3.1 相似多边形分层练习卷 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

3.1 相似多边形【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【解析】相似多边形必须同时满足：对应角相等，对应边成比例． A．等腰三角形的顶角、边长都不一定相同，形状不一定相同，不一定相似； B．矩形的角都是直角，但邻边之比不一定相等，不一定相似； C．菱形的边都相等，但内角不一定对应相等，不一定相似； D．任意正多边形都相似，故两个正五边形一定相似．故选 D． 2．已知线段 a、b、c 的长度分别为 3、6、9，再选取一条线段 d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（　　） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【解析】四条线段成比例，即其中两条线段之比等于另外两条线段之比，需分情况讨论： 若 3×9=6d，则 d=4.5；若 6×9=3d，则 d=18；若 3×6=9d，则 d=2； 若 d=8，则 3×8=24、6×8=48、9×8=72，与 3×6=18、3×9=27、6×9=54 均不相等，不能成比例． 故这条线段的长度不能是 8．故选 D． 3．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】①正方形的四个角都是直角，四条边都相等，任意两个正方形对应角相等、对应边成比例，都相似，为真命题； ②菱形的角不一定对应相等，不一定相似，为假命题； ③矩形的角都是直角，但对应边的比不一定相等，不一定相似，为假命题； ④等腰直角三角形的三个角分别为 90°、45°、45°，对应角相等，且直角边与斜边之比都是定值，都相似，为真命题． 真命题有 2 个．故选 B． 4．一个多边形的边长分别为 3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为 28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【解析】设这个多边形的最短边的长度为 x． ∵两个多边形相似，∴对应边成比例，且最短边与最短边对应， ∴ = ，解得 x=12，即这个多边形的最短边的长度为 12．故选 C． 5．如图，已知六边形 ABCDEF∽六边形 A′B′C′D′E′F′，若 AB:A′B′=4:7，CD=8，则 C′D′ 的长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解析】∵六边形 ABCDEF∽六边形 A′B′C′D′E′F′， ∴对应边成比例，CD:C′D′=AB:A′B′=4:7， ∴C′D′=8×=14．故选 C． 6．如图，下列三个矩形相似的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【解析】矩形的四个角都是直角，只需对应边成比例即相似． 甲：16:12=4:3；乙：12:8=3:2；丙：12:9=4:3． ∵=，∴甲和丙的对应边成比例，甲和丙相似； 甲和乙：≠，不相似；乙和丙：≠，不相似．故选 B． 7．如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，相似比为 k，点 B，F，C，G 四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A=∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD=k·EH 【答案】C 【解析】A．相似多边形的对应角相等，∠A=∠E 一定成立； B．∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，∴∠DCB=∠HGF， 又 B，F，C，G 四点共线，即 CB 与 GF 在同一条直线上， ∴DC 与 HG 被直线 BG 所截形成的同位角相等，∴DC∥HG，一定成立； D．相似多边形的对应边成比例，∴AD:EH=k，即 AD=k·EH，一定成立； C．BC 与 EF 的位置关系由图形形状决定，不一定垂直． 故不一定正确的是 C．故选 C． 8．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为 5、12、13 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为 1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为 5 和 12 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【解析】甲：新三角形的三边与原三角形的三边分别平行， ∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′（两角的两边分别平行，且方向相同，则这两个角相等）， ∴新三角形与原三角形相似，甲的观点正确； 乙：设原矩形邻边为 5 和 12，向外扩张间距均为 1 后， 新矩形的长为 12+2=14，宽为 5+2=7，则新矩形长宽之比为 14:7=2:1， 而原矩形长宽之比为 12:5，∵2:1≠12:5，∴新矩形与原矩形不相似，乙的观点错误． 故选 A． 9．已知：在矩形 ABCD 中，AD=1．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则 AB 的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】∵每个小矩形都和矩形 ABCD 相似，且小矩形的长为 1（即 AD），宽为 ， ∴大矩形的长 AB 与小矩形的宽 对应，大矩形的宽 1 与小矩形的长 1 对应， ∴= ，即 AB²=3， ∵AB＞0，∴AB=．故选 B． 10．如图，菱形 ABCD∽菱形 EAFC，且相似比为 2，则下列说法错误的是（　　） A．B，E，F，D 四点共线 B．E 为△ABC 的重心 C．AB:AC=:2 D．AE⊥BC 【答案】B 【解析】A．∵菱形 ABCD 与菱形 EAFC 的对角线都垂直平分线段 AC， ∴BD⊥AC，EF⊥AC，且都经过 AC 的中点，∴B，E，F，D 四点共线，该说法正确； B．设 EF 交 AC 于点 O，连接 BE．由相似比为 2 得 OA=2OE，OB=2OA， ∴OE=a 时，OA=2a，OB=4a，∴BE=3OE， 而三角形重心分中线为 2:1，BE=3OE 不满足重心的性质，∴点 E 不是△ABC 的重心，该说法错误； C．由 B 知 OA=2a，OB=4a，则 AC=4a，由勾股定理得 AB==2 a， ∴AB:AC=2 a:4a=:2，该说法正确； D．∵AE²+CE²=( a)²+( a)²=10a²=AC²，∠AEC=90°，即 AE⊥EC， 又 B，E，F，D 四点共线，同理可证 AE⊥BC，该说法正确． 故说法错误的是 B．故选 B． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，则 ∠D=＿＿＿＿＿＿． 【答案】81° 【解析】∵四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴∠A=∠E=118°， 在四边形 ABCD 中，∠D=360°−78°−83°−118°=81°． 12．如果在比例尺为 1:2000000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么 A、B 两地的实际距离是＿＿＿＿＿＿千米． 【答案】68 【解析】设 A、B 两地的实际距离为 x 厘米， 由题意得 3.4: x=1:2000000，解得 x=6800000， 6800000 厘米=68 千米，即 A、B 两地的实际距离是 68 千米． 13．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10，点 E，F 分别在 AD，BC 上，若矩形 ABFE∽矩形 BCDA，则 BF 的长为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】∵矩形 ABFE∽矩形 BCDA，∴BF:CD=AB:BC， 由矩形性质知 AB=CD=4，BC=10， ∴BF:4=4:10，∴BF= = ． 14．点 B 把线段 AC 分成两部分，如果 BC:AB=AB:AC=k，那么 k 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】设 AC=1，则 AB=k，BC=1−k（k＞0）， 由 BC:AB=AB:AC 得 (1−k):k=k:1，即 k²=1−k， ∴k²+k−1=0，解得 k=， ∵k＞0，∴k= （此即为黄金比）． 15．如图，点 D、E 在线段 BC 上，△ADE 是等边三角形，当△ABD∽△CAE 时，∠BAC 的度数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】120° 【解析】∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°， ∵点 D、E 在线段 BC 上，∴∠ADB=180°−∠ADE=120°，∠AEC=180°−∠AED=120°， ∵△ABD∽△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∠ABD=∠CAE， 在△ABD 中，∠ABD+∠BAD=180°−∠ADB=60°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=∠BAD+60°+∠ABD=60°+60°=120°． 16．复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系．将其中一型号纸张（如 A₃ 纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A₄ 纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即 A₃ 纸与 A₄ 纸相似），则这些型号的复印纸长与宽之比为＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】:1 【解析】设复印纸的长为 x，宽为 y，则对折后所得纸张的长为 y，宽为 ， ∵对折得到的矩形与原来的矩形相似，∴x:y=y:()， ∴x²=2y²，∵x、y 均为正数，∴x:y=:1． 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，求 AB 的长及 ∠D 的度数． 【答案】AB=9，∠D=43°． 【解析】∵四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′， ∴AB:A′B′=CD:C′D′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， 即 AB:6=18:12，∴AB=9； ∴∠A=∠A′=107°，由图可知 ∠B=90°，∠C=120°， ∴∠D=360°−107°−90°−120°=43°． 18．已知线段 a、b、c 满足 a:b:c=3:2:6，且 a+2b+c=13． (1)求 a、b、c 的值； (2)若线段长 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 的值． 【答案】(1)a=3，b=2，c=6；(2)x=． 【解析】(1)∵a:b:c=3:2:6，∴设 a=3k，b=2k，c=6k（k＞0）， 由 a+2b+c=13 得 3k+4k+6k=13k=13，∴k=1， ∴a=3，b=2，c=6； (2)∵线段长 x 是线段 a、b 的比例中项，∴x²=ab=3×2=6， ∵x＞0，∴x=． 19．如图所示，有一块长为 2m、宽为 1m 的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽 10cm 的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析． 【解析】不相似．理由如下： ∵10cm=0.1m，∴外边缘矩形的长为 2m，宽为 1m，长宽之比为 2:1； 内边缘矩形的长为 2−0.1×2=1.8(m)，宽为 1−0.1×2=0.8(m)，长宽之比为 1.8:0.8=9:4， ∵2:1≠9:4，∴边框的内外边缘所成的两个矩形的对应边不成比例， ∴它们不相似． 20．如图，已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，点 A、B、C、D 的对应点分别为 A′、B′、C′、D′． (1)求 ∠B 的度数； (2)求边 x 的长度． 【答案】(1)∠B=69°；(2)x=4． 【解析】(1)∵四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，∴∠C=∠C′=135°， 由图可知 ∠A=60°，∠D=96°， ∴∠B=360°−60°−96°−135°=69°； (2)∵四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，∴BC:B′C′=AD:A′D′， 即 6:x=12:8，∴x=6×=4，即边 x 的长度为 4． 21．如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 A′、B′、C′、D′ 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，判断四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 是否相似，并说明理由． 【答案】四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，理由见解析． 【解析】四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似．理由如下： ∵点 A′、B′ 分别是 OA、OB 的中点， ∴A′B′ 是△OAB 的中位线，∴A′B′∥AB，A′B′= ， ∴∠B′A′C′=∠BAC，且 AB:A′B′=2， 同理可得：B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′A′∥DA， B′C′= ，C′D′= ，D′A′= ， ∴AB:A′B′=BC:B′C′=CD:C′D′=DA:D′A′=2， 且 ∠D′A′B′=∠DAB，∠A′B′C′=∠ABC，∠B′C′D′=∠BCD，∠C′D′A′=∠CDA， ∵四边形 A′B′C′D′ 的四个角分别等于四边形 ABCD 的四个角，四条边对应成比例， ∴四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′． 22．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 上的一点，EF∥BC，并且 EF 将梯形 ABCD 分成的两个梯形 AEFD、EBCF 相似，若 AD=4，BC=9，求 AE:EB 的值． 【答案】AE:EB=2:3． 【解析】∵梯形 AEFD∽梯形 EBCF，∴AD:EF=EF:BC， 又 AD=4，BC=9，∴EF²=AD·BC=4×9=36，∴EF=6（EF＞0）， ∵梯形 AEFD∽梯形 EBCF，∴AE:EB=AD:EF=4:6=2:3， 即 AE:EB=2:3． 23．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园 ABCD 周围铺上石子路，已知矩形小花园 ABCD 的长 BC 为 6m，宽 AB 为 4m，纵向石子路的宽为 xcm，横向石子路的宽为 ycm，石子路外边缘形成矩形 EFGH． (1)若石子路的宽均为 50cm（即 x=y=50），石子路外边缘的矩形 EFGH 与矩形小花园 ABCD 相似吗？ (2)要使矩形 ABCD∽矩形 EFGH，则石子路的宽度 x 与 y 的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似；(2)x:y=3:4． 【解析】(1)∵50cm=0.5m，BC=6m，AB=4m， ∴EF=AB+y=4.5(m)，FG=BC+2x=7(m)， ∴AB:EF=4:4.5=8:9，BC:FG=6:7， ∵≠，∴对应边不成比例， ∴石子路外边缘的矩形 EFGH 与矩形小花园 ABCD 不相似； (2)由(1)可知 EF=(4+0.01y)m，FG=(6+0.02x)m， 当矩形 ABCD∽矩形 EFGH 时，AB:EF=BC:FG， 即 = ， ∴4(6+0.02x)=6(4+0.01y)，即 24+0.08x=24+0.06y， ∴0.08x=0.06y，∴x:y=3:4， 即石子路的宽度 x 与 y 的比值应为 3:4． 24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是:2，连接EB，GD。 (1)求证：EB=GD； (2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长。 【答案】(1)见解析；(2)GD=． 【解析】(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，即∠EAB=∠GAD， ∵在菱形AEFG和菱形ABCD中， ∴AB=AD，AE=AG，∠EAB=∠GAD ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴EB=GD (2)解：连接BD，交AC于点P， ∵四边形ABCD是菱形，∴BP⊥AC，∠PAB=∠DAB， ∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∵AB=2，∴BP=AB=1， 在Rt△APB中，AP===， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，∴AE：AB=：2，∵AB=2，∴AE=， ∵点E在CA的延长线上，∴EP=EA+AP=+=2，在Rt△EPB中，EB====，由(1)知EB=GD，∴GD=． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 相似多边形【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 2．已知线段 a、b、c 的长度分别为 3、6、9，再选取一条线段 d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（　　） A．2 B．4.5 C．18 D．8 3．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．一个多边形的边长分别为 3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为 28，则这个多边形的最短边的长度为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 5．如图，已知六边形 ABCDEF∽六边形 A′B′C′D′E′F′，若 AB:A′B′=4:7，CD=8，则 C′D′ 的长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，下列三个矩形相似的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 7．如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，相似比为 k，点 B，F，C，G 四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A=∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD=k·EH 8．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为 5、12、13 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为 1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为 5 和 12 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 9．已知：在矩形 ABCD 中，AD=1．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则 AB 的长为（　　） A．√2 B．√3 C．2 D．√5 10．如图，菱形 ABCD∽菱形 EAFC，且相似比为 2，则下列说法错误的是（　　） A．B，E，F，D 四点共线 B．E 为△ABC 的重心 C．AB:AC=√5:2 D．AE⊥BC 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，则 ∠D=＿＿＿＿＿＿． 12．如果在比例尺为 1:2000000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么 A、B 两地的实际距离是＿＿＿＿＿＿千米． 13．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10，点 E，F 分别在 AD，BC 上，若矩形 ABFE∽矩形 BCDA，则 BF 的长为＿＿＿＿＿＿． 14．点 B 把线段 AC 分成两部分，如果 BC:AB=AB:AC=k，那么 k 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 15．如图，点 D、E 在线段 BC 上，△ADE 是等边三角形，当△ABD∽△CAE 时，∠BAC 的度数为＿＿＿＿＿＿． 16．复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系．将其中一型号纸张（如 A₃ 纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A₄ 纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即 A₃ 纸与 A₄ 纸相似），则这些型号的复印纸长与宽之比为＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，求 AB 的长及 ∠D 的度数． 18．已知线段 a、b、c 满足 a:b:c=3:2:6，且 a+2b+c=13． (1)求 a、b、c 的值； (2)若线段长 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 的值． 19．如图所示，有一块长为 2m、宽为 1m 的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽 10cm 的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 20．如图，已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似，点 A、B、C、D 的对应点分别为 A′、B′、C′、D′． (1)求 ∠B 的度数； (2)求边 x 的长度． 21．如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 A′、B′、C′、D′ 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，判断四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 是否相似，并说明理由． 22．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 上的一点，EF∥BC，并且 EF 将梯形 ABCD 分成的两个梯形 AEFD、EBCF 相似，若 AD=4，BC=9，求 AE:EB 的值． 23．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园 ABCD 周围铺上石子路，已知矩形小花园 ABCD 的长 BC 为 6m，宽 AB 为 4m，纵向石子路的宽为 xcm，横向石子路的宽为 ycm，石子路外边缘形成矩形 EFGH． (1)若石子路的宽均为 50cm（即 x=y=50），石子路外边缘的矩形 EFGH 与矩形小花园 ABCD 相似吗？ (2)要使矩形 ABCD∽矩形 EFGH，则石子路的宽度 x 与 y 的比值应为多少？ 24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是√3:2，连接EB，GD。 (1)求证：EB=GD； (2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长。 学科网（北京）股份有限公司 $