精品解析：天津市益中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027益中学校高二年级一月考学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第20题．试卷满分100分．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．祝您考试顺利！ 一、选择题（共9道题，每题3分，共27分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 8. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 9. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共6道题，每题4分，共24分） 10. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 11. 直线关于轴对称的直线方程为______.（结果用一般式表示） 12. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 13. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 14. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 15. 如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________． 三、解答题（共49分） 16. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）在轴和轴上的截距分别是，； （3）经过两点、. 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 18. 过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）求面积的最小值及此时直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； （3）求的最小值及此时直线l的方程． 19. 长方体中，，E，F分别为中点，且． （1）求证：GF⊥平面FBE； （2）求直线与平面FBE所成角的正弦值， （3）求三棱锥D-FBE的体积． 20. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且. （1）求AC与PB所成的角的余弦值； （2）证明：平面⊥平面； （3）设M是PB上一点，且直线与平面夹角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027益中学校高二年级一月考学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第20题．试卷满分100分．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．祝您考试顺利！ 一、选择题（共9道题，每题3分，共27分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 4. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量的投影向量公式及模长，数量积公式计算求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A. 6. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 7. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 8. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 9. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、选择题（共6道题，每题4分，共24分） 10. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示， 因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 11. 直线关于轴对称的直线方程为______.（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线与坐标轴的交点为和，得出关于轴的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 易知点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为， 即. 故答案为：. 12. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 13. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 14. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，然后分别求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，此时直线方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，解得，此时直线方程为. 所以该直线方程为或. 故答案为：或 15. 如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. ##2.25 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由两点间距离公式化简后得轨迹方程，再由空间向量表示点到平面的距离公式求解最值 【详解】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系， 在平面直角坐标系中，设，由得，所以， 所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为． 若点在长方体内部运动， 设点，由得，所以， 由题得 所以设平面的法向量为， 所以，由题得， 所以点P到平面的距离为， 因为， 所以，又为的中点，所以点M到平面的最小距离为， 由题得为等边三角形，且边长为， 所以三棱锥的体积的最小值为． 故答案为：； 三、解答题（共49分） 16. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）在轴和轴上的截距分别是，； （3）经过两点、. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用点斜式、截距式、两点式依次写出直线方程，并化为一般式即可. 【小问1详解】 由点斜式有，整理得； 【小问2详解】 由截距式知，整理得； 【小问3详解】 由两点式知，整理得. 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以点为中点. 又为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，所以两两垂直. 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为为的中点，所以. 则，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）求面积的最小值及此时直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； （3）求的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）4； （2）， （3）最小值为4，线l的方程为， 【解析】 【分析】（1）方法一：设直线l的方程为，可得，，利用基本不等式运算求解；方法二：设，可得，利用基本不等式运算求解； （2）方法一：由（1）可知，，利用基本不等式运算求解；方法二：由（1）可知，利用基本不等式运算求解； （3）由（1）可知，，可得，利用基本不等式运算求解. 【小问1详解】 方法一：由题意可知：直线l的斜率存在，且为负数， 设直线l的方程为，可得，， 则， 当且仅当，即时，面积有最小值为4， 此时直线l的方程为，即； 方法二：设， 则所求直线l的方程为，可得． 则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积有最小值为4， 此时直线l的方程是，即. 【小问2详解】 方法一：因为，（）， 则截距之和为． 当且仅当，即时，等号成立， 所以截距之和的最小值为， 此时l的方程为，即； 方法二：因为， 则截距之和， 当且仅当，时，等号成立． 此时，直线l的方程为，即． 【小问3详解】 因为，（）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，此时，直线l的方程为. 19. 长方体中，，E，F分别为中点，且． （1）求证：GF⊥平面FBE； （2）求直线与平面FBE所成角的正弦值， （3）求三棱锥D-FBE的体积． 【答案】（1） 以 为原点，分别以 DA、DC、 所在直线为 、、 轴建立空间直角坐标系. 由 ，，得各点坐标： ，，，， ，，，. 为 中点，故 ； 为 中点，故 . 由 ，得 在 上且 ，故 . ，，. ，故 . ，故 . 又 ，FB、 平面 FBE， 平面 FBE. （2）. 由（1）知 是平面 FBE 的一个法向量. 设直线 与平面 FBE 所成角为 ，则 . ， ， . 故 . （3）6 【解析】 【分析】(1)用向量数量积为零判定线线垂直，进而证线面垂直； (2)用线面角公式 ； (3)利用线面平行转化点到平面的距离，再用等体积法换顶点简化计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，故 . 又 平面 FBE， 平面 FBE， 平面 FBE. 因此 、 两点到平面 FBE 的距离相等，故 . 换顶点得 . . 点到平面 FBC 的距离为. . 综上，. 【点睛】空间向量综合题中，体积问题优先用“线面平行→距离相等→等体积换顶点”转化，可大幅简化计算；向量运算优先用已知棱向量分解，减少坐标运算量. 20. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且. （1）求AC与PB所成的角的余弦值； （2）证明：平面⊥平面； （3）设M是PB上一点，且直线与平面夹角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） （2）证明：因为PA⊥底面ABCD， 底面ABCD，所以， 因为，，所以, 因为,平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用向量夹角公式求解即可； （2）利用线线垂直证明线面垂直，结合平面与平面垂直的判定定理可证； （3）求出平面的法向量，利用线面角的向量表示可得答案. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ,, ，所以AC与PB所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知; , 设平面的一个法向量为，,即， 令，可得， 设，则， , 因为直线与平面夹角的正弦值为， 所以,解得, 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $