7 三、创新题 8.已知直线l：(2m+1)x-(m+1)y-7m-4=0（m∈R），圆C：(x-1)²+(y-2)²=25。 (1)求证：不论m取何值，直线l恒过一定点，并求出该定点坐标； (2)判断直线l与圆C的位置关系，并给出证明。 【答案】(1)M(3,1)(2)相交 【详解】(1)将方程按参数m重新整理（把含m的项与不含m的项分组）： (2m+1)x+(m+1)y−7m−4=(2x+y−7)m+(x+y−4)=0 要使该等式对任意m∈R都成立，必须有 2x+y−7=0且x+y−4=0 两式相减得x−3=0，即x=3，代回得y=1。 故不论m取何值，直线l恒过定点M(3,1)。 (2)圆C的圆心为C(1,2)，半径r=5。计算圆心C到定点M的距离： |CM|= 因为|CM|==r，所以定点M在圆C内部。 由于直线l恒过圆内的定点M，而一条直线只要经过圆内一点 所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交。 9.若直线l：y=x+b与曲线有公共点，求实数b的取值范围。 【答案】−2≤b≤ 【详解】曲线表示圆x²+y²=4的上半部分（y≥0），即圆心O(0,0)、半径r=2的上半圆，两个端点为A(−2,0)、B(2,0)。 直线l：y=x+b是斜率恒为1的平行线直线簇，随b变化上下平移。把它写成x−y+b=0，圆心到它的距离为 当直线与上半圆相切时d=r，即|，解得。只有时切点落在上半圆（y≥0）上，这是b的最大值。 将端点代入直线方程求b。 过B(2,0)：0=2+b⟹b=−2； 过A(−2,0)：0=−2+b⟹b=2。 当b由逐渐减小，直线向下平移，与上半圆始终有公共点；直到直线经过右端点B(2,0)即b=−2时仍有交点（交于B点）；若b继续减小（b<−2），直线整体下移，与上半圆不再有交点。 综合两种临界，直线与上半圆有公共点时：−2≤b≤ 10.某实验中一束激光沿直线x+y-2=0（单位：米）方向传播，途中遇到一个以原点为圆心、半径为1米的圆形遮光屏障。 (1)判断该激光束是否会穿过圆形屏障的内部区域； (2)若会穿过，求激光束在屏障区域内经过的路径长度（结果保留根号）。 【答案】(1)会 (2) 【详解】 屏障对应圆x²+y²=4，圆心O(0,0)，半径r=2。 (1)圆心O到直线x+y−2=0的距离： 因为d=<2=r，所以直线与圆相交，激光束会穿过圆形屏障的内部区域。 (2)激光在屏障内部的路径就是直线被圆截得的弦，由弦长公式得： 弦长=2 11.某监测站位于平面坐标原点，监测范围为以原点为圆心、半径5千米的圆形区域。一架无人机沿直线-3x+4y=20（单位：千米）匀速飞行。 (1)判断该无人机飞行路线是否会进入雷达监测区域； (2)求无人机处于监测区域内部的航程长度。 【答案】(1)会 (2)6 【详解】监测区域对应圆x²+y²=25，圆心O(0,0)，半径r=5。飞行路线化为一般式3x+4y−20=0。 (1)圆心O到该直线的距离： ， 因为d=4<5=r，所以飞行路线与监测圆相交，无人机飞行路线会进入雷达监测区域。 (2)无人机处于监测区域内部的航程，即直线被圆截得的弦长=2 学科网（北京）股份有限公司 $