九上数学第二章《一元二次方程》期中考点总结与练习——考点1《认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 1｜认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 1—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·定义三条件·一般式与根·知根求参 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 1 对齐（★☆~★★），三条主线：一线定义三条件——等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2，三条缺一不可；二线一般式与根——化为 a+bx+c=0（a≠0）后带符号读系数，根是使方程左右两边的值相等的未知数的值；三线知根求参——代入定参、检验二次项系数不为 0，再进一步整体代值——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 1 保持一致） 考点范围：定义三条件（等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2——三条同时满足才是一元二次方程）、一般式与系数（去括号、移项、合并同类项化为 a+bx+c=0（a≠0），各项系数带符号读取，缺项时该项系数为 0 但 a≠0 恒成立）、根与检验（根是使方程左右两边的值相等的未知数的值，代入两边分别计算再比较，一元二次方程可能不止一个根）、知根求参（把已知根代入方程得关于字母参数的方程，解出参数并检验二次项系数不为 0；进一步由参数关系整体代值求代数式的值）——与考点速览考点 1 三条主线一致。 一、定义三条件——整式·一元·二次 ◆ 判断顺序：先看是不是整式方程（分母中不能含未知数），再看是不是只含一个未知数，最后看化简整理后未知数的最高次数是不是 2——三条同时满足，才是一元二次方程。 ◆ 高频陷阱：−x=0 最高次数是 3、xy+1=0 含两个未知数、−3=0 分母含 x 不是整式方程、−2x−3 不含等号只是代数式——逐条对照三条件即可快速排除。 二、一般式与系数——先标准化，再读系数 ◆ 一般形式：a+bx+c=0（a≠0），a、b、c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项；化一般式三步走：去括号→移项（把右边化为 0）→合并同类项，系数和项都包含前面的符号。 ◆ 系数带符号：3=5x+2 移项合并得 3−5x−2=0，一次项系数是 −5、常数项是 −2；缺某项时该项系数为 0（如 −4=0 中 b=0），但二次项系数 a≠0 恒成立；需要时也可两边同乘 −1，使二次项系数为正。 三、根与检验——代入左右相等 ◆ 根的定义：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解（根）；检验一个数是不是根，把它代入方程两边分别计算，看左右两边的值是否相等；一元二次方程可能不止一个根。 定义三条件·一般式与根·知根求参速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定义三条件 整式方程＋只含一个未知数＋最高次数是 2，三条缺一不可 下列方程中是关于x的一元二次方程的是 只看次数，漏看整式与元数 一般式与系数 化为 a+bx+c=0（a≠0）后，系数带符号读取 化为一般形式，指出各项系数 移项不变号、系数漏负号 根与检验 根是代入后使左右两边的值相等的未知数的值 哪些数是方程的根 只代入一边就下结论 知根求参 代入根得字母方程，解参数后检验二次项系数不为 0 若x=−1是根，求m 忘检验 a≠0，收下增解 整体代值 由根得参数关系式，整体代入目标代数式 代数式的值 硬解参数、找不到整体关系 含参指数型 先由 |m| 型指数定次数，再检验二次项系数 求m的值 定次数与验系数只做其一 ◆ 检验规范：左边代入算一个值、右边代入算一个值、比较后下结论，三步缺一不可；给出多个候选数时逐一检验，不能只验一个就下结论，也不能只代入一边就宣布是根。 四、知根求参——代入定参·整体代值 ◆ 代入定参与整体代值：把已知根代入方程，得到关于字母参数的方程并解出参数，收尾必检验二次项系数不为 0——含参指数题先由指数定次数、再检验系数；求代数式的值不必解出参数本身，先由根找参数关系式（如 −5m=2、m+n=−1），再把它整体代入目标代数式。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程的认识是全章的地基：定义三条件（整式方程、只含一个未知数、最高次数是 2）逐条对照判断，缺一不可； 一般式与系数：去括号、移项、合并同类项化为标准形式 a+bx+c=0（a≠0）后带符号读系数，是后面解方程、用判别式与根与系数关系的前提； 根与检验：根是使方程左右两边的值相等的未知数的值，检验必须两边分别代入再比较，一元二次方程可能不止一个根； 知根求参：把根代入得字母方程解出参数，并检验二次项系数不为 0；进一步由参数关系整体代值——本考点与考点速览考点 1 对齐（★☆~★★），以选择、填空与小解答题呈现。 答题方法（三步法） 第一步·辨定义：对照三条件逐条检查——是不是整式方程、是不是只含一个未知数、整理后最高次数是不是 2； 第二步·化一般式：去括号、移项、合并同类项，化为 a+bx+c=0（a≠0），再带符号读出二次项系数、一次项系数与常数项； 第三步·用根求参：把已知根代入方程得关于字母参数的方程，解出参数后检验二次项系数不为 0；求代数式的值优先整体代值。 注意事项（易错警示） 只看次数不看整式：分母含未知数的方程（如 −3=0）不是整式方程，绝不能只凭最高次数是 2 下结论； 系数符号跟着移项走：3=5x+2 化为一般式后一次项系数是 −5、常数项是 −2，漏负号是最常见的失分点； 含参指数题两条一起用：先由指数等于 2 定出参数候选，再检验二次项系数不为 0，只做其一必错； 知根求参必检验：解出参数后代回二次项系数，系数为 0 的值要舍去；无法确定类选项要先代入验证再排除。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 定义三条件辨析 整式方程、一元、二次逐条对照 下列方程中是一元二次方程的是 ★☆ 一般式与系数 去括号、移项、合并后带符号读系数 化为一般形式，二次项系数为____ ★☆ 根与检验 根的定义与代入检验 哪些数是方程的根、检验解 ★☆ 知根求参 代入根得字母方程，检验二次项系数 若 x=−1 是根，则 m=____ ★★☆ 整体代值 由根得参数关系式整体代入 代数式的值为____ ★★☆ 含参指数定参与新定义方程 |m| 型指数定次数＋系数非 0；新定义方程按定义验证 求 m 的值、判断是否为新定义方程 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程的认识（定义三条件、一般式与各项系数、根的概念与检验、知根求参与整体代值、新定义方程的按定义验证）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章第一节及之前所学内容（整式运算、等式的性质、一元一次方程），个别题用到三角形按边分类（等腰、等边）的概念与利润＝单件利润×销量的基本数量关系，未使用配方法与公式法解题、根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：定义三条件辨析（选择）→ 化一般式读系数（选择）→ 化一般式并读三个系数（填空）→ 知根求参（填空）→ 化一般式与系数指认三小问（解答）→ 含参指数定参与方程类型判断（解答）。变式覆盖：含参指数定参（选择）→ 知根求参（选择）→ 化一般式读常数项（选择）→ 知根求参（填空）→ 整体代值（填空）→ 整体代值（填空）→ 整体代值（填空）→ 新定义·凤凰方程（解答）→ 新定义·美妙方程（解答）→ 三角形三边与方程根（解答）。拔高覆盖：整体代值（选择）→ 含参指数定参（选择）→ 整体代值（选择）→ 含参指数定参双解（填空）→ 整体代值（填空）→ 化一般式求 b+c（填空）→ 两种设法列方程（填空）→ 新定义·有爱方程三问（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教定义三条件辨析：逐条对照整式、一元、二次，快速排除干扰项（选择）； ◆ 例 2、例 3 教一般式与系数：去括号、移项、合并化为一般式后带符号读出 a、b、c（选择＋四空填空）； ◆ 例 4 教知根求参：把根代入方程，令左边等于 0，解出参数（填空）； ◆ 例 5 教化一般式的规范书写：去括号→移项→合并同类项，逐项指认系数（三小问解答）； ◆ 例 6 教含参指数定参与类型判断：定次数→验系数→下结论，再按二次项系数是否为 0 判断方程类型（解答）； ◆ 通法：判断与求参都回到定义——三条件与系数非 0 是唯一依据。 例 1　选择题 （2025春·南岗区校级月考）下列属于一元二次方程的是（　　） A．+2025x=0　　B．2025x+2024y=0　　C．−y=2025　　D．2x−7=2025 【答案】A 【解析】逐条对照定义三条件（整式方程、只含一个未知数、最高次数是 2）：A 项三条同时满足；B、C 两项都含两个未知数；D 项最高次数是 1。故选 A。 【详解】 逐条对照三条件：等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2。 A 项：+2025x=0 是整式方程，只含未知数 x，最高次数是 2，三条同时满足。 B 项：2025x+2024y=0 含 x、y 两个未知数，不是一元，排除。 C 项：−y=2025 含 x、y 两个未知数，不是一元，排除。 D 项：2x−7=2025 的最高次数是 1，是一元一次方程，排除。 故选 A。 例 2　选择题 （2025春·宣城期末）把一元二次方程 2(x−1)x=5 化成一般式，则 a，b，c 的值分别是（　　） A．−2，2，5　　B．2，−2，−5　　C．1，4，−5　　D．−2，−2，−5 【答案】B 【解析】先去括号化为 的标准结构，再移项使右边为 0，得 2−2x−5=0，对照一般形式带符号读出 a、b、c。故选 B。 【详解】 去括号：2−2x=5。 移项，把右边化为 0：2−2x−5=0，即一般形式。 对照 a+bx+c=0（a≠0）：a=2，b=−2，c=−5。 故选 B。 例 3　填空题 （2024秋·喀什地区期末）将方程 3−8x=10 化为一元二次方程的一般形式是____3−8x−10=0____，其中二次项系数是____3____，一次项系数是____−8____，常数项是____−10____。 【答案】3−8x−10=0；二次项系数 3、一次项系数 −8、常数项 −10 【解析】移项把右边化为 0 就得到一般形式；再对照 a+bx+c=0（a≠0）带符号读出三个系数。 【详解】 移项，把右边化为 0：3−8x−10=0，即一般形式。 对照一般形式 a+bx+c=0（a≠0）。 二次项系数是 3，一次项系数是 −8，常数项是 −10，系数都要带前面的符号。 例 4　填空题 （2024秋·牧野区期末）关于 x 的方程 +kx−2=0 的一个根是 1，则 k 的值为____1____。 【答案】1 【解析】根是使方程左右两边的值相等的未知数的值。把 x=1 代入方程，令左边等于 0，解出 k。 【详解】 把 x=1 代入方程 +kx−2=0。 左边 = +k−2 = k−1。 左边等于右边：k−1=0。 解得 k=1。 例 5　解答题 （2024秋·康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3−1=2x； （2）x(x−2)=4−3x； （3）关于 x 的方程 m−nx+mx+n=q−p（m+n≠0）。 【答案】（1）3−2x−1=0，二次项系数 3、一次项系数 −2、常数项 −1；（2）3−x=0，二次项系数 3、一次项系数 −1、常数项 0；（3）(m+n)+(m−n)x+(p−q)=0，二次项系数 m+n、一次项系数 m−n、常数项 p−q。 【解析】三步走：去括号→移项（右边化为 0）→合并同类项；含字母系数的方程先按同类项分组合并，再对照一般形式逐项读系数，由 m+n≠0 保证二次项系数不为 0。 【详解】 （1）移项：3−2x−1=0。 二次项系数是 3，一次项系数是 −2，常数项是 −1。 （2）去括号：−2x=4−3x。 移项合并：−3+x=0，两边同乘 −1 得 3−x=0。 二次项系数是 3，一次项系数是 −1，常数项是 0。 （3）合并同类项：m+n=(m+n)，−nx+mx=(m−n)x。 移项：(m+n)+(m−n)x+p−q=0。 由 m+n≠0，二次项系数不为 0；二次项系数是 m+n，一次项系数是 m−n，常数项是 p−q。 例 6　解答题 （2025·南通通州区期末）关于 x 的方程 (m+3)+5x−2=0。 （1）当 m 取何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当 m=−3 时，判断方程的类型。 【答案】（1）m=3；（2）m=−3 时方程为 5x−2=0，是一元一次方程。 【解析】含参指数题两步走：先由指数等于 2 定出参数候选，再检验二次项系数不为 0；第（2）问把 m=−3 代回原方程，看二次项系数是否为 0、剩下什么项。 【详解】 （1）一元二次方程要求 x 的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。 由 −1=2，得 =3，解得 m=3 或 m=−3。 当 m=−3 时，二次项系数 m+3=0，二次项消失，舍去。 当 m=3 时，二次项系数 m+3=6≠0，方程是一元二次方程。 所以 m=3。 （2）当 m=−3 时，−1=2，但二次项系数 m+3=0。 二次项消失，方程变为 5x−2=0，只含一次项，是一元一次方程。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 三道选择：含参指数定参、知根求参、化一般式读常数项——对应例 6、例 4 与例 3； ◆ 变 4~变 7 四道填空：知根求参与知根整体代值——对应例 4；整体代值先由根找参数关系式（如 2a+b、2a−b），再把目标代数式凑成它的倍数整体代入； ◆ 变 8~变 10 三道解答：新定义方程（凤凰方程、美妙方程）按定义代入验证与条件转化；三角形三边与方程根结合的形状判断——都回到定义与根的代入； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练检验二次项系数不为 0 的收尾动作与整体代值的凑形。 变式 1　选择题 （2025秋·禹州市期中）已知 (m+3)−3x−7=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．3　　B．−3　　C．±3　　D．0 【答案】A 【解析】含参指数题两步走：由 −1=2 得 m=±3，再检验二次项系数 m+3≠0 舍去 m=−3。故选 A。 【详解】 一元二次方程要求 x 的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。 由 −1=2，得 =3，解得 m=3 或 m=−3。 当 m=−3 时，二次项系数 m+3=0，二次项消失，舍去。 当 m=3 时，二次项系数 m+3=6≠0，方程是一元二次方程。 所以 m=3，故选 A。 变式 2　选择题 （2024秋·泰兴市期末）若一元二次方程 −3x+a=0 的一个根为 x=2，则 a 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．4　　D．−4 【答案】A 【解析】把根 x=2 代入方程，令左边等于 0，解关于 a 的方程即可。故选 A。 【详解】 把 x=2 代入方程 −3x+a=0。 左边 = −3×2+a = 4−6+a = a−2。 左边等于右边：a−2=0。 解得 a=2，故选 A。 变式 3　选择题 （2024秋·兴隆县期末）方程 2−3x=1 化为一般形式后，常数项为（　　） A．2　　B．−3　　C．1　　D．−1 【答案】D 【解析】先移项把右边化为 0，得 2−3x−1=0，再对照一般形式带符号读出常数项。故选 D。 【详解】 移项，把右边化为 0：2−3x−1=0，即一般形式。 对照 a+bx+c=0（a≠0）：a=2，b=−3，c=−1。 常数项是 −1，故选 D。 变式 4　填空题 （2024·镇江丹徒区期末）若 x=2 是方程 +mx−6=0 的根，则 m=____1____。 【答案】1 【解析】把 x=2 代入方程，令左边等于 0，解出 m。 【详解】 把 x=2 代入方程 +mx−6=0。 左边 = +2m−6 = 2m−2。 左边等于右边：2m−2=0。 解得 m=1。 变式 5　填空题 （2025·宽城区校级二模）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 a+bx+2=0（a≠0）的解，则代数式 20−2a−b 的值是____21____。 【答案】21 【解析】由根的意义得 4a+2b+2=0，整体求出 2a+b，再整体代入 20−(2a+b)。 【详解】 把 x=2 代入方程 a+bx+2=0。 左边 = 4a+2b+2，左边等于右边：4a+2b+2=0。 两边除以 2：2a+b=−1。 20−2a−b = 20−(2a+b) = 20−(−1) = 21。 变式 6　填空题 （2025春·莲都区期末）若关于 x 的一元二次方程 a+bx+6=0 的一个根为 x=−2，则代数式 6a−3b+2 的值为____−7____。 【答案】−7 【解析】把 x=−2 代入方程得 4a−2b+6=0，求出 2a−b 的值，再把 6a−3b 写成 3(2a−b) 整体代入。 【详解】 把 x=−2 代入方程 a+bx+6=0。 左边 = 4a−2b+6，左边等于右边：4a−2b+6=0。 移项后两边除以 2：2a−b=−3。 6a−3b+2 = 3(2a−b)+2 = 3×(−3)+2 = −7。 变式 7　填空题 （2025春·淮北期中）已知 a 是方程 +2x−3=0 的一个根，则代数式 +2a−2025 的值为____−2022____。 【答案】−2022 【解析】由根的意义得 +2a=3，整体代入 +2a−2025。 【详解】 因为 a 是方程 +2x−3=0 的根。 所以 +2a−3=0，即 +2a=3。 +2a−2025 = 3−2025 = −2022。 变式 8　解答题 （2024秋·威宁县期末）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 a−b+c=0，则称这个方程为“凤凰方程”。 （1）判断 3+4x+1=0 是否为凤凰方程，并说明理由； （2）若关于 x 的方程 +mx−5=0 是凤凰方程，求 m 的值。 【答案】（1）是凤凰方程，因为 3−4+1=0；（2）m=−4。 【解析】新定义题按定义逐项计算：读出 a、b、c 后代入定义式验证。第（2）问把定义式 a−b+c=0 转化为关于 m 的方程求解。 【详解】 （1）在方程 3+4x+1=0 中，a=3，b=4，c=1。 a−b+c = 3−4+1 = 0，满足凤凰方程的定义。 所以 3+4x+1=0 是凤凰方程。 （2）在方程 +mx−5=0 中，a=1，b=m，c=−5。 由凤凰方程的定义：a−b+c=0。 1−m+(−5)=0，即 −m−4=0。 解得 m=−4。 变式 9　解答题 （2025春·镇海区校级期中）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 3a−2b+c=0，则称这个方程为“美妙方程”。 （1）判断 2−x−8=0 是否为美妙方程，并说明理由； （2）已知关于 x 的美妙方程 a+2x+c=0 的一个根是 −1，求这个美妙方程。 【答案】（1）是美妙方程，因为 3×2−2×(−1)+(−8)=0；（2）这个美妙方程是 +2x+1=0。 【解析】第（1）问按定义代入验证；第（2）问由“美妙方程”和“根是 −1”两个条件建立关于 a、c 的方程组求解。 【详解】 （1）在方程 2−x−8=0 中，a=2，b=−1，c=−8。 3a−2b+c = 3×2−2×(−1)+(−8) = 6+2−8 = 0，满足定义。 所以 2−x−8=0 是美妙方程。 （2）方程 a+2x+c=0 中，二次项系数为 a，一次项系数为 2，常数项为 c。 由美妙方程的定义：3a−2×2+c=0，即 3a+c=4。 把根 x=−1 代入方程：a×1−2+c=0，即 a+c=2。 两式相减：2a=2，解得 a=1。 把 a=1 代入 a+c=2，得 c=1。 所以这个美妙方程是 +2x+1=0。 变式 10　解答题 （2025春·宿迁校级期末）关于 x 的一元二次方程 (a+c)−2bx+(a−c)=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长。 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果△ABC 是等边三角形，求方程的根。 【答案】（1）△ABC 是等腰三角形；（2）x=0 或 x=1。 【解析】第（1）问把 x=1 代入方程，化简得到三边之间的数量关系，再对照三角形形状的定义判断；第（2）问把 a=b=c 代回方程，解方程。 【详解】 （1）把 x=1 代入方程 (a+c)−2bx+(a−c)=0。 左边 = (a+c)×1−2b+(a−c) = 2a−2b。 左边等于右边：2a−2b=0，所以 a=b。 a 与 b 是△ABC 的两边，且 a=b。 所以△ABC 是等腰三角形。 （2）△ABC 是等边三角形，则 a=b=c。 方程变为 2a−2ax=0，其中 a>0。 两边除以 2a：−x=0。 提公因式：x(x−1)=0。 解得 x=0 或 x=1。 PART 05 拔高巩固（8 题） 认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1、拔高 3 的台阶在整体代值：由根得 −7a=−6、+a=1 这类关系式，把目标代数式凑成它的倍数再整体代入； ◆ 拔高 2 的台阶在指数与系数双线：由 =2 定出候选后，检验 m−1≠0 舍去增解； ◆ 拔高 4 的台阶在绝对值双解：=2 有两个解，本题二次项系数恒为 1 无需检验，注意“或”字别漏； ◆ 拔高 5 的台阶在凑整体：由根得 2a+b=1013，再算 1−(2a+b)； ◆ 拔高 6 的台阶在化一般式求 b+c：展开移项后 b、c 都要带符号； ◆ 拔高 7 的台阶在两种设法列方程：设降价量与设定价两种未知数，对应两条等量关系链——获利＝每千克利润×销量； ◆ 拔高 8 的台阶在新定义综合：按定义把系数关系转化，再把根 x=a 代入，拆项因式分解解出双解。 拔高 1　选择题 （2024秋·沙坪坝区校级期末）若 x=a 为方程 −7x+6=0 的一个解，则代数式 2013−2+14a 的值为（　　） A．2001　　B．2007　　C．2019　　D．2025 【答案】D 【解析】由根的意义得 −7a=−6，把 −2+14a 写成 −2(−7a) 整体代入。故选 D。 【详解】 因为 x=a 是方程 −7x+6=0 的解。 把 x=a 代入：−7a+6=0。 移项：−7a=−6。 2013−2+14a = 2013−2(−7a)。 整体代入：= 2013−2×(−6) = 2013+12 = 2025。 故选 D。 拔高 2　选择题 （2025春·界首市月考）已知 (m−1)−5x−3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．2　　B．1　　C．−3　　D．1 或 −3 【答案】C 【解析】由指数为 2 得 =2，解出候选值后，检验二次项系数 m−1≠0 逐个取舍。故选 C。 【详解】 一元二次方程要求 x 的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。 由 =2，得 m+1=2 或 m+1=−2。 解得 m=1 或 m=−3。 当 m=1 时，二次项系数 m−1=0，二次项消失，舍去。 当 m=−3 时，二次项系数 m−1=−4≠0，符合题意。 所以 m=−3，故选 C。 拔高 3　选择题 （2025春·宁海县期中）若 a 是方程 +x−1=0 的根，则代数式 3+3a+2025 的值为（　　） A．2024　　B．2026　　C．2028　　D．2030 【答案】C 【解析】由根的意义得 +a=1，把 3+3a 写成 3(+a) 整体代入。故选 C。 【详解】 因为 a 是方程 +x−1=0 的根。 把 x=a 代入：+a−1=0。 移项：+a=1。 3+3a+2025 = 3(+a)+2025。 整体代入：= 3×1+2025 = 2028。 故选 C。 拔高 4　填空题 （2024秋·奉贤区期末）若 −x−5=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为____3 或 −1____。 【答案】3 或 −1 【解析】由 x 的指数为 2 得 =2；本题二次项系数恒为 1，不为 0，无需再检验，直接解绝对值方程。 【详解】 一元二次方程要求 x 的最高次数是 2。 由 =2，得 m−1=2 或 m−1=−2。 解得 m=3 或 m=−1。 两种情况下 的系数都是 1，不为 0，均符合题意。 所以 m 的值为 3 或 −1。 拔高 5　填空题 （2026·长沙二模）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 a+bx−2026=0（a≠0）的一个解，则 1−2a−b 的值为____−1012____。 【答案】−1012 【解析】把 x=2 代入方程得 4a+2b−2026=0，整体求出 2a+b，再代入 1−(2a+b)。 【详解】 把 x=2 代入方程 a+bx−2026=0。 左边 = 4a+2b−2026，左边等于右边：4a+2b−2026=0。 移项后两边除以 2：2a+b=1013。 1−2a−b = 1−(2a+b) = 1−1013 = −1012。 拔高 6　填空题 （2025秋·武侯区校级期末）将方程 (x−1)(x+4)=3 化为一般形式得 +bx+c=0，则 b+c=____−4____。 【答案】−4 【解析】去括号、移项化为一般形式后，读出 b、c，再求和。 【详解】 去括号：+4x−x−4=3。 合并同类项：+3x−4=3。 移项，把右边化为 0：+3x−7=0。 对照 +bx+c=0：b=3，c=−7。 b+c = 3+(−7) = −4。 拔高 7　填空题 （2024秋·青县期末）某特产店销售一种特产，进价为每千克 40 元，售价为每千克 60 元时，每天可售出 100 千克。市场调查发现：售价每降低 1 元，每天销量增加 10 千克。若某天销售该特产获利 2240 元，请用两种不同的方法设未知数，列出本题的方程（不必解方程）： 方法 1：设每千克应降价 x 元，则可得方程为____(60−x−40)(100+10x)=2240____； 方法 2：设降价后每千克售价为 x 元，则可得方程为____(x−40)[100+10(60−x)]=2240____。 【答案】方法 1：(60−x−40)(100+10x)=2240；方法 2：(x−40)[100+10(60−x)]=2240。 【解析】两种设法对应两条等量关系链：方法 1 以降价量为未知数，每千克利润为 (60−x)−40，销量为 100+10x；方法 2 以定价为未知数，每千克利润为 x−40，销量为 100+10(60−x)。获利 = 每千克利润×销量。 【详解】 方法 1：设每千克应降价 x 元。 降价后每千克售价为 (60−x) 元，每千克利润为 (60−x)−40 元。 每天销量为 (100+10x) 千克。 由“获利 2240 元”列方程：(60−x−40)(100+10x)=2240。 方法 2：设降价后每千克售价为 x 元。 每千克利润为 (x−40) 元。 共降价 (60−x) 元，每天销量为 [100+10(60−x)] 千克。 由“获利 2240 元”列方程：(x−40)[100+10(60−x)]=2240。 拔高 8　解答题 （2025春·西湖区校级期中）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 b=a+c，则称这个方程为“有爱方程”。 （1）判断 =1 是否为有爱方程，并说明理由； （2）求证：x=−1 是任何一个有爱方程的根； （3）已知关于 x 的方程 3−ax+b=0 是有爱方程，且 a 是这个方程的一个根，求 a 的值。 【答案】（1）是有爱方程，理由见详解；（2）证明见详解；（3）a=−1 或 。 【解析】第（1）问先把方程化为一般形式，再按定义验证 b=a+c；第（2）问把 b=a+c 代入一般形式，直接计算 x=−1 时方程左边的值；第（3）问由定义先用含 a 的式子表示 b，再把根 x=a 代入，解关于 a 的方程。 【详解】 （1）先把 =1 化为一般形式。 去括号：4+4x+1=1。 移项，把右边化为 0：4+4x=0，即一般形式。 其中 a=4，b=4，c=0。 b=a+c，即 4=4+0，成立。 所以 =1 是有爱方程。 （2）设一般形式为 a+bx+c=0（a≠0）。 由有爱方程的定义：b=a+c。 方程为 a+(a+c)x+c=0。 把 x=−1 代入方程左边：a×1−(a+c)+c。 = a−a−c+c = 0。 左边等于右边 0，所以 x=−1 是任何一个有爱方程的根。 （3）方程 3−ax+b=0 中，二次项系数为 3，一次项系数为 −a，常数项为 b。 由有爱方程的定义：−a=3+b，即 b=−a−3。 方程化为 3−ax−a−3=0。 因为 a 是这个方程的根，把 x=a 代入。 3×−a×a−a−3=0。 由 a×a=，得 2−a−3=0。 拆项分解：2−a−3 = 2+2a−3a−3。 = 2a(a+1)−3(a+1) = (a+1)(2a−3)。 所以 (a+1)(2a−3)=0。 a+1=0 或 2a−3=0。 解得 a=−1 或 a=。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 定义三条件辨析：整式·一元·二次逐条对照（选择） 例 2 化一般式后带符号读出 a、b、c（选择） 例 3 化一般式并读二次项、一次项系数与常数项（嵌空） 例 4 知根求参：代入根解字母方程（嵌空） 例 5 化一般式并逐项指认各项系数（三小问解答） 例 6 含参指数定参与方程类型判断（解答） 变式 1 含参指数定参并检验二次项系数（选择） 变式 2 知根求参：代入根解字母方程（选择） 变式 3 化一般式后读常数项（选择） 变式 4 知根求参（嵌空） 变式 5 知根整体代值：凑 2a+b（嵌空） 变式 6 知根整体代值：凑 3(2a−b)（嵌空） 变式 7 知根整体代值：由根找参数关系式（嵌空） 变式 8 新定义方程：按定义代入验证并转化（解答） 变式 9 新定义方程＋知根求参：两条件联立（解答） 变式 10 三角形三边与方程根：代入判断形状（解答） 拔高 1 整体代值：凑出参数关系式的倍数（选择） 拔高 2 含参指数定参并检验二次项系数（选择） 拔高 3 整体代值：凑出参数关系式的倍数（选择） 拔高 4 绝对值指数定参的双解（嵌空） 拔高 5 知根整体代值：凑 2a+b（嵌空） 拔高 6 化一般式对比系数求 b+c（嵌空） 拔高 7 两种设法列方程（嵌空 2 空） 拔高 8 新定义方程三问：验证·证根·定参（解答） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点是第二章的开篇地基：判断与求参都回到定义——三条件逐条对照、系数带符号读取、知根求参收尾必检验二次项系数不为 0；填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 1｜认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 1—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·定义三条件·一般式与根·知根求参 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 1 对齐（★☆~★★），三条主线：一线定义三条件——等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2，三条缺一不可；二线一般式与根——化为 a+bx+c=0（a≠0）后带符号读系数，根是使方程左右两边的值相等的未知数的值；三线知根求参——代入定参、检验二次项系数不为 0，再进一步整体代值——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 1 保持一致） 考点范围：定义三条件（等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2——三条同时满足才是一元二次方程）、一般式与系数（去括号、移项、合并同类项化为 a+bx+c=0（a≠0），各项系数带符号读取，缺项时该项系数为 0 但 a≠0 恒成立）、根与检验（根是使方程左右两边的值相等的未知数的值，代入两边分别计算再比较，一元二次方程可能不止一个根）、知根求参（把已知根代入方程得关于字母参数的方程，解出参数并检验二次项系数不为 0；进一步由参数关系整体代值求代数式的值）——与考点速览考点 1 三条主线一致。 一、定义三条件——整式·一元·二次 ◆ 判断顺序：先看是不是整式方程（分母中不能含未知数），再看是不是只含一个未知数，最后看化简整理后未知数的最高次数是不是 2——三条同时满足，才是一元二次方程。 ◆ 高频陷阱：−x=0 最高次数是 3、xy+1=0 含两个未知数、−3=0 分母含 x 不是整式方程、−2x−3 不含等号只是代数式——逐条对照三条件即可快速排除。 二、一般式与系数——先标准化，再读系数 ◆ 一般形式：a+bx+c=0（a≠0），a、b、c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项；化一般式三步走：去括号→移项（把右边化为 0）→合并同类项，系数和项都包含前面的符号。 ◆ 系数带符号：3=5x+2 移项合并得 3−5x−2=0，一次项系数是 −5、常数项是 −2；缺某项时该项系数为 0（如 −4=0 中 b=0），但二次项系数 a≠0 恒成立；需要时也可两边同乘 −1，使二次项系数为正。 三、根与检验——代入左右相等 ◆ 根的定义：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解（根）；检验一个数是不是根，把它代入方程两边分别计算，看左右两边的值是否相等；一元二次方程可能不止一个根。 定义三条件·一般式与根·知根求参速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定义三条件 整式方程＋只含一个未知数＋最高次数是 2，三条缺一不可 下列方程中是关于x的一元二次方程的是 只看次数，漏看整式与元数 一般式与系数 化为 a+bx+c=0（a≠0）后，系数带符号读取 化为一般形式，指出各项系数 移项不变号、系数漏负号 根与检验 根是代入后使左右两边的值相等的未知数的值 哪些数是方程的根 只代入一边就下结论 知根求参 代入根得字母方程，解参数后检验二次项系数不为 0 若x=−1是根，求m 忘检验 a≠0，收下增解 整体代值 由根得参数关系式，整体代入目标代数式 代数式的值 硬解参数、找不到整体关系 含参指数型 先由 |m| 型指数定次数，再检验二次项系数 求m的值 定次数与验系数只做其一 ◆ 检验规范：左边代入算一个值、右边代入算一个值、比较后下结论，三步缺一不可；给出多个候选数时逐一检验，不能只验一个就下结论，也不能只代入一边就宣布是根。 四、知根求参——代入定参·整体代值 ◆ 代入定参与整体代值：把已知根代入方程，得到关于字母参数的方程并解出参数，收尾必检验二次项系数不为 0——含参指数题先由指数定次数、再检验系数；求代数式的值不必解出参数本身，先由根找参数关系式（如 −5m=2、m+n=−1），再把它整体代入目标代数式。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程的认识是全章的地基：定义三条件（整式方程、只含一个未知数、最高次数是 2）逐条对照判断，缺一不可； 一般式与系数：去括号、移项、合并同类项化为标准形式 a+bx+c=0（a≠0）后带符号读系数，是后面解方程、用判别式与根与系数关系的前提； 根与检验：根是使方程左右两边的值相等的未知数的值，检验必须两边分别代入再比较，一元二次方程可能不止一个根； 知根求参：把根代入得字母方程解出参数，并检验二次项系数不为 0；进一步由参数关系整体代值——本考点与考点速览考点 1 对齐（★☆~★★），以选择、填空与小解答题呈现。 答题方法（三步法） 第一步·辨定义：对照三条件逐条检查——是不是整式方程、是不是只含一个未知数、整理后最高次数是不是 2； 第二步·化一般式：去括号、移项、合并同类项，化为 a+bx+c=0（a≠0），再带符号读出二次项系数、一次项系数与常数项； 第三步·用根求参：把已知根代入方程得关于字母参数的方程，解出参数后检验二次项系数不为 0；求代数式的值优先整体代值。 注意事项（易错警示） 只看次数不看整式：分母含未知数的方程（如 −3=0）不是整式方程，绝不能只凭最高次数是 2 下结论； 系数符号跟着移项走：3=5x+2 化为一般式后一次项系数是 −5、常数项是 −2，漏负号是最常见的失分点； 含参指数题两条一起用：先由指数等于 2 定出参数候选，再检验二次项系数不为 0，只做其一必错； 知根求参必检验：解出参数后代回二次项系数，系数为 0 的值要舍去；无法确定类选项要先代入验证再排除。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 定义三条件辨析 整式方程、一元、二次逐条对照 下列方程中是一元二次方程的是 ★☆ 一般式与系数 去括号、移项、合并后带符号读系数 化为一般形式，二次项系数为____ ★☆ 根与检验 根的定义与代入检验 哪些数是方程的根、检验解 ★☆ 知根求参 代入根得字母方程，检验二次项系数 若 x=−1 是根，则 m=____ ★★☆ 整体代值 由根得参数关系式整体代入 代数式的值为____ ★★☆ 含参指数定参与新定义方程 |m| 型指数定次数＋系数非 0；新定义方程按定义验证 求 m 的值、判断是否为新定义方程 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程的认识（定义三条件、一般式与各项系数、根的概念与检验、知根求参与整体代值、新定义方程的按定义验证）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章第一节及之前所学内容（整式运算、等式的性质、一元一次方程），个别题用到三角形按边分类（等腰、等边）的概念与利润＝单件利润×销量的基本数量关系，未使用配方法与公式法解题、根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：定义三条件辨析（选择）→ 化一般式读系数（选择）→ 化一般式并读三个系数（填空）→ 知根求参（填空）→ 化一般式与系数指认三小问（解答）→ 含参指数定参与方程类型判断（解答）。变式覆盖：含参指数定参（选择）→ 知根求参（选择）→ 化一般式读常数项（选择）→ 知根求参（填空）→ 整体代值（填空）→ 整体代值（填空）→ 整体代值（填空）→ 新定义·凤凰方程（解答）→ 新定义·美妙方程（解答）→ 三角形三边与方程根（解答）。拔高覆盖：整体代值（选择）→ 含参指数定参（选择）→ 整体代值（选择）→ 含参指数定参双解（填空）→ 整体代值（填空）→ 化一般式求 b+c（填空）→ 两种设法列方程（填空）→ 新定义·有爱方程三问（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教定义三条件辨析：逐条对照整式、一元、二次，快速排除干扰项（选择）； ◆ 例 2、例 3 教一般式与系数：去括号、移项、合并化为一般式后带符号读出 a、b、c（选择＋四空填空）； ◆ 例 4 教知根求参：把根代入方程，令左边等于 0，解出参数（填空）； ◆ 例 5 教化一般式的规范书写：去括号→移项→合并同类项，逐项指认系数（三小问解答）； ◆ 例 6 教含参指数定参与类型判断：定次数→验系数→下结论，再按二次项系数是否为 0 判断方程类型（解答）； ◆ 通法：判断与求参都回到定义——三条件与系数非 0 是唯一依据。 例 1　选择题 （2025春·南岗区校级月考）下列属于一元二次方程的是（　　） A．+2025x=0　　B．2025x+2024y=0　　C．−y=2025　　D．2x−7=2025 例 2　选择题 （2025春·宣城期末）把一元二次方程 2(x−1)x=5 化成一般式，则 a，b，c 的值分别是（　　） A．−2，2，5　　B．2，−2，−5　　C．1，4，−5　　D．−2，−2，−5 例 3　填空题 （2025秋·新疆期末）将方程 3−8x=10 化为一元二次方程的一般形式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。 例 4　填空题 （2025秋·牧野区期末）关于 x 的方程 +kx−2=0 的一个根是 1，则 k 的值为________。 例 5　解答题 （2025秋·达州期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3−1=2x； （2）x(x−2)=4−3x； （3）关于 x 的方程 m−nx+mx+n=q−p（m+n≠0）。 例 6　解答题 （2025·南通通州区期末）关于 x 的方程 (m+3)+5x−2=0。 （1）当 m 取何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当 m=−3 时，判断方程的类型。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 三道选择：含参指数定参、知根求参、化一般式读常数项——对应例 6、例 4 与例 3； ◆ 变 4~变 7 四道填空：知根求参与知根整体代值——对应例 4；整体代值先由根找参数关系式（如 2a+b、2a−b），再把目标代数式凑成它的倍数整体代入； ◆ 变 8~变 10 三道解答：新定义方程（凤凰方程、美妙方程）按定义代入验证与条件转化；三角形三边与方程根结合的形状判断——都回到定义与根的代入； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练检验二次项系数不为 0 的收尾动作与整体代值的凑形。 变式 1　选择题 （2025秋·禹州市期中）已知 (m+3)−3x−7=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．3　　B．−3　　C．±3　　D．0 变式 2　选择题 （2024秋·泰兴市期末）若一元二次方程 −3x+a=0 的一个根为 x=2，则 a 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．4　　D．−4 变式 3　选择题 （2024秋·兴隆县期末）方程 2−3x=1 化为一般形式后，常数项为（　　） A．2　　B．−3　　C．1　　D．−1 变式 4　填空题 （2024·镇江丹徒区期末）若 x=2 是方程 +mx−6=0 的根，则 m=________。 变式 5　填空题 （2025·宽城区校级二模）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 a+bx+2=0（a≠0）的解，则代数式 20−2a−b 的值是________。 变式 6　填空题 （2025春·莲都区期末）若关于 x 的一元二次方程 a+bx+6=0 的一个根为 x=−2，则代数式 6a−3b+2 的值为________。 变式 7　填空题 （2025春·淮北期中）已知 a 是方程 +2x−3=0 的一个根，则代数式 +2a−2025 的值为________。 变式 8　解答题 （2026秋·渠县月考）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 a−b+c=0，则称这个方程为“凤凰方程”。 （1）判断 3+4x+1=0 是否为凤凰方程，并说明理由； （2）若关于 x 的方程 +mx−5=0 是凤凰方程，求 m 的值。 变式 9　解答题 （2025春·镇海区校级期中）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 3a−2b+c=0，则称这个方程为“美妙方程”。 （1）判断 2−x−8=0 是否为美妙方程，并说明理由； （2）已知关于 x 的美妙方程 a+2x+c=0 的一个根是 −1，求这个美妙方程。 变式 10　解答题 （2025春·宿迁校级期末）关于 x 的一元二次方程 (a+c)−2bx+(a−c)=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长。 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果△ABC 是等边三角形，求方程的根。 PART 05 拔高巩固（8 题） 认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1、拔高 3 的台阶在整体代值：由根得 −7a=−6、+a=1 这类关系式，把目标代数式凑成它的倍数再整体代入； ◆ 拔高 2 的台阶在指数与系数双线：由 =2 定出候选后，检验 m−1≠0 舍去增解； ◆ 拔高 4 的台阶在绝对值双解：=2 有两个解，本题二次项系数恒为 1 无需检验，注意“或”字别漏； ◆ 拔高 5 的台阶在凑整体：由根得 2a+b=1013，再算 1−(2a+b)； ◆ 拔高 6 的台阶在化一般式求 b+c：展开移项后 b、c 都要带符号； ◆ 拔高 7 的台阶在两种设法列方程：设降价量与设定价两种未知数，对应两条等量关系链——获利＝每千克利润×销量； ◆ 拔高 8 的台阶在新定义综合：按定义把系数关系转化，再把根 x=a 代入，拆项因式分解解出双解。 拔高 1　选择题 （2026秋·贵州月考）若 x=a 为方程 −7x+6=0 的一个解，则代数式 2013−2+14a 的值为（　　） A．2001　　B．2007　　C．2019　　D．2025 拔高 2　选择题 （2025春·界首市月考）已知 (m−1)−5x−3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．2　　B．1　　C．−3　　D．1 或 −3 拔高 3　选择题 （2025春·宁海县期中）若 a 是方程 +x−1=0 的根，则代数式 3+3a+2025 的值为（　　） A．2024　　B．2026　　C．2028　　D．2030 拔高 4　填空题 （2025秋·奉贤区期末）若 −x−5=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为________。 拔高 5　填空题 （2026·长沙二模）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 a+bx−2026=0（a≠0）的一个解，则 1−2a−b 的值为_______。 拔高 6　填空题 （2025秋·武侯区校级期末）将方程 (x−1)(x+4)=3 化为一般形式得 +bx+c=0，则 b+c=________。 拔高 7　填空题 （2024秋·青县期末）某特产店销售一种特产，进价为每千克 40 元，售价为每千克 60 元时，每天可售出 100 千克。市场调查发现：售价每降低 1 元，每天销量增加 10 千克。若某天销售该特产获利 2240 元，请用两种不同的方法设未知数，列出本题的方程（不必解方程）： 方法 1：设每千克应降价 x 元，则可得方程为________； 方法 2：设降价后每千克售价为 x 元，则可得方程为________。 拔高 8　解答题 （2025春·西湖区校级期中）我们规定：若关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0（a≠0）的二次项系数、一次项系数、常数项满足 b=a+c，则称这个方程为“有爱方程”。 （1）判断 =1 是否为有爱方程，并说明理由； （2）求证：x=−1 是任何一个有爱方程的根； （3）已知关于 x 的方程 3−ax+b=0 是有爱方程，且 a 是这个方程的一个根，求 a 的值。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 定义三条件辨析：整式·一元·二次逐条对照（选择） 例 2 化一般式后带符号读出 a、b、c（选择） 例 3 化一般式并读二次项、一次项系数与常数项（嵌空） 例 4 知根求参：代入根解字母方程（嵌空） 例 5 化一般式并逐项指认各项系数（三小问解答） 例 6 含参指数定参与方程类型判断（解答） 变式 1 含参指数定参并检验二次项系数（选择） 变式 2 知根求参：代入根解字母方程（选择） 变式 3 化一般式后读常数项（选择） 变式 4 知根求参（嵌空） 变式 5 知根整体代值：凑 2a+b（嵌空） 变式 6 知根整体代值：凑 3(2a−b)（嵌空） 变式 7 知根整体代值：由根找参数关系式（嵌空） 变式 8 新定义方程：按定义代入验证并转化（解答） 变式 9 新定义方程＋知根求参：两条件联立（解答） 变式 10 三角形三边与方程根：代入判断形状（解答） 拔高 1 整体代值：凑出参数关系式的倍数（选择） 拔高 2 含参指数定参并检验二次项系数（选择） 拔高 3 整体代值：凑出参数关系式的倍数（选择） 拔高 4 绝对值指数定参的双解（嵌空） 拔高 5 知根整体代值：凑 2a+b（嵌空） 拔高 6 化一般式对比系数求 b+c（嵌空） 拔高 7 两种设法列方程（嵌空 2 空） 拔高 8 新定义方程三问：验证·证根·定参（解答） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点是第二章的开篇地基：判断与求参都回到定义——三条件逐条对照、系数带符号读取、知根求参收尾必检验二次项系数不为 0；填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $