2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中复习专题5 -

期中复习专题5——期中测试仿真模拟卷 考试时间：120分钟　　满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第三章。 4．本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（     ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）已知线段，，，则线段a、b、c的第四比例项d的长度为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（     ） A．28 B．56 C．112 D．224 5．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A在数轴的负半轴，且点A对应的数为，点O对应的数为0．若，则x的值为（     ） A．-3 B． C．或-3 D．或3 7．（26-27九年级上·四川内江·阶段检测）如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 12．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 13．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点D是的中点，则___________． 14．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 15．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 16．（26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分）解下列方程：（26-27九年级上·辽宁锦州·阶段检测）解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 18.（本题满分8分）（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出这个正方形的边长． 19.（本题满分10分）（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20.（本题满分10分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，四边形中，平分，，，为的中点． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若，，求的值． 21.（本题满分10分）（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； （2）如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 22.（本题满分10分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图， 中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交 内角平分线于． （1）试说明 ； （2）当点运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形．（直接写出具体条件，不需要证明） 23.（本题满分12分）（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M． 猜想判断： （1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______． 深入探究： （2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明． 拓展应用： （3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题5——期中测试仿真模拟卷 考试时间：120分钟　　满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第三章。 4．本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：为整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0． 解：选项A的方程未说明，当时不是二次方程； 选项B的方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程； 选项C的方程含、两个未知数，不是一元方程； 选项D的方程是一元二次方程． 2．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（     ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质求解即可． 解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分． 四条边相等是菱形、正方形共有的性质，对角线相等是矩形和正方形共有的性质， 对角线互相垂直是菱形、正方形共有的性质． 3．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）已知线段，，，则线段a、b、c的第四比例项d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若四条线段按顺序a、b、c、d满足比例关系，则d叫做a、b、c的第四比例项；代入已知条件列等式，求出d的值． 解：根据定义可得比例关系， 代入，，，得， 解得． 4．（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（     ） A．28 B．56 C．112 D．224 【答案】B 【分析】菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半，据此求解即可． 解：∵四边形为菱形，此菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 5．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】因为根的判别式公式为，所以将确定的、、的值代入公式计算的数值．如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根，根据计算得到的的符号对应判断根的情况即可． 解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A在数轴的负半轴，且点A对应的数为，点O对应的数为0．若，则x的值为（     ） A．-3 B． C．或-3 D．或3 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置可得，由此解方程即可． 解：， ， 解得，． 7．（26-27九年级上·四川内江·阶段检测）如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形对应边成比例可知，根据矩形的性质、折叠的性质可证四边形是正方形，根据正方形的性质和矩形的性质可知边之间的关系，从而可得：，设，解方程求出的值即为的值． 解：四边形（）与矩形相似， ， 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 设， 则有， 整理可得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， ． 8．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，再由垂直平分线的性质可得． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确等量关系为2026年与2027年的投入经费之和为4000万元，据此列方程即可. 解：∵2025年投入经费为1000万元，年平均增长率为， ∴2026年投入经费为万元，2027年投入经费为万元， ∵2026年、2027年两年共投入4000万元， ∴可列方程. 10．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得，，， ∴． 12．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】且 【分析】首先根据一元二次方程要求，二次项系数不为0，得到，再由方程有实数根，得判别式，求出的取值范围，最后综合两个条件得到结果． 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴且． 13．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点D是的中点，则___________． 【答案】5 【分析】先根据含角的直角三角形的性质求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算的长． 解：如图， ∵在中，， ∴， ∵，为的中点， ∴． 14．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质“相似三角形的周长比等于相似比”求解即可． 解：与相似，相似比为， 与的周长比为． 15．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 16．（26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是______． 【答案】①③ 【分析】依据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，依次判断①②③④给出的转化条件是否成立，找出错误条件． 解：①平行四边形→菱形：平行四边形本身对边就满足，不能判定为菱形；需要一组邻边相等（如），故①错误． ②菱形→正方形：菱形有一个内角是直角即为正方形，，，满足判定，故②正确． ③平行四边形→矩形：平行四边形对角线相等或有一个角为直角才是矩形；是菱形的判定条件，故③错误． ④矩形→正方形：矩形一组邻边相等即为正方形，，满足判定，故④正确． 所以条件添加错误的是． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分）解下列方程：（26-27九年级上·辽宁锦州·阶段检测）解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． （1）解：， 或， ，； （2）解：， ， 或， ． （3）解：， ，， ， 即， （4）解：， ， ， 即或， 解得：，． 18.（本题满分8分）（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出这个正方形的边长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为 解：（1）略 （2）解：若矩形为正方形，则矩形的两条邻边相等， ∵方程的两个根为矩形的两条邻边的长， ∴当方程有两等根时，矩形为正方形，此时， 解得． ∴方程化为，即， 解得，即正方形边长为， ∴当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为． 19.（本题满分10分）（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20.（本题满分10分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，四边形中，平分，，，为的中点． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵，且， ∴，即为直角三角形，为斜边， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似”，证明结论即可； （2）结合相似三角形的性质易得，即为直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先根据题意可得，再证明，进而证明，设，，则，然后计算的值即可． 解：（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴． 21.（本题满分10分）（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； （2）如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）12；480；5760；（2）该水果每千克应涨价10元 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据每天的盈利每千克的盈利销售量建立方程求解即可． （1）解：由题意得，若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为元，日销量为千克，每天售出水果的利润为元； （2）解：设该水果每千克应涨价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让顾客得到实惠， ∴， 答：该水果每千克应涨价10元． 22.（本题满分10分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图， 中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交 内角平分线于． （1）试说明 ； （2）当点运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形．（直接写出具体条件，不需要证明） 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可证：， ． （2）当点运动到中点处时，四边形是矩形． 证明：，， 四边形为平行四边形， 平分， ， 同理，， ， 四边形是矩形． （3）当是直角三角形且时，四边形是正方形． 【分析】（1）根据平分，，找到相等的角，即，再根据等边对等角得，同理，可得． （2）利用矩形的判定解答，即“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”． （3）利用正方形判定“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：当是直角三角形且时，四边形是正方形． 证明：， ∴， 平分， ， ， ， 同理可得：， ∴， ∴， 四边形是矩形， 四边形是正方形． 23.（本题满分12分）（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M． 猜想判断： （1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______． 深入探究： （2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明． 拓展应用： （3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）解： 理由如下： 如图，过点E作交的延长线于点F， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ； （3） 【分析】（1）过点E作交于点F，证明即可得解； （2）过点E作交的延长线于点F，证明即可得解； （3）过点E作交的延长线于点F，证明，由相似三角形的性质即可得解． （1）解：，理由如下： 过点E作交于点F， ∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点E作交的延长线于点F ∵， ，，， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $