第3讲 由三角函数的性质反求ω与φ专项训练-2027届高三数学一轮复习

由三角函数的性质反求 ω 与 φ 高三数学专题复习 · 三角第三讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 （或 、 型）的解析式没有完全给出，代之以若干性质条件——单调区间、对称轴或对称中心、零点与最值点的位置或个数、“图象经过某点”——要求 或 的值、范围。处理的总思路是整体换元：令 ，把每条性质翻译为 与 的联合条件，解出参数；条件不足以唯一确定时，解出的是等差数列形态的解集，由参数范围筛选。 识别信号总览： 条件特征 方法指向 单元 单调区间、周期、图象操作后的性质 周期与 的互算 单元一 对称轴、对称中心、“关于……对称” 对称条件方程 单元二 零点、最值点、“在区间内恰有 个……” 区间与相位带的位置关系 单元三 图象经过的点、给值 直接代入 各单元通用 单元一 单调性与周期反求 1.1 识别特征 条件为最小正周期的值（或关于周期的等式）、单调区间的长度或位置；目标为 。复合形态：先化简（辅助角、降幂）出标准形，再由周期或单调区间定 ，或由”两个函数的极值点、零点重合”这类结构条件定 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（周期互算）　、 型的周期 ； 型的周期 ； 的周期减半为 。周期条件与 一一互算。 推导：相位每增加 （正弦余弦）或 （正切）函数值重复；取绝对值后负半波翻正，周期减半。 结论 1.2（单调区间的长度约束）　 的单调递增区间长度为 （  的增量），对应 的增量 。“ 在 上单调递增（减）”⟺ 相位区间 （  时）落在某个长度为 的单调带内——这给出两个不等式：区间长度 ，且两端相位同带。 推导： 时 区间与 区间同向等比伸缩；正弦的单调带长恰为 。 结论 1.3（结构条件的翻译）　“两个函数的极值点（零点）完全相同”⟺ 两者的极值点（零点）集合相等：分别解出各自的点集（含参等差数列），令集合相同，比较公差或首项。集合相同必须双向验证（公差相等只保证”能对齐”，还需一点重合）。 推导：极值点满足 型方程，解集是公差与 相关的等差数列；两集合相等即公差与某代表元素分别相等。 1.3 方法决策表 条件 转化 最小正周期为 （  型  ）（结论 1.1） 在 上单调 相位区间落带：长度与端点两个不等式（结论 1.2） 极值点、零点集合重合 双向列集合等式（结论 1.3） 解析式非标准形 先化简再读周期 例题精讲 例 1（单项选择题） 设函数 （ ， ），且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先化标准形：。 即 为偶函数，偶函数的对称轴过 ：，得 ；由 取 ，。 【答案】B 例 2（单项选择题） 已知函数 ，若 ，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 即 。 时相位 ，此区间内余弦值 的两个角关于 对称：，得 ，且 （相位落在  ）。故 ；由 与余弦值为 ，正弦取负：。 【答案】C 例 3（单项选择题） 已知 ，曲线 与 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 联立： 展开得 ，即 ，交点横坐标 。取相邻三点（  ）： 值交替为 ，，。直角三角形（等腰，直角必在  ）：，解得 ，。 【答案】A 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 的极值点与 的零点完全相同，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.3 双向列集合： 的极值点满足 ； 的零点满足 ，即 。两集合相同，比较代表元素与公差：取 使两点集重合，得 （此时 ，零点 与 的极值点集一致）。 【答案】B 变 2（单项选择题） 已知平面直角坐标系中三个点 ，，。若函数 的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则 的值不可能为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 逐项代入验证： 时过 与 ，恰两个； 时过 与 ，恰两个； 时过 与 ，恰两个； 时 、、，只过一个点，不符合。 【答案】D 变 3（解答题） 已知函数 的最大值为 1。（1）求常数 的值；（2）求使 成立的 的取值集合。 ●解析 （1）和差化积与降幂：，，故 。最大值 ，。 （2），即 ，由正弦函数的性质得 ，解得 （  ）。 【答案】（1）；（2） 变 4（单项选择题） 已知函数 （  ）在区间 上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先化简：。 条件一（结论 1.2，区间落带）： 时相位 ，须落入某条长度为 的增带内。 时右端最大，只可能落在 （  时要求右端 与 矛盾）： 且 ，解得 。 条件二（结论 3.1，恰根计数）： 时相位 ，恰含一个最大值相位 ： 且 ，解得 。 联立：。故选 B。 【答案】B 单元二 对称性反求 2.1 识别特征 条件为”图象关于直线 对称”“关于点 中心对称”“ 是一条对称轴”“图象过点 ”；目标为 或 （有时连带 、 ）。 2.2 结论与推导 结论 2.1（对称条件方程）　 的对称轴满足 （轴过最值点，纵坐标为  ）；对称中心满足 （中心在零点线上，纵坐标为  ）。 型对称轴满足 、对称中心满足 。 推导：正弦在峰值处关于竖直线对称、在零点处中心对称；余弦相反。对称轴与对称中心的条件相差 。 结论 2.2（最值点即对称点）　“在 处取得最值”等价于” 是对称轴”：。反之，给出 （最值）也等价于该 为对称轴。 推导：正弦曲线的峰值点、谷点都是竖直对称轴与曲线的交点。 结论 2.3（范围滤解与多解）　对称方程解出的参数是等差数列形态（如 ）；由题给范围（ 、 ）确定 。当 也待求时，两组等差解需联立筛选：把 的每个候选代入 的条件逐一检验。 推导：对称性以周期为模产生多解；多条件联立时交集可能只剩一个。 结论 2.4（含绝对值与自指结构）　 的对称轴只有 （  轴及其平移）；条件”图象关于 对称”中的 既是对称中心横坐标又是参数时，代入对称条件得到关于 的方程，在自身范围内解出。 推导：绝对值保留 部分，图象仅在 两侧镜面处保持轴对称。 2.3 方法决策表 条件 方程 型对称轴 （结论 2.1） 型对称中心 在 处取最值 / 同对称轴条件（结论 2.2） 解为等差数列 由参数范围定 ；多参数联立逐一检验（结论 2.3） 结构 / 中心含参 只认 轴；自指代入（结论 2.4） 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知 是函数 （ ， ）的一条对称轴，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C． 或 　　D． 或 ●解析 由结论 2.2， 为最大值，即 是峰值对称轴：，得 ，由 取 （结论 2.3）。。 【答案】B 例 5（填空题） 已知 （  ）的图象关于点 中心对称，则 = ______. ●解析 由结论 2.1（  型对称中心纵坐标为  ）：；且 ，得 ；由 取 ，。故 。 【答案】 例 6（填空题） 已知函数 （ ， ）图象过点 ，则 = __________；若函数 的图象关于点 中心对称，则 = __________. ●解析 ， 给出 。由结论 2.1（  型对称中心）：，得 ；由 取 ，。故 。 【答案】； 变式训练 变 5（填空题） 已知三角函数 （ ， ）的图象关于 对称，且其相邻对称轴之间的距离为 ，则 = __________. ●解析 相邻对称轴相距 ，，（结论 1.1）。自指对称条件（结论 2.4）：；由 取 ，。 【答案】 变 6（多项选择题） 函数 （  ）的图象过点 ，该函数图象在 轴右侧的第一个对称中心为 ，且 为一条对称轴。下列有关函数 正确的表述是（  ） A． B． 图象的对称轴为 （  ） C． 图象的对称中心为 （  ） D． 在 上的最大值为 ●解析 由结论 2.1：第一对称中心 ； 为对称轴且是 右侧的对称轴，间距 ，得 ；又对称中心间距 给出 ，故 。再由图象过 ： 需 ； 时 、 时 、 时 ，三者均不等于 ，排除； 时 合。故 A 正确，。B： 代入得 ，不是对称轴，错误。C：代入 得 ，正确。D：，最大值为 ，错误。 【答案】AC 变 7（单项选择题） 已知函数 ，则 图象的对称轴方程为（  ） A．（  ）　　B．（  ） C．（  ）　　D．（  ） ●解析 诱导：，故 。由结论 1.1（绝对值周期减半），，周期 。在 内 ，峰在 即 ，谷在 ；由周期 ，全部对称轴为 与 ——前者并入 （  时  ），故对称轴为 。 【答案】C 变 8（单项选择题） 若函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则实数 可以是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 平移后关于 轴对称，即原函数关于直线 对称。由结论 2.4， 的对称轴为 （  ）：取 ，令 ，得 （  ）；另 时函数为常函数，任何竖直线均为对称轴，也符合。四个选项中只有 （  ）在解集中。 【答案】A 单元三 零点与区间恰根 3.1 识别特征 条件为”图象在区间 内恰有 条对称轴 / 个极大值点 / 个零点 / 个实数根”，或给出与零点相关的数列结构；目标为 的取值范围或函数的完整解析式。这是新高考压轴小题的主力形态。 3.2 结论与推导 结论 3.1（相位区间计数模型）　令 ，“ 内恰有 条对称轴（  个极值点、 个零点）”⟺ 相位区间 （ ； 时两端交换）内恰含 个形如 （或 、 ）的点。列出” 最小与最大的取值范围”即得 的不等式组，端点开闭逐一核对（区间为开时，落在端点上的点不算）。 结论 3.1 补注（点列间距）　相邻零点（或相邻同类最值点）的横坐标间隔为 ，零点与相邻最值点的横坐标间隔为 ——“ 轴右侧第一个零点/最低点”“第 个”类条件即按此间隔折算。 推导： 到 是线性映射，点的个数不变； 的对称轴在 、极大值点在 ，数点即数整数 。 结论 3.2（  的符号先行）　区间 内点的计数与 的符号有关（  区间的方向）。先由条件判定 的符号（如”极大值点多于一个”可在 时导出矛盾），再对确定的符号列不等式。 推导： 时相位区间反向， 的扫描范围随之反向；两种符号给出的解集通常不同。 结论 3.3（零点根数的分段计数）　方程 在区间 内的根数：先解出根的通式（含  ），再令 解出 的范围，数 的个数；“ 内恰有 根，求 ”逆向同一张表——由第 、 个根的位置夹出 。 推导：根的通式是 的等差数列；计数即数落在区间内的整数 。 结论 3.4（分段函数与跨结构零点）　分段函数的零点逐段求解后合并：三角段的零点是等差点列，二次段的零点由判别式与位置定；“恰有 个零点”把两段的个数用不等式联立（三角段至少 个 ⟺ 分段点够远；二次段恰补足余数）。零点排成数列求和时，先写出点列的通项分段结构再求和。 推导：各段定义域不相交，零点个数相加；分段点处的归属单独验证。 3.3 方法决策表 设问 处理 区间内恰有 条对称轴 / 个极值点 相位区间数点模型（结论 3.1） 涉及 先定符号再列不等式（结论 3.2） 方程在区间内恰 根 / 由根数求区间端点 根的通式 + 数 （结论 3.3） 分段函数恰有 个零点 逐段计数联立不等式（结论 3.4） 例题精讲 例 7（单项选择题） 已知 ，函数 在区间 内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 按结论 3.1 换元 ：对称轴对应 ，极大值点对应 。若 ， 时 ，左端为正，区间内若有三条对称轴只能是 ，极大值点至多 一个，矛盾，故 ，，记左端 。由 ，区间内恰有三条对称轴只能含 （  不在内）：，即 ，；此时区间内极大值点 恰两个，条件齐备。端点开闭核对： 时 为开的左端点、不计入，对称轴仍恰为 三条，故允许取等； 时区间内只剩 两条，故右端必须开。 【答案】C 例 8（解答题） 已知函数 ，若 恰有四个不同零点，求实数 的取值范围。 ●解析 按结论 3.4 逐段计数。三角段（  ）： 给出 ，，即正奇数 。二次段（  ）： 在 上单调递增，至多一个零点。 恰有四个零点：三角段须恰提供 3 个（正奇数 且  ），即 ；此时 ，二次段在 上单调递增且可取正值，恰有一个零点，合计 4 个。若 ，三角段至多 2 个零点，二次段至多 1 个，合计至多 3 个，不合；若 ，三角段已有零点 共 4 个，二次段再添 1 个，合计 5 个，也不合。 【答案】 例 9（填空题） 已知函数 （ ，， ）， 为坐标原点。将曲线 与坐标轴的所有交点用点列 表示，其中 ，数列 的前三项分别为 ，，，则 = _________． ●解析 先定哪两个是零点：零点满足 。若 是零点，则 ，其余零点形如 （ ， ）；、 是 的非零有理倍，令其等于 将迫使 为有理数，矛盾——故 、 都不能是零点，而与坐标轴的交点只有 一个，题给三点无法同时落实。故 （与 轴的交点），零点为 与 。由结论 2.1，相邻对称中心相距 ，此处两零点即相邻对称中心（其间隔内无其他零点， 的限定排除其余组合）：，，。代零点 ：，由 得 （结论 2.3）。最后 ，。 【答案】 变式训练 变 9（多项选择题） 已知函数 ，关于 的不等式 （  ）在区间 内的整数解的个数为 ，下列说法正确的是（  ） A．若 ，则 B．若 ，则 的最小值为 338 C．若存在实数 ，使 ，则 的最小值为 D．若存在实数 ，使 ，则 的最大值为 ●解析 周期 ， 含 337 个完整周期。A： 时即 ，每个周期内满足的整数横坐标恰 1 个（间隔 6），加 内的 1 个，共 ，正确。B：取 时 在一个周期内无整数解，，错误。C、D： 需每周期恰 2 个、且 内 2 个；由 在 内从 递增，当 从左侧趋近于 时趋于 ， 最小需覆盖 带宽得 ， 最大同理 ，均正确。 【答案】ACD 变 10（多项选择题） 已知函数 （  ），则下列说法正确的是（  ） A．函数 定义域为 B．若 ，，则 在区间 上单调递增 C．若 ，，则 的图象关于点 对称 D．若 ，且 在区间 上的所有零点之和为 ，则不同零点共有 3 个 ●解析 A：定义域需排除 的点，不为 ，错误。B： 时相位 ，落在 内，递增，正确。C：，正切在 处有对称中心 ，正确。D：零点满足 ，（  ）；前三零点之和 与第 1、2、3 个零点对应一致，故恰 3 个，正确。 【答案】BCD 变 11（解答题） 已知函数 的最大值为 3。（1）求 的最小正周期和单调递增区间；（2）若 ，，求 的值。 ●解析 （1）化简：。最大值 ，。周期 ；增区间由 解得 （  ）。 （2），； 给出相位 ，余弦为正，取 。。 【答案】（1），增区间 （  ）；（2） 变 12（单项选择题） 将函数 （  ）的零点从小到大排列构成数列 ，则 的前 8 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 诱导化简：，。零点： 给 （  ）； 给 或 （  ）。从小到大排列：，前 8 项和为 。 【答案】D 变 13（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，则下列有关函数 及其性质的描述正确的是（  ） A． B． 为函数 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D．函数 的单调递减区间为 （  ） ●解析 最低点纵坐标给出 ；，结合 得 或 。 定 与 （结论 3.1）：零点与相邻最低点横坐标之差为 ：，故 ，。逐一检验 ：若 ， 轴右侧第一个零点满足 ，即 ，不合；若 ，第一个零点 即 ，第一个最低点 即 ，全部吻合。故 。 A：，正确。B：，不为最值， 不是对称轴，错误。C：右移 后 ，是偶函数，正确。D：减区间由 解得 ，选项平移了半个周期，错误。 【答案】AC 变 14（解答题） 已知函数 ，对 ，，且当 为函数的两个不同零点时，． （1）求 的解析式，并用”五点法”画出 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）说明函数 的图象可由 （  ）的图象经过怎样的变换得到． ●解析 （1）值域条件：，得 。零点条件（结论 3.1）：相邻零点的最小距离即半个周期，，故 ，。所以 。 五点法列表：令 取 ，对应 ，对应 。在坐标系内描出五点，用平滑曲线连线，即得 在 上的简图。 （2） 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），即得 的图象。 【答案】（1），图见解析；（2）见解析 变 15（填空题） 已知函数 （ ， ）满足：；对任意 恒有 ；且 在区间 上有且只有一个 使 ．则 的最大值为________． ●解析 条件二： 的最大值为 ，恒有 说明 是最值点：（  ）。条件一：（  ）。两式相减（记  ）得 ；相加得 ，结合 ： 为偶时 （  偶）， 为奇时 （  奇）。 条件三（结论 3.1）：最低点满足 ，即 须落在 内恰一个。 先建立 的上界：区间长 ，若相邻最低点间距 则无论相位如何区间内至少含两个最低点，故 ，即 ，， 最大取 。从大到小检验：（奇）：，，；区间 ， 给 两个解，不合。（偶）：，，；区间即 ， 仅 ，，恰一个，符合。故 的最大值为 。 【答案】 变 16（填空题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 ， 在 上的图象与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，且 ，则 = ________． ●解析 先定式：。降幂合并（结论 1.1）：。由 得 ，。 时相位 ：图象为完整的单峰拱形，峰值 在 处取得，图象关于 对称。 时两条水平线各与图象交于对称的两点，离峰越近的点对距离越小，故可设 （半宽  ）、（半宽  ），，则 ，。由纵坐标关系： ，即 。 令 ：，即 ，解得 （  与 舍）。于是 。 【答案】 变 17（填空题） 已知函数 （  ）在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围是________． ●解析 化简：。 时相位 （开区间）。 恰一个最大值点与一个最小值点（结论 3.1）：开区间须完整”罩住”相邻的一对最值点相位，且不触及相邻的下一对。最大值相位 、最小值相位 ：区间左端须落在 （保证含最小值相位 而不含前一个），右端须落在 （保证含最大值相位 而不含后一个最小值  ）。于是 解得 ，取交得 。 【答案】 变 18（解答题） 已知函数 （ ， ）的图象过点 ，且 在 内存在最大值，但不存在最小值． （1）求 的值；（2）求 的取值范围；（3）若 ，求函数 图象的对称中心． ●解析 （1），即 ，由 得 。 （2）。 时相位 （  ）。“存在最大值但不存在最小值”：开区间须含最大值相位 （或更右的最大值相位），但不含任何最小值相位 。最大值相位 必须落在开区间内：若 则区间内无最大值相位；又因右端点取不到， 时最大值相位恰为端点同样取不到，故须严格 ；而最小值相位 可以取到吗？右端点为开， 时最小值相位恰在端点，同样取不到，允许。且左端 ，区间内不会多出最大值相位。故 ，解得 。 （3） 结合（2）得 ，。。降幂（ ， ）：。令 （  ），得 ，对称中心为 （  ）。 【答案】（1）；（2）；（3）（  ） 变 19（填空题） 已知函数 （  ）在区间 内无零点，则 的取值范围是________． ●解析 时相位 （开区间）。零点相位为 （  ）：开区间内无零点 ⟺ 存在整数 使整个相位开区间落在相邻两零点之间（端点重合允许）： 且 。 解得 。有解需 ，即 。：；：，结合 得 （此时相位 ，零点 是开区间端点，取不到， 合法）； 时左端为负与 矛盾。 综上 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 由三角函数的性质反求 ω 与 φ 高三数学专题复习 · 三角第三讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 （或 、 型）的解析式没有完全给出，代之以若干性质条件——单调区间、对称轴或对称中心、零点与最值点的位置或个数、“图象经过某点”——要求 或 的值、范围。处理的总思路是整体换元：令 ，把每条性质翻译为 与 的联合条件，解出参数；条件不足以唯一确定时，解出的是等差数列形态的解集，由参数范围筛选。 识别信号总览： 条件特征 方法指向 单元 单调区间、周期、图象操作后的性质 周期与 的互算 单元一 对称轴、对称中心、“关于……对称” 对称条件方程 单元二 零点、最值点、“在区间内恰有 个……” 区间与相位带的位置关系 单元三 图象经过的点、给值 直接代入 各单元通用 单元一 单调性与周期反求 1.1 识别特征 条件为最小正周期的值（或关于周期的等式）、单调区间的长度或位置；目标为 。复合形态：先化简（辅助角、降幂）出标准形，再由周期或单调区间定 ，或由”两个函数的极值点、零点重合”这类结构条件定 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（周期互算）　、 型的周期 ； 型的周期 ； 的周期减半为 。周期条件与 一一互算。 推导：相位每增加 （正弦余弦）或 （正切）函数值重复；取绝对值后负半波翻正，周期减半。 结论 1.2（单调区间的长度约束）　 的单调递增区间长度为 （  的增量），对应 的增量 。“ 在 上单调递增（减）”⟺ 相位区间 （  时）落在某个长度为 的单调带内——这给出两个不等式：区间长度 ，且两端相位同带。 推导： 时 区间与 区间同向等比伸缩；正弦的单调带长恰为 。 结论 1.3（结构条件的翻译）　“两个函数的极值点（零点）完全相同”⟺ 两者的极值点（零点）集合相等：分别解出各自的点集（含参等差数列），令集合相同，比较公差或首项。集合相同必须双向验证（公差相等只保证”能对齐”，还需一点重合）。 推导：极值点满足 型方程，解集是公差与 相关的等差数列；两集合相等即公差与某代表元素分别相等。 1.3 方法决策表 条件 转化 最小正周期为 （  型  ）（结论 1.1） 在 上单调 相位区间落带：长度与端点两个不等式（结论 1.2） 极值点、零点集合重合 双向列集合等式（结论 1.3） 解析式非标准形 先化简再读周期 例题精讲 例 1（单项选择题） 设函数 （ ， ），且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先化标准形：。 即 为偶函数，偶函数的对称轴过 ：，得 ；由 取 ，。 例 2（单项选择题） 已知函数 ，若 ，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 即 。 时相位 ，此区间内余弦值 的两个角关于 对称：，得 ，且 （相位落在  ）。故 ；由 与余弦值为 ，正弦取负：。 例 3（单项选择题） 已知 ，曲线 与 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 联立： 展开得 ，即 ，交点横坐标 。取相邻三点（  ）： 值交替为 ，，。直角三角形（等腰，直角必在  ）：，解得 ，。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 的极值点与 的零点完全相同，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 2（单项选择题） 已知平面直角坐标系中三个点 ，，。若函数 的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则 的值不可能为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 3（解答题） 已知函数 的最大值为 1。（1）求常数 的值；（2）求使 成立的 的取值集合。 变 4（单项选择题） 已知函数 （  ）在区间 上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 对称性反求 2.1 识别特征 条件为”图象关于直线 对称”“关于点 中心对称”“ 是一条对称轴”“图象过点 ”；目标为 或 （有时连带 、 ）。 2.2 结论与推导 结论 2.1（对称条件方程）　 的对称轴满足 （轴过最值点，纵坐标为  ）；对称中心满足 （中心在零点线上，纵坐标为  ）。 型对称轴满足 、对称中心满足 。 推导：正弦在峰值处关于竖直线对称、在零点处中心对称；余弦相反。对称轴与对称中心的条件相差 。 结论 2.2（最值点即对称点）　“在 处取得最值”等价于” 是对称轴”：。反之，给出 （最值）也等价于该 为对称轴。 推导：正弦曲线的峰值点、谷点都是竖直对称轴与曲线的交点。 结论 2.3（范围滤解与多解）　对称方程解出的参数是等差数列形态（如 ）；由题给范围（ 、 ）确定 。当 也待求时，两组等差解需联立筛选：把 的每个候选代入 的条件逐一检验。 推导：对称性以周期为模产生多解；多条件联立时交集可能只剩一个。 结论 2.4（含绝对值与自指结构）　 的对称轴只有 （  轴及其平移）；条件”图象关于 对称”中的 既是对称中心横坐标又是参数时，代入对称条件得到关于 的方程，在自身范围内解出。 推导：绝对值保留 部分，图象仅在 两侧镜面处保持轴对称。 2.3 方法决策表 条件 方程 型对称轴 （结论 2.1） 型对称中心 在 处取最值 / 同对称轴条件（结论 2.2） 解为等差数列 由参数范围定 ；多参数联立逐一检验（结论 2.3） 结构 / 中心含参 只认 轴；自指代入（结论 2.4） 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知 是函数 （ ， ）的一条对称轴，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C． 或 　　D． 或 ●解析 由结论 2.2， 为最大值，即 是峰值对称轴：，得 ，由 取 （结论 2.3）。。 例 5（填空题） 已知 （  ）的图象关于点 中心对称，则 = ______. ●解析 由结论 2.1（  型对称中心纵坐标为  ）：；且 ，得 ；由 取 ，。故 。 例 6（填空题） 已知函数 （ ， ）图象过点 ，则 = __________；若函数 的图象关于点 中心对称，则 = __________. ●解析 ， 给出 。由结论 2.1（  型对称中心）：，得 ；由 取 ，。故 。 变式训练 变 5（填空题） 已知三角函数 （ ， ）的图象关于 对称，且其相邻对称轴之间的距离为 ，则 = __________. 变 6（多项选择题） 函数 （  ）的图象过点 ，该函数图象在 轴右侧的第一个对称中心为 ，且 为一条对称轴。下列有关函数 正确的表述是（  ） A． B． 图象的对称轴为 （  ） C． 图象的对称中心为 （  ） D． 在 上的最大值为 变 7（单项选择题） 已知函数 ，则 图象的对称轴方程为（  ） A．（  ）　　B．（  ） C．（  ）　　D．（  ） 变 8（单项选择题） 若函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则实数 可以是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元三 零点与区间恰根 3.1 识别特征 条件为”图象在区间 内恰有 条对称轴 / 个极大值点 / 个零点 / 个实数根”，或给出与零点相关的数列结构；目标为 的取值范围或函数的完整解析式。这是新高考压轴小题的主力形态。 3.2 结论与推导 结论 3.1（相位区间计数模型）　令 ，“ 内恰有 条对称轴（  个极值点、 个零点）”⟺ 相位区间 （ ； 时两端交换）内恰含 个形如 （或 、 ）的点。列出” 最小与最大的取值范围”即得 的不等式组，端点开闭逐一核对（区间为开时，落在端点上的点不算）。 结论 3.1 补注（点列间距）　相邻零点（或相邻同类最值点）的横坐标间隔为 ，零点与相邻最值点的横坐标间隔为 ——“ 轴右侧第一个零点/最低点”“第 个”类条件即按此间隔折算。 推导： 到 是线性映射，点的个数不变； 的对称轴在 、极大值点在 ，数点即数整数 。 结论 3.2（  的符号先行）　区间 内点的计数与 的符号有关（  区间的方向）。先由条件判定 的符号（如”极大值点多于一个”可在 时导出矛盾），再对确定的符号列不等式。 推导： 时相位区间反向， 的扫描范围随之反向；两种符号给出的解集通常不同。 结论 3.3（零点根数的分段计数）　方程 在区间 内的根数：先解出根的通式（含  ），再令 解出 的范围，数 的个数；“ 内恰有 根，求 ”逆向同一张表——由第 、 个根的位置夹出 。 推导：根的通式是 的等差数列；计数即数落在区间内的整数 。 结论 3.4（分段函数与跨结构零点）　分段函数的零点逐段求解后合并：三角段的零点是等差点列，二次段的零点由判别式与位置定；“恰有 个零点”把两段的个数用不等式联立（三角段至少 个 ⟺ 分段点够远；二次段恰补足余数）。零点排成数列求和时，先写出点列的通项分段结构再求和。 推导：各段定义域不相交，零点个数相加；分段点处的归属单独验证。 3.3 方法决策表 设问 处理 区间内恰有 条对称轴 / 个极值点 相位区间数点模型（结论 3.1） 涉及 先定符号再列不等式（结论 3.2） 方程在区间内恰 根 / 由根数求区间端点 根的通式 + 数 （结论 3.3） 分段函数恰有 个零点 逐段计数联立不等式（结论 3.4） 例题精讲 例 7（单项选择题） 已知 ，函数 在区间 内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 按结论 3.1 换元 ：对称轴对应 ，极大值点对应 。若 ， 时 ，左端为正，区间内若有三条对称轴只能是 ，极大值点至多 一个，矛盾，故 ，，记左端 。由 ，区间内恰有三条对称轴只能含 （  不在内）：，即 ，；此时区间内极大值点 恰两个，条件齐备。端点开闭核对： 时 为开的左端点、不计入，对称轴仍恰为 三条，故允许取等； 时区间内只剩 两条，故右端必须开。 例 8（解答题） 已知函数 ，若 恰有四个不同零点，求实数 的取值范围。 ●解析 按结论 3.4 逐段计数。三角段（  ）： 给出 ，，即正奇数 。二次段（  ）： 在 上单调递增，至多一个零点。 恰有四个零点：三角段须恰提供 3 个（正奇数 且  ），即 ；此时 ，二次段在 上单调递增且可取正值，恰有一个零点，合计 4 个。若 ，三角段至多 2 个零点，二次段至多 1 个，合计至多 3 个，不合；若 ，三角段已有零点 共 4 个，二次段再添 1 个，合计 5 个，也不合。 例 9（填空题） 已知函数 （ ，， ）， 为坐标原点。将曲线 与坐标轴的所有交点用点列 表示，其中 ，数列 的前三项分别为 ，，，则 = _________． ●解析 先定哪两个是零点：零点满足 。若 是零点，则 ，其余零点形如 （ ， ）；、 是 的非零有理倍，令其等于 将迫使 为有理数，矛盾——故 、 都不能是零点，而与坐标轴的交点只有 一个，题给三点无法同时落实。故 （与 轴的交点），零点为 与 。由结论 2.1，相邻对称中心相距 ，此处两零点即相邻对称中心（其间隔内无其他零点， 的限定排除其余组合）：，，。代零点 ：，由 得 （结论 2.3）。最后 ，。 变式训练 变 9（多项选择题） 已知函数 ，关于 的不等式 （  ）在区间 内的整数解的个数为 ，下列说法正确的是（  ） A．若 ，则 B．若 ，则 的最小值为 338 C．若存在实数 ，使 ，则 的最小值为 D．若存在实数 ，使 ，则 的最大值为 变 10（多项选择题） 已知函数 （  ），则下列说法正确的是（  ） A．函数 定义域为 B．若 ，，则 在区间 上单调递增 C．若 ，，则 的图象关于点 对称 D．若 ，且 在区间 上的所有零点之和为 ，则不同零点共有 3 个 变 11（解答题） 已知函数 的最大值为 3。（1）求 的最小正周期和单调递增区间；（2）若 ，，求 的值。 变 12（单项选择题） 将函数 （  ）的零点从小到大排列构成数列 ，则 的前 8 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，则下列有关函数 及其性质的描述正确的是（  ） A． B． 为函数 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D．函数 的单调递减区间为 （  ） 变 14（解答题） 已知函数 ，对 ，，且当 为函数的两个不同零点时，． （1）求 的解析式，并用”五点法”画出 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）说明函数 的图象可由 （  ）的图象经过怎样的变换得到． 变 15（填空题） 已知函数 （ ， ）满足：；对任意 恒有 ；且 在区间 上有且只有一个 使 ．则 的最大值为________． 变 16（填空题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 ， 在 上的图象与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，且 ，则 = ________． 变 17（填空题） 已知函数 （  ）在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围是________． 变 18（解答题） 已知函数 （ ， ）的图象过点 ，且 在 内存在最大值，但不存在最小值． （1）求 的值；（2）求 的取值范围；（3）若 ，求函数 图象的对称中心． 变 19（填空题） 已知函数 （  ）在区间 内无零点，则 的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $