精品解析：山西太原市第三十八中学校2026-2027学年第一学期10月学情自测七年级数学试卷

2026—2027学年第一学期 八年级数学学科阶段性学情评估 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据概念逐一判断即可。 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合要求， B、是无限不循环小数，属于无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求， C、是有限小数，属于有理数，故C不符合要求， D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．和不是同类二次根式，不能直接相加减，计算错误，不符合题意． 4. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个选项，即可得到不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、∵， ∴ 是直角三角形，本选项不符合题意； B、∵，设，，， ∵，， ∴， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； D、∵，三角形内角和为， ∴最大角， ∴ 不是直角三角形，本选项符合题意． 5. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可． 【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x−3． 解得：x=9． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算． 通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴的值在5和6之间． 故选：A． 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 9. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，关键是利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 10. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 【答案】A 【解析】 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较大小的方法．先求出各数的绝对值，再比较它们的绝对值的大小，最后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 12. 若，则_____________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 13. 我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是________尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：如图， 在直角三角形中， ∵尺，尺， ∴尺， 即这根藤条的长度是15尺． 故答案为：15 14. 如图，在长方形中，，连接，将沿折叠点落在点处，与交于点，则的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得对应角相等，结合长方形对边平行的性质，可推导得到为等腰三角形，即．设，则可表示为，在中，利用勾股定理列关于的方程．求解方程得到的长度后，以为底、为高，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴． 设， ∵， ∴． 又∵长方形中，， ∴在中，由勾股定理： ， 代入数值： ， 展开计算得：， 解得， 即．  ​． 15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式； （2）先根据二次根式乘法法则计算第一项，再展开计算三次式，最后合并所得结果； （3）利用二次根式除法法则分别计算两部分，再合并所得结果； （4）利用乘法分配律展开，化简后合并同类二次根式 ． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式计算，二次根式的运算，掌握整式乘法运算法则是解题关键． 先按照整式乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： = = 将代入得 ． 18. 如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，． （1）求证：； （2）求长． 【答案】（1） 证明：，，， ∴ ，， ∴， ， ； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据，，，得到，根据勾股定理逆定理即可得到，问题得证； （2）设，则，根据勾股定理得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意得， 设，则， ， ， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟知两个定理并根据题意灵活应用是解题关键． 19. 在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形广场的周长为 （2）购买地砖需要花费元 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长； （2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． 【小问2详解】 解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 【答案】（1）21.4米； （2）8米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，求出的长，再求出的长即可得到答案； （2）求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得，（米）； 由题意知， ∴四边形是矩形， 米， （米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， （米）． 在中，由勾股定理得，（米）， （米）， 答：小明应该往回收线8米． 21. （1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．（保留作图痕迹，不用说明作图过程） 【答案】（1）26； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求．     22千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：过点D作构建直角三角形，然后运用矩形的性质以及勾股定理列式计算即可解答； （2）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简即可解答． 【详解】解：（1）如图：过点D作，     ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米 ∴两个村庄的距离为26千米； 故答案为：26． （2）设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ，解得∶． ∴AP的距离为22千米． 22. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． （2）若和为两个相邻整数，求的值． 【答案】（1）a， （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：应用已知结论得， 即， ∴． 23. 折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【答案】（1）（2）①② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）①根据折叠的性质得到，求得，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论； ②如图，根据全等三角形的判定和性质定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵将长方形纸片沿折叠， ， ∵ 解得 （2）①：将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2， ∵， ∴， ∴， 有 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期 八年级数学学科阶段性学情评估 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 10. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______．（填“”或“”） 12. 若，则_____________． 13. 我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是________尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 14. 如图，在长方形中，，连接，将沿折叠点落在点处，与交于点，则的面积为_____ 15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，． （1）求证：； （2）求长． 19. 在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 21. （1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．（保留作图痕迹，不用说明作图过程） 22. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． （2）若和为两个相邻整数，求的值． 23. 折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $