2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中复习专题2

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （北师大版九年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：菱形、矩形、正方形判定推理证明解答题 2 题型2：特殊平行四边形对角线线段、角度综合计算题 6 题型3：特殊平行四边形与全等三角形综合证明计算题 10 题型4：一元二次方程根的判别式应用 16 题型5：一元二次方程根与系数关系代数式求值 19 题型6：含参数一元二次方程根的情况讨论解答题 23 题型7：一元二次方程面积、增长率实际应用题 28 题型8：相似三角形判定定理证明 31 题型9：相似三角形周长比、面积比计算填空题 37 题型10：利用相似三角形求解线段长度解答题 41 题型11：相似三角形测量高度、距离实际应用题 47 题型12：一元二次方程求解特殊平行四边形边长、参数解答题 53 题型13：特殊平行四边形与相似三角形综合证明计算题 60 题型14：一元二次方程求解相似三角形参数中档综合题 67 一、专题定位 本专题整合第1章 特殊平行四边形、第2章 一元二次方程、第3章 图形的相似三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节联动中档试题。重点规范学生几何证明、代数计算解题步骤，落实特殊平行四边形判定与性质综合应用、一元二次方程根的判别式与韦达定理、相似三角形判定定理与比例计算等核心考点。培养学生几何推理、代数运算与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 特殊平行四边形 菱形、矩形、正方形的完整判定推理证明；特殊平行四边形对角线相关线段、角度综合计算；特殊平行四边形与全等三角形结合证明与计算；特殊平行四边形面积综合求解与变式应用 一元二次方程 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的存在情况；运用根与系数关系进行代数式化简求值；含参数一元二次方程根的情况分析讨论；一元二次方程在面积、增长率等场景的实际建模与求解 图形的相似 熟练掌握相似三角形三大判定定理（AA、SAS、SSS）；掌握相似三角形周长比、面积比、对应线段比的性质；利用相似三角形求解线段长度、比例参数；平行线构造相似三角形模型；相似三角形测量类实际应用问题 跨章节中档综合 借助一元二次方程求解特殊平行四边形边长、对角线参数；特殊平行四边形与相似三角形结合的几何证明与线段计算；利用一元二次方程求解相似三角形边长、比例参数等中档综合问题 三、必考、常考题型 题型1：菱形、矩形、正方形判定推理证明解答题 1.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）48 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 2.（25-26八年级下·吉林长春·期末）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（     ） A．①：一个角是直角 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：一个角是直角 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理进行求解即可． 解：A、根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知该选项正确，故不符合题意； B、根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可知该选项错误，故符合题意； C、根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知该选项正确，故不符合题意； D、根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知该选项正确，故不符合题意． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，有以下条件：①；②；③；④，选择条件_____可以使是菱形．（请填写序号） 【答案】④ 解：条件①：：在平行四边形中对角线互相平分，即，，由可推出对角线，这是判定平行四边形为矩形的条件，不能得到菱形． 条件②：：对角线相等的平行四边形是矩形，无法判定为菱形． 条件③：：在平行四边形中，因此，结合该条件可得两个角都是，说明这是矩形，不能判定为菱形． 条件④：：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此该条件可以使成为菱形． 综上所述，选择条件④可以使是菱形． 4.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，菱形的对角线，交于点，过点作，且，连接 （1）求证：四边形是矩形． （2）当菱形满足_________时，四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵菱形的对角线，交于点， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直得到，证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是矩形； （2）要使四边形是正方形则要满足，根据菱形的对角线互相平分可得． 解：（1）略 （2）解：当菱形满足时，四边形是正方形， 证明如下：∵菱形的对角线，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 题型2：特殊平行四边形对角线线段、角度综合计算题 1.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的两条对角线，的夹角为，．求和的长． 【答案】， 【分析】根据矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此结合已知条件可得答案． 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形的两条对角线，的夹角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在正方形中，点E在对角线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，得到，进而利用三角形内角和定理得到，再由，等边对等角推出，即可求解的度数． 解：四边形是正方形， ， ， ， ． ． 3.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，结合题意得出，垂直平分，由此即可得出结果． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，恰为的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴． 4.（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，求的长． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 解：矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴的长． 题型3：特殊平行四边形与全等三角形综合证明计算题 1.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：在矩形中，点O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵交边于点E，交边于点F， ∴是对角线的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】（1）依题意得是对角线的垂直平分线，则，，，进而可证明得，由此得，据此可得出结论； （2）由得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出． 解：（1）略 （2）解：如图连接，则为的中点， ∵， ∴， 在矩形中，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴． 2.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得，再证明，故，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理得，，，再根据三角形面积公式列式计算，即可作答． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积． 3.（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质、矩形的性质，结合已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质用表示出，然后在三角形中，利用勾股定理求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，， ∵与交于点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 4.（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ； （2）解:当满足时,四边形为菱形.理由如下： ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，结合，即可得出四边形为菱形． 解：（1）略 （2）略 题型4：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）已知关于x的方程．求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 【答案】证明：当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 则 ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 综上所述，无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 【分析】当时，原方程为，此时原方程有实数根；当时，原方程为一元二次方程，可得，则原方程有两个不相等的实数根． 解：略 2.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 解：当时，方程为， 解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵ 方程有实数根， ∴， 即， 解得且， 综上，的取值范围是． 3.（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 4.（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程． （1）求证：当时，方程总有两个实数根； （2）在（1）的结论下，若方程的两个不相等的实数根都是整数，写出一组m、n的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）证明：把代入得，， ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2） ，，根为 【分析】（1）先计算判别式得到，则可知，即可得到结论； （2）先将变为，求出两根，再根据方程的两个不相等的实数根都是整数求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 由题意得， 解得， ∵根都为整数， ∴为整数，即m为且为整数， ∴， ∴， 当取时，则，，此时根为． 题型5：一元二次方程根与系数关系代数式求值 1.（安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得方程，解方程即可求出的值，再根据（1）中的取值范围把不符合条件的值舍去． （1）解：关于的方程有两个实数根和， ， ；         （2）解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， 又， ． 2.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将拆分为与的和，利用方程根的定义及根与系数的关系整体代入求值． 解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 3.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根，则菱形的周长是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的和，再根据菱形的性质求出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 解：四边形是菱形， ， 菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根， ， ， 菱形的周长． 4.（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为和，且，求的值． 【答案】（1）证明：， ，即 无论取何值，方程总有两个实数根． （2）或 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 解：（1）略； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴均大于0，符合题意， ∴的值为或． 题型6：含参数一元二次方程根的情况讨论解答题 1.（25-26八年级下·重庆·期中）阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程的解为：________； （2）解方程：； （3）若实数满足，求的值． 【答案】（1），，，；（2），；（3），． 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． （1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 2.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 3.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且实数，则的整数值为_________． 【答案】或或 【分析】根据二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，结合已知条件列出不等式组，解不等式组，进而求得其整数解，即可求解． 解：依题意，，解得： ∴的整数值为或或． 4.（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）填空： ①一元二次方程的解是______； ②一元二次方程的解是______； ③一元二次方程的解是______． …… （2）请写出第四个方程，并求出该方程的解； （3）若一元二次方程满足上述方程的规律，且有一根为，求p，q的值． 【答案】（1）①②③；（2）第四个方程是；；（3）的值为，的值为或的值为，的值为 【分析】首先需解给定的三个方程，观察其规律，进而写出第四个方程并求解．最后根据规律及已知根求解系数和的值． 解：（1）解方程： ， 因式分解得， 则或， 解得：，； ， 因式分解得， 则或， 解得：，； ， 因式分解得， 则或， 解得：，． 故答案为：①；②；③． （2）观察规律：前三个方程的常数项分别为，，， 一次项系数为，，． 故第四个方程的常数项为，一次项系数为， 对应方程为． 因式分解得， 则或， 解得：，． （3）由题意知，方程的两根分别为或． 当时，； 当时，． 综上所述，的值为，的值为或的值为，的值为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的因式分解法及规律探究，解题关键是通过分析前几个方程的系数和根的规律，进而推广到一般情况解决问题． 题型7：一元二次方程面积、增长率实际应用题 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某村要对一块长30米、宽20米的矩形场地进行改造，计划在场地中央修建一个矩形花坛，花坛的四周与场地边界之间留有宽度相等的小路，小路与场地的边平行． （1）设小路的宽为x米，用含x的代数式表示花坛的长和宽． （2）若花坛的面积为336平方米，求小路的宽． （3）按（2）中的方案施工，铺设花坛草坪每平方米需要60元，求铺设草坪的总费用． 【答案】（1）花坛的长为米，宽为米；（2）3米；（3）20160元 【分析】（1）花坛的长为矩形地块的长减去小路宽的2倍的差，宽为矩形地块的宽减去小路宽的2倍的差； （2）根据等量关系：花坛的面积为336平方米，列出一元二次方程并求解即可； （3）花坛的面积乘每平方米的费用即得铺设草坪的总费用． （1）解：花坛的长为米，宽为米． （2）解：由题意得， 化简得， ． 当时，，不合题意舍去， 所以小路的宽为3米． （3）解：（元）． 答：铺设草坪的总费用为20160元． 2.（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A． B． C． D． 【答案】D 解：∵4、5月份月平均增长率为x， 又∵3月份销量为368杯，5月份销量为450杯， ∴5月份销量为杯， ∴可列方程． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 【答案】 【分析】设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可． 解：设为，则， 依据题意得： 去括号得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 墙长， ， 即：， 解得， 综上所述，长为． 4.（2026·湖南长沙·模拟预测）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． （1）若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； （2）若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 【答案】（1）20%；（2）依题意：． ∵， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 【分析】（1）设这两个小时参观人数的平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． （1）解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）． 答：平均增长率为． （2）略 题型8：相似三角形判定定理证明 1.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）、、、 【分析】（1）证明即可； （2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，与相似的三角形有、、、． 2.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 3.（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【答案】2.5 【分析】证明，根据相似三角形的性质作答即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求证：； （2）在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明：由题意，，， ∴， ， ， ． ， （2）能，或 【分析】（1）利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 解：（1）略 （2）解：能． 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ①当时，，即， 解得（舍去）或， ； ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似． 题型9：相似三角形周长比、面积比计算填空题 1.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 【答案】这个正方形零件的边长为． 【分析】设正方形零件的边长为，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， 。 。 设高与交于点。 ， ，且四边形为矩形。 。 由，得。 根据相似三角形对应高之比等于相似比得， 代入得：， 解得：， 所以，这个正方形零件的边长为． 2.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 【答案】B 【分析】先证明，由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出的面积，减去面积得到四边形面积，最后加上面积得到矩形面积． 解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ∴． ，， ，相似比 ，， ∴， ∴， 与，高的比，底的比， ， ． ． ． 3.（26-27九年级上·四川·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】由平移的性质得，进而得到，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的长，即可求出平移的距离． 解：设与相交于点， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． （1）求与的周长比； （2）若的面积是，求的面积． 【答案】（1）与的周长之比为；（2）的面积为 【分析】（1）先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． （1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 题型10：利用相似三角形求解线段长度解答题 1.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 【答案】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 解：在正方形中，，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 2.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（     ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 【答案】A 【分析】设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 解：设正方形城池的边长为步， 由题意知，步，步，步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得（舍负） ∴正方形城池的边长为步． 3.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】延长，交延长线于点，由矩形性质可得，，，，则，所以，通过勾股定理求得，然后由角平分线定义和平行线的性质得，所以，故，然后代入求得，最后通过勾股定理即可求解． 解：如图，延长，交延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即的长为． 4.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上． （1）求点到的距离； （2）求的长． 【答案】（1）点到的距离为；（2） 【分析】（1）过点作于点，交于点，在中，由勾股定理算出的长，再利用等面积公式算出的长，即为点到的距离； （2）由四边形是正方形，且在边上，即可得，进而证得，利用相似三角形对应高之比为相似比，设，列出方程，解出，即为的长． （1）解：过点作于点，交于点， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． （2）解：∵四边形是正方形，且在边上， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴且． ∵， ∴， 又∵， ∴  ． ∴， 设，则， 即， ∴． 题型11：相似三角形测量高度、距离实际应用题 1.（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 2.（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 3.（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 4.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】（1）米；（2）米；（3）1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； （1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 题型12：一元二次方程求解特殊平行四边形边长、参数解答题 1.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图矩形中，，，点分别在上，且． （1）当时， ①求证：四边形是菱形． ②求线段的长． （2）当平分时，的长是_________． 【答案】（1）①证明：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ② （2）2或 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （2）过作于，设，证明，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 解：（1）①证明：略 ②解：过作于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过作于，设， 则四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，， ∴的长是2或． 2.（2026·四川巴中·一模）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（    ） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 【答案】B 【分析】根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到． 解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解题的关键． 3.（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求出的值，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 解：四边形是边长为的菱形， ，，，， ， ， 对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． 4.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为，求的值； （2）当为何值时，平行四边形为菱形； （3）是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，矩形的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． （1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 题型13：特殊平行四边形与相似三角形综合证明计算题 1.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，平分，为边上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，即可证明结论； （2）证明，得出，再根据，即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 2.（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 3.（2026·河南许昌·一模）定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．如图，在矩形中，点分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”．若，则的值为________． 【答案】或/或 【分析】过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即， ∵四边形为字平行四边形， 又∵， ∴有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 设， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，可得， ∴， ∴， 综上，的值为或． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，于点F，过点F作交于点G． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， 即． 【分析】（1）证明，得出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，根据，得出，证明，得出，即可证明结论． 解：（1）略 （2）略 题型14：一元二次方程求解相似三角形参数中档综合题 1.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，．动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后、两点相距？ （2）几秒后与相似？ 【答案】（1）秒后、两点相距；（2）秒或秒后与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设秒后、两点相距，用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质，列出关系式，求解即可． （1）解：设秒后、两点相距， 则，， ， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 秒后、两点相距； （2）解：设秒后与相似， 则，， ， 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：， 秒或秒后与相似． 2.（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，．若，的长是关于的一元二次方程：的两个根，且，连接，若为轴上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，相似三角形的性质，先根据题意求出，，再由得列方程解答即可 解： 解得或， ∵， ∴，， ∵，， 设， ∴时，即解得或， 故选D． 3.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为______． 【答案】/ 【分析】先根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出，再求出解即可得出答案． 解：∵， ∴， 即， ∴， 解得或（舍去）， ∴和的相似比为． 4.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点P从B点出发，沿向点C以的速度匀速移动；点Q从C点出发，沿向点A以的速度匀速移动．两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，请回答下列问题： （1）经过多少秒时，为等腰三角形； （2）是否存在某个时刻，使得，如果存在，求出时间t，如果不存在，说明理由； （3）经过多少秒时，以为顶点的三角形恰好与相似． 【答案】（1）秒；（2）存在，2秒；理由见解析；（3）秒 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意列出方程是解此题的关键． （1）设经过的时间为t秒，据此列出一元一次方程求解即可，注意检验是否符合题意． （2）设经过的时间为t秒，根据三角形的面积关系列出一元二次方程，对求得的二解进行检验是否符合题意； （3）同样分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，对求得的结果进行检验，然后得出正确的结论． 解：（1）设经过t秒时，为等腰三角形，此时有， ∵ ∴ 解得：． 经检验符合题意， 答：经过秒时，为等腰三角形． （2）存在，理由见解析． 设经过t秒时，使得． ∵， ， ∴， 解得：（另一解时，，故不合题意，舍去） 故存在某个时刻，即经过2秒时，使得． （3）分两种情况分析， 当时，有， 即 当时，有， 即 但当时，，故不合题意，舍去． 答：经过秒时，以为顶点的三角形恰好与相似． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （北师大版九年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：菱形、矩形、正方形判定推理证明解答题 2 题型2：特殊平行四边形对角线线段、角度综合计算题 4 题型3：特殊平行四边形与全等三角形综合证明计算题 5 题型4：一元二次方程根的判别式应用 6 题型5：一元二次方程根与系数关系代数式求值 7 题型6：含参数一元二次方程根的情况讨论解答题 7 题型7：一元二次方程面积、增长率实际应用题 9 题型8：相似三角形判定定理证明 10 题型9：相似三角形周长比、面积比计算填空题 11 题型10：利用相似三角形求解线段长度解答题 12 题型11：相似三角形测量高度、距离实际应用题 14 题型12：一元二次方程求解特殊平行四边形边长、参数解答题 15 题型13：特殊平行四边形与相似三角形综合证明计算题 17 题型14：一元二次方程求解相似三角形参数中档综合题 18 一、专题定位 本专题整合第1章 特殊平行四边形、第2章 一元二次方程、第3章 图形的相似三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节联动中档试题。重点规范学生几何证明、代数计算解题步骤，落实特殊平行四边形判定与性质综合应用、一元二次方程根的判别式与韦达定理、相似三角形判定定理与比例计算等核心考点。培养学生几何推理、代数运算与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 特殊平行四边形 菱形、矩形、正方形的完整判定推理证明；特殊平行四边形对角线相关线段、角度综合计算；特殊平行四边形与全等三角形结合证明与计算；特殊平行四边形面积综合求解与变式应用 一元二次方程 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的存在情况；运用根与系数关系进行代数式化简求值；含参数一元二次方程根的情况分析讨论；一元二次方程在面积、增长率等场景的实际建模与求解 图形的相似 熟练掌握相似三角形三大判定定理（AA、SAS、SSS）；掌握相似三角形周长比、面积比、对应线段比的性质；利用相似三角形求解线段长度、比例参数；平行线构造相似三角形模型；相似三角形测量类实际应用问题 跨章节中档综合 借助一元二次方程求解特殊平行四边形边长、对角线参数；特殊平行四边形与相似三角形结合的几何证明与线段计算；利用一元二次方程求解相似三角形边长、比例参数等中档综合问题 三、必考、常考题型 题型1：菱形、矩形、正方形判定推理证明解答题 1.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 2.（25-26八年级下·吉林长春·期末）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（     ） A．①：一个角是直角 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：一个角是直角 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，有以下条件：①；②；③；④，选择条件_____可以使是菱形．（请填写序号） 4.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，菱形的对角线，交于点，过点作，且，连接 （1）求证：四边形是矩形． （2）当菱形满足_________时，四边形是正方形． 题型2：特殊平行四边形对角线线段、角度综合计算题 1.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的两条对角线，的夹角为，．求和的长． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在正方形中，点E在对角线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为________． 4.（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，求的长． 题型3：特殊平行四边形与全等三角形综合证明计算题 1.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 2.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 4.（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 题型4：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）已知关于x的方程．求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 2.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 3.（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 4.（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程． （1）求证：当时，方程总有两个实数根； （2）在（1）的结论下，若方程的两个不相等的实数根都是整数，写出一组m、n的值，并求此时方程的根． 题型5：一元二次方程根与系数关系代数式求值 1.（安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 2.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根，则菱形的周长是______． 4.（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为和，且，求的值． 题型6：含参数一元二次方程根的情况讨论解答题 1.（25-26八年级下·重庆·期中）阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程的解为：________； （2）解方程：； （3）若实数满足，求的值． 2.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 3.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且实数，则的整数值为_________． 4.（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）填空： ①一元二次方程的解是______； ②一元二次方程的解是______； ③一元二次方程的解是______． …… （2）请写出第四个方程，并求出该方程的解； （3）若一元二次方程满足上述方程的规律，且有一根为，求p，q的值． 题型7：一元二次方程面积、增长率实际应用题 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某村要对一块长30米、宽20米的矩形场地进行改造，计划在场地中央修建一个矩形花坛，花坛的四周与场地边界之间留有宽度相等的小路，小路与场地的边平行． （1）设小路的宽为x米，用含x的代数式表示花坛的长和宽． （2）若花坛的面积为336平方米，求小路的宽． （3）按（2）中的方案施工，铺设花坛草坪每平方米需要60元，求铺设草坪的总费用． 2.（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 4.（2026·湖南长沙·模拟预测）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． （1）若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； （2）若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 题型8：相似三角形判定定理证明 1.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 2.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 3.（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求证：； （2）在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 题型9：相似三角形周长比、面积比计算填空题 1.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 2.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 3.（26-27九年级上·四川·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． （1）求与的周长比； （2）若的面积是，求的面积． 题型10：利用相似三角形求解线段长度解答题 1.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 2.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（     ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 3.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 4.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上． （1）求点到的距离； （2）求的长． 题型11：相似三角形测量高度、距离实际应用题 1.（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 2.（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3.（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 4.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 题型12：一元二次方程求解特殊平行四边形边长、参数解答题 1.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图矩形中，，，点分别在上，且． （1）当时， ①求证：四边形是菱形． ②求线段的长． （2）当平分时，的长是_________． 2.（2026·四川巴中·一模）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（    ） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 3.（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 4.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为，求的值； （2）当为何值时，平行四边形为菱形； （3）是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 题型13：特殊平行四边形与相似三角形综合证明计算题 1.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，平分，为边上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 2.（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 3.（2026·河南许昌·一模）定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．如图，在矩形中，点分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”．若，则的值为________． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，于点F，过点F作交于点G． 求证： （1）； （2）． 题型14：一元二次方程求解相似三角形参数中档综合题 1.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，．动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后、两点相距？ （2）几秒后与相似？ 2.（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，．若，的长是关于的一元二次方程：的两个根，且，连接，若为轴上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为______． 4.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点P从B点出发，沿向点C以的速度匀速移动；点Q从C点出发，沿向点A以的速度匀速移动．两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，请回答下列问题： （1）经过多少秒时，为等腰三角形； （2）是否存在某个时刻，使得，如果存在，求出时间t，如果不存在，说明理由； （3）经过多少秒时，以为顶点的三角形恰好与相似． 学科网（北京）股份有限公司 $