精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区齐德中学2026-2027学年八年级上学期数学阶段性测试 （2026.10）

2026-2027学年第一学期初三数学检测 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3 3. 多项式与多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 5. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若，则的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 7. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 9. 若实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知、、是实数，且，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 如果因式分解得，则__________． 12. 已知整式分解因式的结果为，则______． 13. 分式，，的最简公分母是______． 14. 用如图所示的4张边长为的正方形，9张边长为的正方形，12张长、宽分别为、的长方形恰好能拼出一个无重叠、无缝隙面积为的大正方形，则__________． 15. 在计算分式的值时，若分别取，求所得各值之和__________． 三、解答题（共6小题，共90分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 17. 按要求解答下列问题： （1）若，，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 已知分式：，解答下列问题： （1）化简分式； （2）分式的值能等于吗？请说明理由． 19. 阅读材料：“糖水不等式”的证明 准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象． 设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖的质量与糖水的质量比(即糖水的浓度)为，现再加入克糖，则糖水的浓度为． 生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜． ——苏教版八年级下册数学教材第148页“数学探究” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【经验猜想】_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 22. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 23. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学检测 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．根据分式的值为0的条件得出，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，，， 解得：， 故选：B． 3. 多项式与多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 4. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【详解】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 5. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 6. 若，则的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式对所求式子变形，然后整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 7. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质依次进行判断即可得．本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； B．成立，原选项说法正确，符合题意； C．当时，，原选项说法错误，不符合题意； D．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 【答案】B 【解析】 【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解． 【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1） ＝（224+1）（212+1）×65×63， 故选：B． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案． 9. 若实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 10. 已知、、是实数，且，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知等式和待求式取倒数，转化为、、的和的关系求解． 【详解】解：对已知三个等式分别取倒数，得 ， ， ． 拆分分式，得 ， ， ． 将三式左右分别相加，得 ， ∴． ∴， ∴． 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 如果因式分解得，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将因式分解结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：将展开，得： ， ∵， ∴对比对应项系数可得． 12. 已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】将分解因式后的结果展开，对比原式对应项的系数即可求得． 【详解】解：， 由题意得， ． 13. 分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：∵， ∴分式，，的最简公分母是； 故答案为： 14. 用如图所示的4张边长为的正方形，9张边长为的正方形，12张长、宽分别为、的长方形恰好能拼出一个无重叠、无缝隙面积为的大正方形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据拼图总面积列出等式，因式分解得到；再对分式进行通分、化简、约分，将原式化简为；最后把代入化简后的式子求值． 【详解】解：根据拼图列式： 4 张边长正方形面积：； 9 张边长正方形面积：； 12 张长方形面积：； 总面积：． 左边因式分解：． ， ， ∴． u∵ ． 代入． 原式． 15. 在计算分式的值时，若分别取，求所得各值之和__________． 【答案】 【解析】 【分析】先推导互为倒数的两个对应的分式值之和为，再计算剩余未配对对应的结果之和，即可得到最终总和． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 即每对互为倒数的对应的分式值之和为； 题目中与，与，，与共对互为倒数，所有配对的结果之和为， 剩余未配对的为，，，分别计算： 当时，，两个的结果和为； 当时，， 因此所有结果相加得总和为． 三、解答题（共6小题，共90分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 按要求解答下列问题： （1）若，，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）把原式化为，再把，代入计算即可． （2）先计算括号内分式的加法，再计算除法运算，得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 已知分式：，解答下列问题： （1）化简分式； （2）分式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 分式的值不能等于， 理由如下： 令， 解得：， 当时，，原分式无意义， 分式的值不能等于． 【解析】 【分析】（1）括号内先通分，再计算括号外的除法即可； （2）令，求出相应的的值，再观察此时的值是否使得分式有意义． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算的法则以及分式有意义的条件是解题的关键． 19. 阅读材料：“糖水不等式”的证明 准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象． 设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖的质量与糖水的质量比(即糖水的浓度)为，现再加入克糖，则糖水的浓度为． 生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜． ——苏教版八年级下册数学教材第148页“数学探究” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【经验猜想】_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． 【答案】（1） （2）证明： ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据“作差法”进行计算，进行大小比较即可． 【小问1详解】 解：根据生活经验，加入糖后糖水会更甜，即浓度变大，． 【小问2详解】 略 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），时，原式有最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 22. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】（1）②③ （2） ∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【小问1详解】 解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 23. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1） （2）4或2或16或 【解析】 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【小问1详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或 则满足条件的整数或2或16或， 故答案为：4或2或16或． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $