精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期十一月第一次测试数学试题

复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学十一月第一次测试 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，则__________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 直线的倾斜角为______． 4. 已知函数为奇函数，则______. 5. 在的二项展开式中项的系数为__________． 6. 方程的解集为_________. 7. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 8. 已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 9. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则______． 10. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 11. 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 15. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ） A. B. 多面体的体积为定值 C. 侧面上存在点，使得 D. 直线与直线所成的角可能为 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（ ） A. （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立，（2）不成立 D. （1）不成立，（2）成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 19. 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 20. 设双曲线的方程为(常数. （1）若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； （2）设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 21. 已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学十一月第一次测试 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将给定不等式移项通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 3. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设其倾斜角为，故可得，又，故． 故答案为： 4. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 5. 在的二项展开式中项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出的通项公式，计算含项中的值，代入计算可得系数. 【详解】解：的通项公式为：， 当时，，此时. 故答案为： 6. 方程的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】对的取值范围进行分类讨论，去掉绝对值符号求解方程即可. 【详解】若，则，此时， 与假设矛盾； 若，则，此时恒成立； 若，则， 此时，与假设矛盾； 若，则，此时， 与假设矛盾. 综上所述：. 故答案为：. 7. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 8. 已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由的整数次幂的周期性求出的取值集合，进而列举出所有结果即可得解. 【详解】依题意，，，则， 因此，， 所以的值中不同虚数有：，共6个. 故答案为：6 9. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 10. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 【答案】 【解析】 【分析】以矩形的中心为原点建立直角坐标系，计算直线的方程，根据图形中心对称得到直线的方程，计算图形中的关键点坐标，通过面积公式计算即可得到结果. 【详解】 如图以矩形的中心为原点建立平面直角坐标系，记边上的圆心分别为， 则直线的斜率为， 根据圆与圆的半径相等，可知， 设直线的方程为，即， 根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，根据图中位置可得， 则直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 根据图形的中心对称性，可知直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 所以中间重合部分的面积为：， 对于直线的方程为， 令，可得，令，可得， 可得，即， 所以， 根据对称性可知， 所以六边形的面积为：， 在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道的面积为：. 故答案为：. 11. 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 14. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行、空间向量垂直的坐标表示逐项计算判断即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以不垂直，选项A,C错误； 因为，所以. 因为，所以，B正确. 故选：B. 15. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ） A. B. 多面体的体积为定值 C. 侧面上存在点，使得 D. 直线与直线所成的角可能为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，作图如下： 因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线， 故可得，则，故A正确； 对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变， 故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C：取的中点分别为，连接，作图如下： 容易知在△中，，又，， 面面，故面面， 又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段； 又因为为正方体，故面面，故， 则当与重合时，，故C正确； 对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即， 在中，， 故， 而当直线与直线BC所成的角为时，， 故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误. 故选：D. 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（ ） A. （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立，（2）不成立 D. （1）不成立，（2）成立 【答案】D 【解析】 【分析】设“好圆”圆的方程为，分类讨论借助韦达定理转化条件为，根据直线与圆的位置关系，将问题转化为二次不等式恒成立问题，再结合二次函数图象与性质求解可得. 【详解】设圆为一个“好圆”，圆心，半径为， 则圆的方程为， 则圆上存在两个点，使得，. 若与（或）重合，则，不满足题意， 所以不与重合. 由， 可得，则， 则三点共线，且在点同侧，即在圆外. 若直线斜率不存在，即为轴，此时不妨设， 则. 如图，当时，即圆， 圆上存在，使得，且圆与轴相离. 若直线斜率存在，设：，设与圆相交于， 联立，得， 则， 且，则， ， 故，则或. （1）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，对任意不恒成立； 当时，不成立； 当时，， 设，由，图象开口向上， 且，， 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当且时，由， 则在与内都存在，使得，不满足题意； 综上所述，不存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； （2）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，恒成立； 验证：当时，圆心到轴的距离， 由，可知恒成立. 故存在直线，即轴，使得所有“好圆”与直线轴都相离. 由（1）不成立，（2）成立. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助直线与圆的位置关系转化为含参不等式的恒成立问题，进而分类讨论解决问题；二是存在性问题，通过分类根据特殊界点寻找特殊直线证明存在. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明： 如图所示： 连接，因为、分别为和的中点， 所以，又平面，平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，易知平面ABC的一个法向量，设二面角的大小为，由 求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则 ， 易知平面ABC的一个法向量为： ， 设二面角的大小为， 则 ， 二面角的大小为. 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 【答案】（1） （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出； （2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【小问1详解】 ∵为偶函数，∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立 ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 即， ∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 19. 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）众数是，平均分是93 （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合众数和平均数的计算公式，即可求解； （2）利用列举法求得样本空间中样本点的总数及所求事件中所包含样本点的个数，利用古典概型的概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 由，可得． 即数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在频率为. 数学成绩在内的最多，所以众数是， 平均分是. 【小问2详解】 由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、， 记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”， 则样本空间为，共包含10个样本点， 而事件，包含7个样本点， 故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 20. 设双曲线的方程为(常数. （1）若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； （2）设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 若，的值不确定； 若，. 【解析】 【分析】（1）首先求双曲线的值，然后求双曲线的渐近线方程，最后求两条渐近线的夹角；（2）分情况讨论，结合两点间距离公式和N是第一象限内双曲线上一点条件计算即可；（3）先设出点的坐标以及直线、的参数方程，然后将参数方程代入双曲线方程，利用参数的几何意义得到与的表达式，再结合已知条件求解的值. 【小问1详解】 对于双曲线，其标准方程为，其中. 双曲线的焦距，则. 根据双曲线的性质，已知，，代入可得，即，解得，则. 对于双曲线，其渐近线方程为. 已知，，则双曲线的渐近线方程为. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 两条直线夹角的范围是. 两条渐近线倾斜角相差，所以两条渐近线的夹角为. 【小问2详解】 对于双曲线，则. 已知，则双曲线方程为. 分情况讨论为等腰三角形时点的坐标： 情况一：当时， 已知，，则. 设（，），因为，根据两点间距离公式可得. 又因为点在双曲线上，所以，联立方程组，解方程组： 由可得，即. 将代入中得：， 解得或（舍去）. 当时，，（），所以. 情况二：当时 ，则，即，. 联立方程组，将代入中得： ，解得或（舍去）. 当时，，（不满足在第一象限，舍去）. 情况三：当时 ，两边同时平方可得，即，展开得，移项可得，解得（不满足在第一象限，舍去）. 综上所得，点的坐标为. 【小问3详解】 设，直线的参数方程为（为参数），其中. 直线的参数方程为（为参数），其中. 将直线的参数方程代入双曲线方程 把代入双曲线方程，可得： 展开并整理得： 设、对应的参数分别为、，根据韦达定理，. 由直线参数方程中参数的几何意义可知. 因为，则，，代入上式可得：. 同理将直线的参数方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得. 因为，所以. 则， 若，即，的值不确定； 若，，即. 因为，所以. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 21. 已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） ，则， 设、处切线垂直，则，得，即. 在处切线方程为，即， 在处切线方程为，即， 联立，解得，， 即切线的交点为， 所以函数的所有“特征点”在定直线上. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“特征点”的定义进行分析，从而求得； （2）根据“特征点”的定义列方程组，化简求得定直线； （3）设曲线上处的切线经过曲线上的点，求得在处切线方程，代入后，可求得或，由题意点不属于，则，设，整理后根据二次函数的性质来求得的取值范围． 【小问1详解】 由题意存在两条互相垂直的切线，不妨设为和处的切线，且， 由于，则， 为使得、处切线垂直，即， 又，必然，，即，， 当时，，切线方程为，即； 当时，，切线方程为，即， 两切线和的交点为， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设曲线上处的切线经过曲线上的点. ，，， 则在处切线方程为，即， 代入后，可得， 因式分解可得， 即或， 这两处的切线经过曲线上的点， 由于该点不属于，则， 设， 其中满足，即，所以的取值范围是. 可化为. 故方程在上无解， 即在上无解， 的对称轴为，所以，得，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $