精品解析：山东淄博市张店区科技苑中学2026-2027学年八年级上学期数学10月阶段性调研

2026—2027学年第一学期月调研 初三数学试题 一、选择题（共10小题40分） 1. 下列各式：，，，0，，，中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】判断各式分母是否含字母，注意为常数． 【详解】解：分母含字母，分母含字母，均为分式． ，，，，（为常数）的分母不含字母，均不是分式． 分式共2个． 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解逐项排除即可得到答案，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：∵，因此选项不正确； ∵，因此选项不正确； ∵，因此选项不正确； ∵，因此选项正确． 故选：． 3. 下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合a2±2ab+b2结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选择：A. 【点睛】本题考查了用完全公式进行因式分解的能力，解题的关键了解完全平方式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 4. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质依次进行判断即可得．本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； B．成立，原选项说法正确，符合题意； C．当时，，原选项说法错误，不符合题意； D．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 6. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 7. 若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6）， 所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9． ∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键． 8. 若可以被和之间的某两个数整除，这两个数是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式对原式逐步因式分解，即可得到60到70之间的两个因数． 【详解】解：， ，，，和都在和之间， 可以被和整除． 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ） A. 56 B. 60 C. 62 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合． 【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数）， ∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)， A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误； B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确； C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误； D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键． 二、填空题（共5小题，20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 12. 若分式＝2，则分式＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得出y﹣x＝2xy，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：y﹣x＝2xy， 原式＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是根据题意得出y﹣x＝2xy，本题属于基础题型． 13. 如图，A、B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖，现有4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖，要拼成一个大正方形，多余1块________型地砖． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，首先计算4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖，要拼成一个大正方形，多余1块B型地砖． 故答案为：B． 14. .观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝___________．（n为正整数） 【答案】 【解析】 【详解】原式＝ ＝＝ 15. 已知对于正数，规定，例如：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题关键，根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， 原式 ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，再计算乘除运算即可； （2）把能够分解因式的分子与分母分解因式，再把除法化为乘法，再约分即可； （3）先化为同分母分式的加减运算：，再计算加减运算即可； （4）先化为同分母分式的加减运算：，再计算加减运算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，然后从0，1，2，3中选一个合适的值代入求解． 【答案】，6 【解析】 【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a的取值不能使原算式的分母及除数为0． 【详解】解：原式 因为a=0，1，2时分式无意义，所以 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除数为0． 19. 仔细阅读下面例题，解答问题. 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值. 解：设另一个因式为， 则，即. 解得 ∴另一个因式为，的值为. 【问题】仿照以上方法解答下面问题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值. （2）已知关于的多项式有一个因式是，求的值. 【答案】（1），；（2）20. 【解析】 【分析】（1）按照例题的解法，设另一个因式为，则，展开后对应系数相等，可求出a，b的值，进而得到另一个因式； （2）同理，设另一个因式为，则，展开后对应系数相等，可求出k的值. 【详解】解：（1）设另一个因式为 则，即. ∴解得 ∴另一个因式为，的值为. （2）设另一个因式为， 则，即. ∴解得 ∴的值为20. 【点睛】本题考查因式分解，掌握两个多项式相等，则对应系数相等是关键. 20. 小鹿在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： 　 第一步 第二步 ．第三步 （1）小鹿从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法；第二步到第三步因式分解运用的方法是 法； （2）请你按照上述方法因式分解：； （3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）公式法和提公因式；提公因式 （2） （3）等腰三角形，理由如下： 因为， 所以， 则， 由于a，b，c是三角形的三边长， 所以， 因此，即， 所以这是一个等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先分组，前半部分用平方差公式分解，再整体提取公因式，识别用到的分解方法； （2）先分组，前三项用完全平方公式，之后提取整体公因式完成因式分解； （3）先分组分解等式，因式分解得到乘积为0，结合三角形边长大于0，推出两边相等判定等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【小问3详解】 略 21. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）如图，四边形中，．若，则四边形面积的最大值为______． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）利用配方法和平方差公式分解因式； （2）先配方，再利用偶次方的非负性质求最小值； （3）先由已知结合完全平方公式得出四边形面积为：，即可求最大值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，多项式有最小值； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值8． 22. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （1）已知，求的值； （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； （3）问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期月调研 初三数学试题 一、选择题（共10小题40分） 1. 下列各式：，，，0，，，中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 6. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 7. 若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 无数个 8. 若可以被和之间的某两个数整除，这两个数是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ） A. 56 B. 60 C. 62 D. 88 二、填空题（共5小题，20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 若分式＝2，则分式＝_________． 13. 如图，A、B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖，现有4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖，要拼成一个大正方形，多余1块________型地砖． 14. .观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝___________．（n为正整数） 15. 已知对于正数，规定，例如：，则_____． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，然后从0，1，2，3中选一个合适的值代入求解． 19. 仔细阅读下面例题，解答问题. 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值. 解：设另一个因式为， 则，即. 解得 ∴另一个因式为，的值为. 【问题】仿照以上方法解答下面问题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值. （2）已知关于的多项式有一个因式是，求的值. 20. 小鹿在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： 　 第一步 第二步 ．第三步 （1）小鹿从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法；第二步到第三步因式分解运用的方法是 法； （2）请你按照上述方法因式分解：； （3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）如图，四边形中，．若，则四边形面积的最大值为______． 22. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （1）已知，求的值； （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； （3）问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $