天津市益中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027益中学校高二年级一月考学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第20题．试卷满分100分．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．祝您考试顺利！ 一、选择题（共9道题，每题3分，共27分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 8. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 9. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共6道题，每题4分，共24分） 10. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 11. 直线关于轴对称的直线方程为______.（结果用一般式表示） 12. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 13. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 14. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 15. 如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________． 三、解答题（共49分） 16. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）在轴和轴上的截距分别是，； （3）经过两点、. 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 18. 过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）求面积的最小值及此时直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； （3）求的最小值及此时直线l的方程． 19. 长方体中，，E，F分别为中点，且． （1）求证：GF⊥平面FBE； （2）求直线与平面FBE所成角的正弦值， （3）求三棱锥D-FBE的体积． 20. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且. （1）求AC与PB所成的角的余弦值； （2）证明：平面⊥平面； （3）设M是PB上一点，且直线与平面夹角的正弦值为，求的值. 2026-2027益中学校高二年级一月考学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第20题．试卷满分100分．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．祝您考试顺利！ 一、选择题（共9道题，每题3分，共27分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 二、选择题（共6道题，每题4分，共24分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 ①. ②. ##2.25 三、解答题（共49分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以点为中点. 又为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）4； （2）， （3）最小值为4，线l的方程为， 【19题答案】 【答案】（1） 以 为原点，分别以 DA、DC、 所在直线为 、、 轴建立空间直角坐标系. 由 ，，得各点坐标： ，，，， ，，，. 为 中点，故 ； 为 中点，故 . 由 ，得 在 上且 ，故 . ，，. ，故 . ，故 . 又 ，FB、 平面 FBE， 平面 FBE. （2）. 由（1）知 是平面 FBE 的一个法向量. 设直线 与平面 FBE 所成角为 ，则 . ， ， . 故 . （3）6 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为PA⊥底面ABCD， 底面ABCD，所以， 因为，，所以, 因为,平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $