2026—2027学年苏科版九年级上册数学期中考试重难点冲刺综合卷（前三章）

2026—2027苏科版九上数学期中考试重难点冲刺综合卷（前三章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：前3章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分21分） 1．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 6．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （第4题） （第5题） （第6题） （第7题） 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共11小题，每小题3分，满分33分） 9．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是___________． 10．若，是一元二次方程的两个根，则______ ． 11．点，在函数的图象上，则_____（填“＞”或“＜”）． 12．已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，则__________． 13．如图，在中，若，，则的长为_____． 14．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 15．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． （第13题） （第14题） （第15题） （第17题） 16．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 17．如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 18．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)； (2) 20．已知关于x的方程（为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是，求的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时， 22．如图，点都在上，．求证：． 23．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要顾客得到最大实惠，那么每盒应涨价多少元？ 24．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 25．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 26．【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 (2)已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 (3)已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 27．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 28．已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027苏科版九上数学期中考试重难点冲刺综合卷（前三章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B A C C 1．D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 2．D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 3．A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 4．B 【分析】先求出反比例函数表达式，再代入求解即可． 【详解】解：由题意设，则代入，得， ∴， 当电阻为时，． 5．B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 6．A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 7．C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 8．C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义以及代数式求值，利用方程根的定义，得到满足原方程，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， 对所求代数式变形得：， 将代入上式得：． 10． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 11．＜ 【分析】将A,B两点的横坐标代入函数解析式求出,的值，再比较两个负数的大小即可得到结论． 【详解】解：∵点，在函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 把代入解析式得 ， ∵，，， ∴两个负数比较大小，绝对值大的数更小，可得， ∴． 12． 【分析】反比例函数的形式为（），即自变量的次数为；反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，说明比例系数大于，即． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得． ∵它的两个分支分别在第一、第三象限， ∴， ∴． 13． 【分析】根据在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14． 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】解：， ， 设阴影部分面积为，扇形的面积为，则， ， ， ． 15．5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 16． 或 【分析】先因式分解求出方程的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出绝对值方程，求解得到的值； 【详解】解：对因式分解得， ∴，， ∵该方程是“伴根方程”，满足， ∴， 整理得， ∴或， 解得或． 17． 【分析】先根据反比例函数解析式，代入、横坐标写出两点坐标；再利用、坐标求出直线的解析式，算出点的横坐标；最后结合三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：、在反比例函数图象上，横坐标为，横坐标为， ，， 设直线解析式为，则 ， 解得，， 直线：， 令，则， ， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限 ， ． 18．7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 19．(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， ∴ 解得，． 20．(1) 证明：， 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：方程有一个根是， 把代入方程， 得， 整理得 ． 21．(1)， (2)或 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【详解】（1）解：根据题意可知， 解析式为． ∵在上， ∴， ∴． 将、代入： ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 所以，当或时， 22． 证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；利用即可证明． 【详解】略 23．(1) (2)涨价5元 【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据“原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同．”列出方程即可； （2）设每盒涨价y元，根据“要保证每天盈利6000元，”列出方程即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，得． 解得（舍）． 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒涨价y元， 根据题意，得， 解得， 因为要顾客得到最大实惠， 所以符合题意． 答：涨价5元． 24．(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 25．(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得答案； （2）设圆O的半径为r，则，，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆O的半径为r，则，， ∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆O的半径为． 26．(1)2 (2)①根据题意，，，，， ∴， ∴，又i为正整数， ∴， 若，则，这与相矛盾， ∴； ②3； (3)， 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）①根据题意得到，，，，，进而，根据i为正整数，进行分析可得结论； ②根据题意得到点A、B在第三象限的图象上，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，由反比例函数的比例系数k的几何意义得到，结合坐标与图形性质求解即可； （3）根据题中定义，结合（2）中结论求得a值；分和两种情况，结合反比例函数的增减性求得函数的最大值和最小值，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∵， ∴； （2）解：①略； ②当，时，，，即， ∴，，又， ∴点A、B在第三象限的图象上，如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵是函数的3倍区间， ∴由（2）知，解得， ∴， 当时，反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∴函数的最大值为，最小值为， 由题意，得，解得； 当时，反比例函数在内，y随x的增大而增大， ∴函数的最小值为，最大值为， 由题意，得，解得； 综上，，． 27．(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 28．(1) ； (2) 为不等于的实数； (3) 证明：∵两方程的唯一公共解为，方程①的非公共根为，方程②的非公共根为. ∴方程①中，得， 方程②中，得； ，是方程的两根， ，， 即，. 将代入得： ， 上式 假设，则， 即， 去分母得， ， 该方程无实数根，即不存在实数使得， ， ． 【分析】（1）将代入方程①，解关于的一元一次方程即可； （2）联立两方程消去二次项，结合唯一公共解的条件与两方程有两个不等实根的要求，确定的取值范围； （3）利用根与系数的关系得到非公共根的表达式，结合新方程的根与系数关系化简待证式，通过判别式证明不等式． 【详解】（1）解：是方程①的根， ， 即， 解得； （2）解：设两方程的公共解为，则： ①， ②， ①② 得：， 分两种情况： 当，即时，解得，即两方程有唯一公共解，符合题意； 当，即， 当时，方程①为，解得， 方程②为，解得， 此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 同理，可解得当时，此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 两方程均为一元二次方程且各有两个不相等的实数根， ，，即， ，即， 综上所述，为不等于的实数． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $