第3章 图形的相似 单元卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

第3章 图形的相似【基础过关卷 - 单元卷1】 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学　　满分：100分　　考试时间：90分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】选项B中，，，所以，四条线段成比例。 其余选项：A中，C中，D中，均不成比例。 2．如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且顶点A，B，C，D分别与E，F，G，H对应，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】相似多边形的对应角相等，所以，。 由四边形内角和等于，得。 3．在和中，，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【解析】A：，结合直角相等可判定相似； B：，，两直角边成比例且夹角相等，可判定相似； C：DE是斜边，，，，两组直角边不成比例，不能判定相似； D：，，，，两直角边成比例，可判定相似。 4．，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的高。若，，则与的周长之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】相似三角形对应高的比等于相似比，所以两个三角形的相似比为； 相似三角形周长的比等于相似比，故周长之比为。 5．如图，在的正方形网格中，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到。下列说法错误的是（　　） A．点A，O，A′在同一条直线上 B． C．点O到AB的距离与点O到A′B′的距离之比为 D． 【答案】C 【解析】位似图形对应点的连线经过位似中心，对应边平行（或在同一直线上），且两个图形相似，故A、B、D均正确； 位似比为，位似中心到一组对应边AB，A′B′的距离之比应等于位似比，而不是，故C错误。 6．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”如图，正方形城邑ABCD中，M，N分别是边AD，AB的中点，，，垂足分别为E，F，直线EF经过点A，且步，步，则该城邑的边长AD为（　　） A．300步 B．250步 C．225步 D．150步 【答案】A 【解析】由题意得。因为E，A，F三点共线，所以；又，故，所以。 设步，则，即，解得，。 所以（步）。 7．如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且，，连接BF，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R，则QF的长为（　　） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】过点F作于点H。由三个等腰三角形全等，腰长均为，底边均为1，得，，， 所以。 由得。在中，C是BE的中点，交BF于点Q，所以Q是BF的中点，故 。 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即。 A、B中再添加一组对应角相等，可用“两角分别相等”判定相似；D中，即两组对应边成比例且夹角，可用“两边成比例且夹角相等”判定相似； C中，相等的角不是成比例两边AD，DE的夹角，不能判定两个三角形相似。 9．在欧几里得的《几何原本》中给出了一种找线段黄金分割点的方法。如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，在EA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AFGH，延长GH交DC于点I。则点A，E，H，I四个点中，是所在某一条线段的黄金分割点的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】设，则， a，所以，，，故H是AB的黄金分割点； 四边形AHID是矩形，，，故I是DC的黄金分割点； ，，故A是FD的黄金分割点； E是AD的中点，，E不是AD的黄金分割点。综上共有3个。 10．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上。在下列五个条件：①；②；③；④；⑤中，能判定与相似的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】①，加上公共角，可判定；②由平行线可得对应角相等，可判定相似； ③且夹角公共，可判定；⑤，加上公共角，可判定相似； ④化为，但不是AD与DE的夹角，不能判定相似。 所以能判定相似的条件是①②③⑤，共4个。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，面积比为，边AC的对应边为DF。若，则DF的长为　＿＿＿＿＿＿． 【答案】4 【解析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以相似比为，即，所以。 12．如图，BE是的中线，点F在BE上，连接AF并延长，交BC于点D。若，则的值为　＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】过点E作，交BC于点G。因为E是AC的中点，所以G是CD的中点，即。 在中，，所以，即。又，故。 13．如图，在▱ABCD中，CE平分，交AD于点E，于点H，DH分别交BC，AB的延长线于点G，F。若 cm， cm，则BF的长为　＿＿＿＿＿＿cm． 【答案】2 【解析】由CE平分，，可证，所以，。 因为，所以，。设 cm，则，解得，即 cm。 14．定义：若一个三角形的两个内角的度数之差为，则称这个三角形为“准直角三角形”。如图，在中，，，，点D在边AC上。若是“准直角三角形”，则CD的长为　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】 或 【解析】。是的外角，故，分两种情况： ①当时，，又公共，所以，，即，得； ②当时，，即BD平分。由角平分线定理，，所以。 15．如图，在中，点C在边AD上，连接BC。请你只添加一个条件，使，你添加的条件是　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】答案不唯一，如（或，或） 【解析】与有公共角。再添加一组对应角相等，如或，可用“两角分别相等”判定相似； 也可添加夹公共角的两边成比例，即，用“两边成比例且夹角相等”判定相似。 16．如图，，AD与BC相交于点E，，，垂足分别为F，G。若，，则的值为　＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，所以。又，所以， 故。 三、解答题（本大题共8小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在中，，，，BD与AD相交于点D。 (1)求证：； (2)若，，求BD的长。 【答案】(1)见解析；。 【解析】(1)证明：因为，AB为截线，所以。 又，即，所以，故。 (2)解：在中，。 由，得，即，所以。 18．（6分）如图，在中，，点D在边BC上，以AD为边在AD的右侧作等边三角形ADE，DE交AC于点F。 求证：。 【答案】见解析。 【解析】证明：因为是等边三角形，所以。 又，所以。 又（对顶角相等），所以。 19．（8分）如图，路边有一块矩形广告牌，MN垂直于水平地面，垂足为A。地面上一光源B射出的光线经地面上的平面镜反射后照到广告牌上。第一次将平面镜放在点D处，反射光线恰好经过广告牌顶部M；第二次将平面镜放在点E处，反射光线恰好经过广告牌上的点N。已知于点C， m， m， m，，，且，。 (1)求证：； (2)求M，N两点之间的距离MN。 【答案】(1)见解析； m。 【解析】(1)证明：因为，所以，。 又，所以。 (2)解：在和中，，，所以， 故。 m，所以， m。 同理，。 m， m， 故， m。 所以。 20．（6分）长尾夹是生活中常用的文具，其结构可抽象为如图所示的几何图形。已知 cm， cm， cm，求长尾夹闭合时B，D两点之间的距离。 【答案】 cm。 【解析】解：，。 因为，，，所以， 所以，即，所以。 21．（8分）阅读下面材料： 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，AD平分，则。 下面是该定理的一种证明思路：如图②，过点C作，交BA的延长线于点E。由此可得，。 (1)请按照上述证明思路，写出该定理的完整证明过程； (2)如图①，在中，AD平分交BC于点D，若，，，求BD的长； (3)如图③，在中，AD平分交BC于点D，E为BC的中点，交AB于点F，若，，求FB的长。 【答案】(1)见解析；；。 【解析】(1)证明：因为，所以，。 因为AD平分，所以，所以，所以。 在中，因为，所以，以代入，得。 (2)解：由角平分线分线段成比例定理，。 又，所以。 (3)解：由定理得。设，则。 因为E是BC的中点，所以。在中，，所以， ，所以。 22．（8分）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”。如图①，与是以AB为公共边的“共边三角形”。“共边三角形”具有如下性质：连接DC并延长，交AB于点E，则 。 【问题解决】如图②，在中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于点F，连接DF。 (1)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”；若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积； (2)求证： AC； (3)若将“D为BC的中点”改为“”，其他条件不变，则=________。 【答案】与、与、与；，；(2)见解析；。 【解析】(1)解：以BF为公共边的“共边三角形”有与、与、与。 与以BF为公共边，AD交BF于点E，由题给性质，，所以。 又与同高（点F到BC的距离），，所以 。 而，所以，。 (2)证明：与以AF，CF为底时同高（点B到AC的距离）， 所以，即，所以 AC。 (3)解：同理，且，所以，故，即。 23．（6分）如图1，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，，。动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作，分别交AB，AC于点E，F，以EF为边向下作正方形EFGH。 (1)设，则正方形的边长EF=________（用含x的代数式表示）；当x=________时，GH恰好落在边BC上（如图2），此时EF=________； (2)在点P的运动过程中，若正方形EFGH与的公共部分图形的面积为6（如图3），求AP的长。 【答案】；；；。 【解析】(1)解：因为，所以，，所以。 当GH落在BC上时，正方形边长等于PD，即，解得，此时。 (2)解：当时正方形面积为，故公共部分面积为6时GH已越过BC，公共部分是长为EF、宽为PD的矩形。 由题意得，即，整理得，解得。 因为，符合题意，所以AP的长为2。 24．（6分）【尝试发现】 (1)如图1，在和中，，，，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为________； 【变式探究】 (2)如图2，在和中，，连接BD并延长，交CE于点F。 ①若，求的值；②试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； 【综合迁移】 (3)如图3，在矩形ABCD中，，，AC是对角线，E是边BC上一动点，连接AE，以AE为直角边向逆时针方向作，使，连接CF，DF。 ①求证：；②在点E从点B运动到点C的过程中，直接写出线段DF长度的最小值。 【答案】；(2)①；②；(3)①见解析；②DF的最小值为。 【解析】(1)解：。由得，又，，所以，故。 (2)①解：由得，即，又，所以， 故。 ②解：。证明：设AC交BF于点O。由得， 又，所以，所以。 由得，所以。又，故。 (3)①证明：由得，，， 所以，又，所以， 所以。因为，所以，，故。 ②解：由①知，即，所以点F始终在经过点C且垂直于AC的定直线l上运动。 以B为原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，0)，，3)，直线l的方程为。 当时DF最短，最小值为点D到直线l的距离：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的相似【基础过关卷 - 单元卷1】 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学　　满分：100分　　考试时间：90分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且顶点A，B，C，D分别与E，F，G，H对应，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．在和中，，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 4．，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的高。若，，则与的周长之比为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到。下列说法错误的是（　　） A．点A，O，A′在同一条直线上 B． C．点O到AB的距离与点O到A′B′的距离之比为 D． 6．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”如图，正方形城邑ABCD中，M，N分别是边AD，AB的中点，，，垂足分别为E，F，直线EF经过点A，且步，步，则该城邑的边长AD为（　　） A．300步 B．250步 C．225步 D．150步 7．如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且，，连接BF，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R，则QF的长为（　　） A． B．3 C．2 D． 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 9．在欧几里得的《几何原本》中给出了一种找线段黄金分割点的方法。如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，在EA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AFGH，延长GH交DC于点I。则点A，E，H，I四个点中，是所在某一条线段的黄金分割点的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上。在下列五个条件：①；②；③；④；⑤中，能判定与相似的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，面积比为，边AC的对应边为DF。若，则DF的长为　＿＿＿＿＿＿． 12．如图，BE是的中线，点F在BE上，连接AF并延长，交BC于点D。若，则的值为　＿＿＿＿＿＿． 13．如图，在▱ABCD中，CE平分，交AD于点E，于点H，DH分别交BC，AB的延长线于点G，F。若 cm， cm，则BF的长为　＿＿＿＿＿＿cm． 14．定义：若一个三角形的两个内角的度数之差为，则称这个三角形为“准直角三角形”。如图，在中，，，，点D在边AC上。若是“准直角三角形”，则CD的长为　＿＿＿ 15．如图，在中，点C在边AD上，连接BC。请你只添加一个条件，使，你添加的条件是　＿＿＿＿ 16．如图，，AD与BC相交于点E，，，垂足分别为F，G。若，，则的值为　＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共8小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在中，，，，BD与AD相交于点D。 (1)求证：； (2)若，，求BD的长。 18．（6分）如图，在中，，点D在边BC上，以AD为边在AD的右侧作等边三角形ADE，DE交AC于点F。 求证：。 19．（8分）如图，路边有一块矩形广告牌，MN垂直于水平地面，垂足为A。地面上一光源B射出的光线经地面上的平面镜反射后照到广告牌上。第一次将平面镜放在点D处，反射光线恰好经过广告牌顶部M；第二次将平面镜放在点E处，反射光线恰好经过广告牌上的点N。已知于点C， m， m， m，，，且，。 (1)求证：； (2)求M，N两点之间的距离MN。 20．（6分）长尾夹是生活中常用的文具，其结构可抽象为如图所示的几何图形。已知 cm， cm， cm，求长尾夹闭合时B，D两点之间的距离。 21．（8分）阅读下面材料： 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，AD平分，则。 下面是该定理的一种证明思路：如图②，过点C作，交BA的延长线于点E。由此可得，。 (1)请按照上述证明思路，写出该定理的完整证明过程； (2)如图①，在中，AD平分交BC于点D，若，，，求BD的长； (3)如图③，在中，AD平分交BC于点D，E为BC的中点，交AB于点F，若，，求FB的长。 22．（8分）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”。如图①，与是以AB为公共边的“共边三角形”。“共边三角形”具有如下性质：连接DC并延长，交AB于点E，则 。 【问题解决】如图②，在中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于点F，连接DF。 (1)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”；若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积； (2)求证： AC； (3)若将“D为BC的中点”改为“”，其他条件不变，则=________。 23．（6分）如图1，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，，。动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作，分别交AB，AC于点E，F，以EF为边向下作正方形EFGH。 (1)设，则正方形的边长EF=________（用含x的代数式表示）；当x=________时，GH恰好落在边BC上（如图2），此时EF=________； (2)在点P的运动过程中，若正方形EFGH与的公共部分图形的面积为6（如图3），求AP的长。 24．（6分）【尝试发现】 (1)如图1，在和中，，，，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为________； 【变式探究】 (2)如图2，在和中，，连接BD并延长，交CE于点F。 ①若，求的值；②试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； 【综合迁移】 (3)如图3，在矩形ABCD中，，，AC是对角线，E是边BC上一动点，连接AE，以AE为直角边向逆时针方向作，使，连接CF，DF。 ①求证：；②在点E从点B运动到点C的过程中，直接写出线段DF长度的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $