精品解析：上海市洋泾中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试卷

上海市洋泾中学2026学年第一学期10月质量检测 高三数学试卷 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟． 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】解：∵集合， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集的运算等基础知识，是基础题． 2. 设复数z满足（其中是虚数单位），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则及其模的定义即可求解. 【详解】由已知条件得 ， 则. 故答案为：. 3. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案． 【详解】根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次， 则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个； 故答案为：128 【点睛】本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题． 4. 圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角___________. 【答案】； 【解析】 【分析】 根据圆的周长公式易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小. 【详解】因为圆锥底面半径为，所以圆锥的底面周长为， 则其侧面展开图扇形的圆心角， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关圆锥侧面展开图的问题，解题思路如下： （1）首先根据底面半径求得底面圆的周长； （2）根据圆锥侧面展开图扇形的弧长就是底面圆的周长，结合母线长，利用弧长公式求得圆心角的大小. 5. 抛物线的准线方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的性质得结论． 【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为． 故答案为：． 6. 已知函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 令求出其对称轴，再令对称轴等于结合，即可求解 【详解】令，可得：， 令，解得， 因为，所以，， 故答案为： 7. 若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为事件，互斥，所以， 而又因为事件，独立，所以， 由可知，， . 8. 已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取AC中点N，连接MN、NS，分析可知SM与BC所成角为（或其补角），利用余弦定理运算求解即可. 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 9. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 10. 已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 11. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 【答案】 【解析】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离的最值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则，显然这两球相交； 故， ， 故的取值范围为. 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 14. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数在上的单调性和三角形大边对大角的性质，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】在中，内角，函数在区间上单调递减. 充分性验证：若，根据在的单调递减性质，可得. 根据三角形大边对大角的性质，角的对边为，角的对边为. 因此可推出，充分性成立. 必要性验证：若，根据大边对大角的性质可得， 再结合在的单调递减性质，可得，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种， 所以可得到的四面体的个数为种， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键. 16. 若函数的图象上存在不同的两点，，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①；②；③（）；④． 其中与原点关联的所有函数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由“函数与原点关联”的定义可知函数在其图象上存在不同的两点，使得、共线，即存在点A、B与点O共线，结合4个函数的图象分别判断即可． 【详解】设，则， 由题意可知，即， 所以，又， 所以，即共线，亦即三点共线， 也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为函数与原点关联． 对于①，因为函数经过原点，且图象关于原点对称， 所以存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数； 对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数； 对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点， 即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数； 对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数； 综上所述，与原点关联的所有函数有个． 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 已知长方体中，，，，点是棱上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接应用三棱锥的体积公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面空间线面角的坐标公式求出即可. 【详解】（1）由长方体的性质可知：平面. 所以三棱锥的体积为：； （2）建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 所以，设平面的法向量为，则有， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因此直线与平面所成的角为. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，考查了利用空间向量求解线面角，考查了数学运算能力. 18. 在中，内角所对的边分别为，若为钝角，且. （1）求角的大小； （2）记，求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理对等式边角互化，可得，再由为钝角，即可求得角的值；（2）由三角形内角和定理可得的范围，化简函数，利用整体法求解三角函数的值域. 【详解】（1）的内角所对的边分别为，， ∴根据正弦定理：， 可化为. ∴，为钝角，. （2），， ，得. . 又因为，可得. 由函数的图像，可知，即.因此，. 所以函数的值域是. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式. 19. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）晋级分数线定为分，估计平均分为分； （2）总平均数，总方差． 【解析】 【分析】1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 20. 已知椭圆的左、右焦点为、. （1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆上点满足，求的纵坐标； （3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点. 【解析】 【分析】(1)由椭圆方程可求出左焦点的坐标,由此可求出抛物线的方程; (2)根据椭圆定义以及余弦定理可求出,再根据面积关系列式可求得结果; (3)联立直线,与抛物线方程,消去得到关于的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再根据向量相乘为0列式可解得,从而可得. 【详解】(1)在椭圆中,,,所以, 所以,所以, 所以在抛物线中,所以, 所以以为焦点，原点为顶点的抛物线方程为:,即. (2)设,,, 在三角形中,, 由余弦定理得:, 所以得, 得,又, 所以, 所以, 即, 解得:,所以; (3)直线的斜率显然存在,设直线的方程为:, 联立 ,消去并整理得:, 设,, 则,即, ,, 因为, 所以, 所以, 所以, 所以, 化简得:, 因为,所以, 所以直线 :过定点. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,抛物线的标准方程,余弦定理,三角形的面积公式,向量的数量积,直线过定点问题,运算求解能力.本题属于难题. 21. 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“下切线”，求实数的取值； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 【答案】（1），定义域为 ，. 切线斜率 ，令 ，得 ，解得 . ，故切点为 . 切线方程为 ，即 ，故直线 与曲线 相切. 再证明 对一切 恒成立： 令 ，，则 . 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减. 故 在 处取得最大值 . 因此 ，即 对一切 恒成立. 综上，直线 与曲线 相切，且 恒成立，故直线 是函数 的“上切线”. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)先证相切，再证不等式恒成立； (2)将下切线条件转化为二次不等式恒成立，结合相切条件（等号可取）求解； (3)分别写出两条曲线的切线方程，利用公切线条件建立 关于 的函数，再求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由“下切线”定义， 对一切 恒成立，且直线 与曲线 相切. ，定义域为 （因 恒成立）. ，两边同乘 （，不等号方向不变）： . 两边消去 ，整理得： ，即 对一切 恒成立. 分情况讨论： ① 当 ，即 时，不等式变为 ，即 ，不能对一切 恒成立，舍去. ② 当 ，即 时，二次函数 开口向上，要使其值恒非负，需判别式 ： ， 解得 . 又因为直线 与曲线 相切，故等号必须能取到，即二次函数 有零点，因此 . 故 . 验证：当 时，，即 ，，等号成立，切点为 ，符合切线条件. 【小问3详解】 因为直线 是 的“下切线”，设切点为 . ，故切线斜率 ，即 （）. 切线方程为 ，整理得： . 故 . 又因为直线 是 的“上切线”，设切点为 . ，故切线斜率 ，解得 . 切点在切线上，故 . 将 和 代入上式： . 左边化简：. 右边化简：. 整理得： . 令 ，，求 的值域. 求导： . 令 ，即 ，即 . 令 ，，，故 在 上单调递增. 又 ，故方程 有唯一解 . 当 时，，即 ，故 ， 单调递增； 当 时，，即 ，故 ， 单调递减. 故 在 处取得最大值： . 当 时，，故 . 因此 的值域为 ，即 的取值范围是 . 【点睛】“下切线”本质是曲线始终在切线上方，“上切线”本质是曲线始终在切线下方；公切线问题通过设切点、写出切线方程，再利用斜率和截距相等建立联系是常用方法，最终转化为单变量函数的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洋泾中学2026学年第一学期10月质量检测 高三数学试卷 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟． 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则________． 2. 设复数z满足（其中是虚数单位），则___________. 3. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个. 4. 圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角___________. 5. 抛物线的准线方程为______________. 6. 已知函数的图像关于直线对称，则________. 7. 若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 8. 已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 9. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 10. 已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 11. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A. B. C. D. 16. 若函数的图象上存在不同的两点，，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①；②；③（）；④． 其中与原点关联的所有函数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 已知长方体中，，，，点是棱上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）. 18. 在中，内角所对的边分别为，若为钝角，且. （1）求角的大小； （2）记，求函数的值域. 19. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 20. 已知椭圆的左、右焦点为、. （1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆上点满足，求的纵坐标； （3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 21. 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“下切线”，求实数的取值； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $