专题11 三角函数图象与性质及恒等变换 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题11　三角函数图象与性质及恒等变换 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题11　三角函数图象与性质及恒等变换 一、核心知识 1．正弦函数 ：定义域 R，值域 ，周期 ，奇函数；递增区间 ，递减区间 。 2．余弦函数 ：定义域 R，值域 ，周期 ，偶函数；递增区间 ，递减区间 。 3．正切函数 ：定义域 ，值域 R，周期 ，奇函数，在 上递增，无最大值也无最小值。 4． 的基本量：振幅 ，周期 （），频率 ，相位 ，初相 。 5．对称轴与对称中心： 的对称轴 、对称中心 ； 的对称轴 、对称中心 ； 的对称中心 。 6．五点作图法：对 ，令 依次取 0、、、、，解出对应的 与 ，连成光滑曲线。 7．图象变换：先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。由 到 ，若先平移 再横坐标变为 ，则平移量是 ；若先伸缩再平移，则平移量是 。 8．由图象求解析式：先由最值定 ，由周期定 ，再代入一个已知点（通常是最值点）定 ，注意 的范围限制。 9．和差公式：；∓；∓。 10．二倍角公式：；；。 11．辅助角公式：，其中 、。它是求周期、最值、单调区间的第一步。 12．求值常用技巧：角的拆分（）、降幂（）、1 的代换（），以及 与 的互化。 二、题型精练 题型一　三角函数的图象与解析式 【方法与技巧】 由图象定 A：，注意 ；若图象上下翻转，可把负号吸收到 里。 由周期定 ：相邻最值点之间是半个周期，相邻对称轴之间是半个周期，相邻零点之间是半个周期；。 定 用最值点最稳：把 代入 ，结合 的范围（通常 ）唯一确定。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象的一条对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 3．将函数 的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的振幅与初相分别为（　　） A．3， B．3， C．2， D．3，2 3．函数 的对称中心为（　　） A． B． C． D． 4．将 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得（　　） A． B． C． D． 5．函数 （）的最大值为 2，周期为 ，且 时取最大值，则 （　　） A． B． C． D．0 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 2．函数 与 的图象在区间 上交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 3．为得到 的图象，只需将 的图象（　　） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．函数 的递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 的最大值为 3、最小正周期为 ，且 ，，则 （　　） A．3 B． C．0 D． 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D．不存在 7．函数 在 上的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 8．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 题型二　三角函数的单调性、奇偶性与对称性 【方法与技巧】 求 的单调区间： 时直接把 代入 的单调区间解不等式； 时先提负号化为 。 奇偶性判断：用定义域关于原点对称 ； 为奇函数 ，为偶函数 。 对称性统一处理：对称轴过最值点、对称中心是零点（正弦型），代入解出 即可。 【例题精讲】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 为偶函数，则 的一个取值为（　　） A． B．0 C． D． 3．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D．R 2．下列函数中，周期为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 3．函数 图象的一条对称轴为（　　） A． B． C． D． 4．若函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A．2 B．1 C． D．4 5．函数 在 上的递增区间长度为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是奇函数 【巩固练习】 1．函数 的递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．若 是奇函数，则 可以是（　　） A．0 B． C． D． 3．函数 的对称中心为（　　） A． B． C． D． 4．函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 6．若函数 （）在 上递增，则 的最大值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 7．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 8．函数 的图象关于（　　）对称。 A．点 B．直线 C．点 D． 轴 题型三　三角函数的周期与最值 【方法与技巧】 求最值的标准流程：先辅助角化为 或 ，再整体代换求出相位范围，最后查正弦（余弦）的最值。 闭区间上求最值务必画出“相位区间”，看它是否包含最值点（ 或 ），否则最值在端点取到。 含二次型的三角最值（如 ）用换元 化为二次函数，注意 的范围限制。 【例题精讲】 1．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D． 2．函数 的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 2．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C．3 D． 3．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D．不存在 【巩固练习】 1．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C．3 D． 2．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 4．函数 在 时的值为（　　） A．1 B． C． D．0 5．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最大值为（　　） A．3 B． C．2 D．4 7．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 8．函数 在 上的最小值为（　　） A．1 B． C．0 D． 题型四　和差角与二倍角公式 【方法与技巧】 求值题先看角的关系：已知角与目标角是否能用加减配出来（如 、）。 二倍角公式有三个等价形式， 已知 用 、已知 用 ，可避免开方。 降幂公式 、 用于把二次式降为一次，方便求周期与最值。 【例题精讲】 1． 的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D．1 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A． B．3 C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．1 4．（　　） A． B． C．1 D．2 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，且 、 都是锐角，则 （　　） A． B． C． D． 7．（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 　　　　。 题型五　辅助角公式与三角恒等变换综合 【方法与技巧】 化为一个三角函数：提 ，用 或 形式，注意 由两个分量共同决定，不能只看比值。 化简求值时先定方向：能合并的合并（辅助角）、能降幂的降幂、能约分的约分，尽量往特殊角靠。 给值求值题（已知一个三角函数值求另一个）先确定角的范围，再开方定号，切不可默认取正。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期与最大值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．，1 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A．5 B．7 C． D．25 2．函数 取最大值时 的一个值为（　　） A． B． C． D．0 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．1 4．函数 可化为（　　） A． B． C． D． 5．若 ， 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 6．化简 得（　　） A．2 B．1 C． D．4 【巩固练习】 1．函数 的递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 3．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D．3 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C．2 D． 7．（　　） A． B． C．1 D． 8．函数 的最大值为　　　　。 题型六　三角函数与函数、方程的综合 【方法与技巧】 三角方程 的解的个数问题，用图象法最直观：画出 在给定区间上的草图，看与水平线 的交点数。 零点、交点问题常转化为 常数，先求相位范围再数解，注意端点是否取到。 与函数性质综合时（奇偶、周期、单调），先把 化为一个三角函数，性质就一目了然。 【例题精讲】 1．方程 在 上解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 2．函数 在 上的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 3．若方程 在 上恰有两个解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 与 在 上交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 2．方程 在 上的解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 3．若函数 （）在 上恰有 3 个零点，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 4．函数 在 上的图象与直线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 5．若函数 （）的最小正周期为 ，则 在 上的零点个数为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 6．方程 在 上的解之和为（　　） A． B．0 C． D． 【巩固练习】 1．函数 在 上的零点个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．方程 在 上的解的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 3．若函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A．4 B．2 C． D．1 4．函数 在 上的零点之和为（　　） A． B． C． D． 5．直线 与曲线 （）有两个交点，则 的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 6．函数 在 上的零点个数为（　　） A．1 B．0 C．2 D．无数个 7．函数 在 上的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 8．方程 在 上的解为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D．0 3．函数 图象的一条对称轴为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．函数 的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 6．将 向右平移 得（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．函数 在 上的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【多项选择题】 9．（多选）下列函数中周期为 的有（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．周期为 B．最大值为 1 C． 是一条对称轴 D． 是对称中心 11．（多选）下列等式恒成立的有（　　） A． B． C． D． 【填空题】 12．函数 的最小正周期为　　　　。 13．已知 ，则 　　　　。 14．函数 的最小正周期为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题11　三角函数图象与性质及恒等变换 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题11　三角函数图象与性质及恒等变换 一、核心知识 1．正弦函数 ：定义域 R，值域 ，周期 ，奇函数；递增区间 ，递减区间 。 2．余弦函数 ：定义域 R，值域 ，周期 ，偶函数；递增区间 ，递减区间 。 3．正切函数 ：定义域 ，值域 R，周期 ，奇函数，在 上递增，无最大值也无最小值。 4． 的基本量：振幅 ，周期 （），频率 ，相位 ，初相 。 5．对称轴与对称中心： 的对称轴 、对称中心 ； 的对称轴 、对称中心 ； 的对称中心 。 6．五点作图法：对 ，令 依次取 0、、、、，解出对应的 与 ，连成光滑曲线。 7．图象变换：先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。由 到 ，若先平移 再横坐标变为 ，则平移量是 ；若先伸缩再平移，则平移量是 。 8．由图象求解析式：先由最值定 ，由周期定 ，再代入一个已知点（通常是最值点）定 ，注意 的范围限制。 9．和差公式：；∓；∓。 10．二倍角公式：；；。 11．辅助角公式：，其中 、。它是求周期、最值、单调区间的第一步。 12．求值常用技巧：角的拆分（）、降幂（）、1 的代换（），以及 与 的互化。 二、题型精练 题型一　三角函数的图象与解析式 【方法与技巧】 由图象定 A：，注意 ；若图象上下翻转，可把负号吸收到 里。 由周期定 ：相邻最值点之间是半个周期，相邻对称轴之间是半个周期，相邻零点之间是半个周期；。 定 用最值点最稳：把 代入 ，结合 的范围（通常 ）唯一确定。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．函数 的图象的一条对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ，取 得 。选 A。 3．将函数 的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左移 得 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．函数 的振幅与初相分别为（　　） A．3， B．3， C．2， D．3，2 【答案】A 【详解】由 知振幅 、初相 。选 A。 3．函数 的对称中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ，取 得 。选 A。 4．将 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先伸缩得 ，再右移 得 。选 A。 5．函数 （）的最大值为 2，周期为 ，且 时取最大值，则 （　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】，；由 得 。选 A。 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正切型周期 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的取值 ，故 …。选 A。 2．函数 与 的图象在区间 上交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 或 ，共 2 个。选 A。 3．为得到 的图象，只需将 的图象（　　） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】A 【详解】，故左移 。选 A。 4．函数 的递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，递增即 递减，，得 。选 A。 5．已知函数 的最大值为 3、最小正周期为 ，且 ，，则 （　　） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】，，由 取 ，。选 A。 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】取绝对值后负半周翻上来，周期减半为 。选 A。 7．函数 在 上的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，在 内为 对应 、，共 2 个。选 A。 8．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 题型二　三角函数的单调性、奇偶性与对称性 【方法与技巧】 求 的单调区间： 时直接把 代入 的单调区间解不等式； 时先提负号化为 。 奇偶性判断：用定义域关于原点对称 ； 为奇函数 ，为偶函数 。 对称性统一处理：对称轴过最值点、对称中心是零点（正弦型），代入解出 即可。 【例题精讲】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 2．函数 为偶函数，则 的一个取值为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】偶函数需 ，取 。选 A。 3．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】余弦在 上递减，令 ，得 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 2．下列函数中，周期为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 周期 且为奇函数。选 A。 3．函数 图象的一条对称轴为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 。选 A。 4．若函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 5．函数 在 上的递增区间长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】递增区间 与 ，合计长度 。选 A。 6．下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是奇函数 【答案】A 【详解】只有 A 正确；余弦是偶函数、正切是奇函数、 是偶函数。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，递减即 递增，。选 A。 2．若 是奇函数，则 可以是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】奇函数需 ，取 0。选 A。 3．函数 的对称中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】余弦零点即对称中心 。选 A。 4．函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，最小值在右端点 。选 A。 5．函数 的对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 。选 A。 6．若函数 （）在 上递增，则 的最大值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】需该区间含于 ，由 且 ，得 。选 A。 7．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，最大值为 。选 A。 8．函数 的图象关于（　　）对称。 A．点 B．直线 C．点 D． 轴 【答案】A 【详解】令 得 ，取 得对称中心 。选 A。 题型三　三角函数的周期与最值 【方法与技巧】 求最值的标准流程：先辅助角化为 或 ，再整体代换求出相位范围，最后查正弦（余弦）的最值。 闭区间上求最值务必画出“相位区间”，看它是否包含最值点（ 或 ），否则最值在端点取到。 含二次型的三角最值（如 ）用换元 化为二次函数，注意 的范围限制。 【例题精讲】 1．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，最大值为 2。选 A。 2．函数 的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】令 ，，最小值为 。选 A。 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，周期 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，最大值为 。选 A。 2．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】，最大值为 2（）。选 A。 3．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，最小 、最大 1。选 A。 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，递增需 ，得 。选 A。 5．函数 的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】令 ，，， 时最大为 。选 A。 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】，周期 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的最大值为（　　） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】，最大值为 2。选 A。 2．函数 的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，最大值为 。选 A。 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，周期 。选 A。 4．函数 在 时的值为（　　） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【详解】原式， 时相位为 ，故值为 1。选 A。 5．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，周期 。选 A。 6．函数 的最大值为（　　） A．3 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】，但 ，最大值在 时为 3。选 A。 7．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】绝对值使周期减半，为 。选 A。 8．函数 在 上的最小值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】，区间上相位 ，端点值均为 1，中间最大 ，故最小为 1。选 A。 题型四　和差角与二倍角公式 【方法与技巧】 求值题先看角的关系：已知角与目标角是否能用加减配出来（如 、）。 二倍角公式有三个等价形式， 已知 用 、已知 用 ，可避免开方。 降幂公式 、 用于把二次式降为一次，方便求周期与最值。 【例题精讲】 1． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，故等于 。选 A。 4．（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，；解得 、，。选 A。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．已知 ，，且 、 都是锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 7．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同除以 得 。选 A。 8．已知 ，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 题型五　辅助角公式与三角恒等变换综合 【方法与技巧】 化为一个三角函数：提 ，用 或 形式，注意 由两个分量共同决定，不能只看比值。 化简求值时先定方向：能合并的合并（辅助角）、能降幂的降幂、能约分的约分，尽量往特殊角靠。 给值求值题（已知一个三角函数值求另一个）先确定角的范围，再开方定号，切不可默认取正。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期与最大值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．，1 【答案】A 【详解】，周期 ，最大值 。选 A。 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】提 2 得 。选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故原式。选 B。 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【详解】，最大值为 5。选 A。 2．函数 取最大值时 的一个值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】，最大值时 ，。选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。选 A。 4．函数 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，比值为 。选 A。 5．若 ， 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第四象限 ，。选 A。 6．化简 得（　　） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】由 ，，故 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，余弦递增需 ，得 。选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，解得 或 ，故 或 。选 A。 3．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】，，最大值为 。选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 5．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，周期 。选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由 得 ， 或 ； 在第二象限上半部 ，取 。选 A。 7．（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．函数 的最大值为　　　　。 【答案】 【详解】，最大值为 。 题型六　三角函数与函数、方程的综合 【方法与技巧】 三角方程 的解的个数问题，用图象法最直观：画出 在给定区间上的草图，看与水平线 的交点数。 零点、交点问题常转化为 常数，先求相位范围再数解，注意端点是否取到。 与函数性质综合时（奇偶、周期、单调），先把 化为一个三角函数，性质就一目了然。 【例题精讲】 1．方程 在 上解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 或 ，共 2 个。选 A。 2．函数 在 上的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】、、，共 3 个。选 A。 3．若方程 在 上恰有两个解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时只有 1 个解， 时有 3 个解，其余 内的值恰有 2 个解，故 。选 A。 【变式训练】 1．函数 与 在 上交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】 与 两处相交。选 A。 2．方程 在 上的解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 或 或 ，共 2 个。选 A。 3．若函数 （）在 上恰有 3 个零点，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】零点 ，含 0 在内需 ，得 。选 A。 4．函数 在 上的图象与直线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】， 对应相位 、，两解。选 A。 5．若函数 （）的最小正周期为 ，则 在 上的零点个数为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】，零点 ，在 内 共 4 个。选 A。 6．方程 在 上的解之和为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】 或 ，和为 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 在 上的零点个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】0、、、、 共 5 个。选 A。 2．方程 在 上的解的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【详解】（3 解）或 （2 解），去掉重复共 4 解。选 A。 3．若函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 4．函数 在 上的零点之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 或 ，和为 。选 A。 5．直线 与曲线 （）有两个交点，则 的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】 时 1 个交点， 时 3 个， 时 2 个。选 A。 6．函数 在 上的零点个数为（　　） A．1 B．0 C．2 D．无数个 【答案】A 【详解】仅 一个零点。选 A。 7．函数 在 上的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，含 ，故最大值为 1。选 A。 8．方程 在 上的解为　　　　。 【答案】0 或 【详解】 或 ，得 或 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】，最小值为 。选 A。 3．函数 图象的一条对称轴为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．函数 的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】令 ，， 时最大为 4。选 A。 6．将 向右平移 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故等于 。选 A。 8．函数 在 上的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，在 内取 共 2 个。选 A。 【多项选择题】 9．（多选）下列函数中周期为 的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】四个函数的周期都是 。选 ABCD。 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．周期为 B．最大值为 1 C． 是一条对称轴 D． 是对称中心 【答案】ABCD 【详解】周期 、最大值 1； 为最大值点故是对称轴； 时相位为 0 故是对称中心。选 ABCD。 11．（多选）下列等式恒成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】C 不成立（正弦不满足加法分配），其余都是标准公式。选 ABD。 【填空题】 12．函数 的最小正周期为　　　　。 【答案】 【详解】，周期为 。 13．已知 ，则 　　　　。 【答案】3 【详解】。 14．函数 的最小正周期为　　　　。 【答案】 【详解】，周期 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $