精品解析：天津市第二十一中学2025-2026学年高二上学期阶段练习（二）数学试题

2025-2026第一学期高二年级阶段练习（二）（数学学科） 一、单选题.（本大题共9小题，共27.0分） 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 2. 在等差数列 中， ， ，则 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 7. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ） ①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 10. 抛物线的准线方程是________. 11. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 12. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 13. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则__________. 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 15. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 三、解答题（本大题共5小题，共49.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 17. 已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 18. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 20. 已知椭圆的长轴长为8，是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆有唯一公共点，记为原点，求的面积； （3）若直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），且为中点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期高二年级阶段练习（二）（数学学科） 一、单选题.（本大题共9小题，共27.0分） 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 则是首项为1，公比为的等比数列， 则. 故选：B. 2. 在等差数列 中， ， ，则 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】设公差为， 依题意，，解得. 故选：B 3. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 4. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系. 【详解】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 5. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得，计算可求得，进而利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为成等比数列，所以， 又因为数列是公差为2的等差数列，所以，解得． 所以． 故选：A． 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 7. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 8. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ） ①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案. 【详解】，所以， ， 所以，所以且，故②错误，④正确； 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故①③正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 10. 抛物线的准线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其准线方程. 【详解】抛物线，即的准线方程为. 故答案为： 11. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况进行讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 12. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为 所以. 可得，解得. 故答案为：5. 13. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为等差数列的前项和分别为， 则，. 所以. 故答案为：. 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 15. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共49.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. 【小问1详解】 经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 17. 已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）（i）且 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，列式求解即可； （2）写出，解不等式即可；按照和两种情况结合等差数列的前项和公式求出即可. 【小问1详解】 因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. 【小问2详解】 （i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 18. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则； 为平面的一个法向量，， 因为 ，所以， 因为直线平面， 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面； （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设为平面的法向量，; 所以，令 ，则 ，则. 所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量， 因为，所以; 所以,; ，令，则 ，则； 为平面的法向量； 则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）证明：时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项； （2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证； （3）利用等比数列通项公式即可求解. 【小问1详解】 当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得：，所以. 20. 已知椭圆的长轴长为8，是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆有唯一公共点，记为原点，求的面积； （3）若直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），且为中点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴长定义、结合两点间距离公式、之间的关系进行求解即可； （2）根据椭圆切线的性质，结合三角形面积公式进行求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可, 【小问1详解】 因为椭圆长轴长为8，所以， 因为直线：与轴交于点，所以点的坐标为， 因为是椭圆的左焦点，所以左焦点的坐标， 由， 所以， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 ， 因为直线与椭圆有唯一公共点， 所以， 若，， 所以的面积， 若，， 所以的面积， 综上所述：的面积为； 【小问3详解】 设， 因为为中点，所以， 因为点在第一象限，所以， 由上可知：， 解得：，舍去， 当时，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $