河南省新乡市高二数学2026-2027学年上学期课后作业（人教A版选择性必修一第二章2.5.2圆与圆的位置关系）

2026年10月12日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．圆与圆的位置关系为_____ 2．已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 3．已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 二、解答题 4．已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 5．已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 6．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年10月12日高中数学作业》参考答案 1．相交 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 2． 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 3． 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 4．(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 5．(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）将两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ，由圆与圆有两个不同的交点，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，由（1）知，圆与圆相交，由， 消去二次项得，所以直线的方程是. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 6．(1) 由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）略 （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $《圆与圆的位置关系》课后作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 圆与圆的位置关系同步作业 学段学科 高中数学 适用年级 高二年级 教材版本 人教A版 对应内容 2.5.2 圆与圆的位置关系 作业类型 课后作业 完成时长 总时长 45 分钟 设计者 王梦瑶 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理，需达成能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系，能用两圆的方程解决简单问题的学业质量标准。 · 教材地位：本课时承载的核心概念：圆和圆的位置关系及判断方法 方法与思想：几何法、代数法、两圆方程相减法、待定系数法 数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想、类比思想 价值观：培养严谨求实、全面细致的科学态度； 体会数形统一的数学美，感受数学知识内在联系； 敢于探究，理性辨析，形成多角度思考问题的意识。 · 教学重难点： 重点：由圆方程求圆心、半径，用几何法判断两圆位置关系；两圆公共弦直线方程：两圆方程直接相减；公共弦长计算（弦长公式：半弦、弦心距、半径勾股）；圆系思想：过两圆交点的圆方程的设法； 难点：两圆外切、相交对应的参数范围；公切线条数与位置关系对应；求公切线方程； 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习了圆的标准方程、一般方程以及直线与圆的位置关系，初步具备数形结合的意识，会求圆心、半径与点到直线距离。 现有困惑 ① 容易混淆几何法与代数法的适用场景，不清楚代数法无法区分外离/内含、外切/内切； ② 配方求圆半径时，容易忽略半径大于0的限制； ③ 公共弦、公切线问题运算量大，容易漏解，遇到含参数问题不会分类讨论； 差异分析 基础薄弱学生：能套用公式判断位置关系，但配方、计算圆心距容易出错，综合题无从下手； 中等学生：基础题型可以完成，处理公共弦长、参数范围时考虑不全面，容易丢等号； 学优生：基础题掌握较好，但公切线、外公切线长等几何模型构建，以及多情况讨论仍有疏漏。 3. 设计意图 本作业由浅入深分层设计，巩固两圆位置关系的判定方法，落实公共弦、公切线等核心知识；强化数形结合、转化思想，兼顾基础运算与综合应用；暴露配方、分类讨论等常见易错点，帮助学生理解解析几何“以数研形”的特点，提升直观想象与数学运算素养。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记两圆五种位置关系的定义、几何判定条件，辨别几何法与代数法的适用场景，理解公共弦、公切线的核心概念 直观想象、数学抽象 正确率、概念复述 能力运用 B 运用几何法、代数法、圆系方程方法方法解决两圆位置关系判定、公共弦方程与弦长计算、含参数位置关系求解以及公切线方程求解问题 数学运算、逻辑推理 过程记录、方法选用 思维发展 C 比较几何法与代数法的优劣，创新运用圆系方程简化运算，构建几何模型解决公切线问题 逻辑推理、数学建模 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 体验解析几何数形结合，形成严谨求实、分类讨论、全面思考的意识和习惯， 数学抽象、直观想象 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 填空题 圆与圆的位置关系为_____ 1 判断圆和圆的位置关系，提升数学运算能力 圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 2 填空题 已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 2 由圆的位置关系确定参数及范围，知道圆的公切线条数，提升数学运算和数学建模素养 由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 3 填空题 已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 3 利用圆系方程简化运算，提升逻辑推理素养 由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为 4 解答题 已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 4 会求两个相交圆的公共弦长以及公共弦所在直线方程，提升数学运算和逻辑推理素养 （1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故 5 解答题 已知圆与圆(1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 5 会求圆的公切线方程、相交弦所在直线方程，会利用圆的位置关系确定参数的值或范围，提升数学运算和逻辑推理素养 （1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ，由圆与圆有两个不同的交点，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，由（1）知，圆与圆相交，由， 消去二次项得，所以直线的方程是. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 6 解答题 已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 6 会求圆的公切线的长、相交弦所在直线方程，会利用圆的位置关系确定参数的值或范围，提升数学运算和逻辑推理素养 1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 一、填空题 1．圆与圆的位置关系为_____ 2．已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 3．已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 二、解答题 4．已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 5．已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 6．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长。 七、答案与解析 1．相交 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 2． 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 3． 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 4．(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 5．(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）将两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ，由圆与圆有两个不同的交点，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，由（1）知，圆与圆相交，由， 消去二次项得，所以直线的方程是. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 6．(1) 由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）略 （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $