3.5 图形的位似 分层卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

3.5 图形的位似分层卷 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：3.5 图形的位似 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两个相似图形一定是位似图形 B．位似图形一定是相似图形 C．两个位似图形的位似中心一定在图形内部 D．位似图形的对应边一定相等 【答案】 B 【解析】 位似图形是特殊的相似图形：它除了要求两个图形相似以外，还要求每组对应点所在的直线都经过同一个点（位似中心），所以位似图形一定是相似图形，B 正确； 两个相似图形如果摆放的位置不「配合」，对应点的连线不一定交于一点，就不一定是位似图形，A 错误； 位似中心可以在图形内部，也可以在图形外部，还可以落在图形的边上，C 错误； 位似图形的对应边成比例，但不一定相等（只有位似比为 1 时才相等），D 错误．选 B． 【解题提示】位似＝相似＋对应点连线共点；两者是「特殊与一般」的关系． 2．下列关于相似图形与位似图形的说法中，错误的是（　　） A．位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上 B．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比 C．位似图形的周长比等于位似比 D．把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形一定是位似图形 【答案】 D 【解析】 位似图形是特殊的相似图形，它的对应边互相平行或在同一条直线上，A 正确； 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，这是位似图形的基本性质，B 正确； 位似图形的周长比等于相似比，也就是位似比，C 正确； 把图形放大或缩小，只是改变了大小；如果放大（缩小）后的图形与原图形的对应点连线不交于同一点，就不是位似图形，D 错误．选 D． 【解题提示】凡带「一定」的结论都要多问一句：位置关系满足了吗？ 3．如图，三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 A，E，B，D 在同一条直线上，点 C 与点 F 是对应点，则它们的位似中心在（　　） A．线段 AE 上 B．线段 EB 上 C．线段 BD 上 D．三角形 ABC 的内部 【答案】 B 【解析】 位似图形各组对应点所在的直线相交于一点，这一点就是位似中心； 由图可知，三角形 ABC 与三角形 DEF 分别位于直线 AD 的两侧，属于反向位似，所以点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别是三组对应点； 反向位似中，位似中心位于每一组对应点之间，所以它同时在线段 AD、线段 BE、线段 CF 上； 点 A，E，B，D 在同一条直线上且顺序为 A，E，B，D，所以位似中心在线段 EB 上（它落在线段 AD 上，但它不在三角形 ABC 的内部）．选 B． 【解题提示】反向位似的位似中心被「夹」在对应点之间：把对应点按位置排序，取中间那一段． 4．若三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 位似，位似比为 ，则三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 位似图形一定是相似图形，位似比就是相似比，所以三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 的相似比为 ； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为 ．选 C． 【解题提示】面积比是相似比的平方；把 直接当面积比是本题最大的陷阱． 5．在平面直角坐标系中，三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 是位似图形，位似中心为原点 O．若点 A 的坐标为 ，它的对应点 A' 的坐标为 ，则点 B 的对应点 B' 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由点 A 的对应点为 A' 可知，横、纵坐标都扩大到原来的 5 倍，所以三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 的位似比为 ，且对应点在原点 O 的同侧； 所以点 B 的对应点 B' 的坐标为 ，即 ．选 A． 【解题提示】以原点为位似中心时，对应点坐标的比就是位似比；先由一组对应点定出比，再套到其余点上． 6．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C，D，E，F 都是格点，三角形 ABC 与三角形 DEF 是位似图形，则三角形 ABC 与三角形 DEF 的位似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由格点坐标可得 ，； 位似图形的对应边之比等于位似比，且三角形 ABC 比三角形 DEF 小， 所以三角形 ABC 与三角形 DEF 的位似比为 ．选 A． 【解题提示】位似比就是对应边之比；先在网格里读出对应边的长度，再作比． 7．三角形 OAB 与三角形 OCD 是以原点 O 为位似中心的位似图形，点 B 的对应点是点 D．若点 B 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 因为点 B，点 D，所以 ，，； 位似图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比， 而点 A 与点 C 是一组对应点，所以 ．选 D． 【解题提示】对应点到中心的距离之比就是位似比；注意分子、分母要按同一对应顺序书写． 8．三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 O 为位似中心，位似比为 ．若三角形 ABC 中 AB 边上的中线长为 9，则三角形 DEF 中对应边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 位似图形一定是相似图形，所以三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比为 ； 相似三角形中，对应边上的中线之比等于相似比， 所以三角形 DEF 中对应边上的中线长为 ．选 C． 【解题提示】周长比、对应中线比、对应高之比、对应角平分线之比都等于相似比，只有面积比要平方． 9．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 是位似图形，点 O 是位似中心，点 A 是线段 OA' 的中点．若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 A'B'C'D' 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 因为点 A 是线段 OA' 的中点，所以 ，即四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的位似比为 ； 位似图形的面积比等于位似比的平方，所以它们的面积比为 ； 所以四边形 A'B'C'D' 的面积为 ．选 B． 【解题提示】遇到「谁是谁的中点」这类条件，先把它翻译成 ，再平方得到面积比． 10．如图，在三角形 ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，线段 BE 与 CD 相交于点 G．下列结论中错误的是（　　） A．三角形 ADE 与三角形 ABC 是以点 A 为位似中心的位似图形 B． C． D． 【答案】 C 【解析】 因为点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 ，且 ； 由 得 ，，所以三角形 ADE 与三角形 ABC 相似，且三组对应点所在的直线都经过点 A，所以它们是以点 A 为位似中心、位似比为 的位似图形，A 正确； 由三角形 ADE 与三角形 ABC 位似，对应边 ，B 正确； 因为 ，所以三角形 DGE 与三角形 CGB 相似，相似比为 ； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 ，C 错误； 由相似得 ，D 正确．选 C． 【解题提示】先由中位线得到 ，再用 8 字型相似把这个比原样传给 ；唯有面积比要平方，别在这里掉链子． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．三角形 ADE 与三角形 ABC 是以点 A 为位似中心的位似图形，点 D，E 分别在边 AB，AC 上．若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 位似图形一定是相似图形，所以三角形 ADE 与三角形 ABC 相似； 相似三角形的对应角相等，点 E 与点 C 是一组对应点，所以 ． 【解题提示】以公共顶点 A 为位似中心时，点 A 与它自身对应，其余顶点按顺序一一对应． 12．三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，它们的面积比为 ，AC 的对应边为 DF．若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由面积比 得相似比为 ； 所以 ，． 【解题提示】由面积比求线段比要先开方： 开方得 ． 13．在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为 ．以原点 O 为位似中心作位似图形，使原图形与新图形的位似比为 ，则点 A 的对应点 A' 的坐标为 ______． 【答案】 或 【解析】 以原点为位似中心、相似比为 时，点 的对应点坐标为 或 ； 原图形与新图形的位似比为 ，即新图形与原图形的相似比为 ； 所以点 A 的对应点 A' 的坐标为 ，或 ． 【解题提示】题目没有说明对应点在位似中心的同侧还是异侧时，两种情形都要写出来，漏一个就丢分． 14．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 ．以点 C 为位似中心，把三角形 ABC 缩小为原来的 ，得到三角形 DEC（点 A 的对应点为 D），则点 D 的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 位似中心不是原点，先把位似中心「平移到」原点，即看点 A 相对于点 C 的位置：； 位似比为 ，所以对应点相对于点 C 的位置为 ； 再平移回去，得点 D 的坐标为 ． 【解题提示】位似中心不在原点时，口诀是「平移到原点，乘 k，再平移回去」，不能直接把原坐标乘 k． 15．在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C．以原点 O 为位似中心，把三角形 ABC 放大为原来的 倍，得到三角形 A'B'C'，则三角形 A'B'C' 的面积是 ______． 【答案】 【解析】 因为 ，点 C 到 AB 的距离（即 AB 边上的高）为 ， 所以 ； 位似图形的面积比等于位似比的平方，位似比为 ，所以 ． 【解题提示】先算出原三角形的面积，再乘位似比的平方；「平方」这一步最容易漏． 16．如图，三角形 DEF 是三角形 ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ．若三角形 OAB 的面积为 8，则三角形 ODE 的面积为 ______． 【答案】 【解析】 因为三角形 DEF 与三角形 ABC 位似，位似中心为点 O，所以点 A，O，D 在同一条直线上，点 B，O，E 也在同一条直线上； 由 得 ，又 ，所以三角形 ODE 与三角形 OAB 相似，相似比为 ； 所以 ； 所以 ． 【解题提示】位似把「两个图形」的比，转化成以位似中心为公共顶点的「两个三角形」的比，再用面积比等于相似比的平方求值． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）三角形 ABC 与三角形 DEF 是两个对应边分别平行的三角形． (1) 这两个三角形一定是位似图形吗？请说明理由； (2) 若它们各组对应点所在的直线都经过同一点 O，且 ，求它们的位似比． 【答案】 (1) 不一定，理由见解析；(2) 【解析】 (1) 不一定．对应边分别平行只能说明三角形 ABC 与三角形 DEF 相似，而位似图形还必须满足「每组对应点所在的直线都经过同一个点」； 当两个三角形只是对应边平行、而对应点连线不交于同一点时，它们相似但不是位似图形．所以它们不一定是位似图形； (2) 因为各组对应点所在的直线都经过同一点 O，所以三角形 ABC 与三角形 DEF 是位似图形，点 O 是位似中心； 由 得对应点到位似中心的距离之比为 ，所以它们的位似比为 ． 【解题提示】「对应边平行」是位似图形的性质，却不是判定位似的全部条件；判定位似必须抓住「对应点连线共点」． 18．（4 分）三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 O 为位似中心，且 ． (1) 求三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比； (2) 若三角形 ABC 的周长为 10，求三角形 DEF 的周长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由 得相似比为 ； (2) 位似图形的周长比等于相似比，所以三角形 DEF 的周长为 ． 【解题提示】由面积比反求相似比要开方： 开方得 ，顺序也要与题目给出的对应顺序一致． 19．（4 分）如图，三角形 ABC 与三角形 DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ． (1) 求证：； (2) 若三角形 ABC 的面积为 3，求三角形 DEF 的面积． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为三角形 ABC 与三角形 DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，所以点 A，O，D 在同一条直线上，点 B，O，E 在同一条直线上，且 ； 又 ，所以三角形 AOB 与三角形 DOE 相似，所以 ，所以 ； (2) 由 得三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比为 ； 所以 ，即 ． 【解题提示】要证明位似图形的对应边平行，可以借「以位似中心为公共顶点的两个三角形相似」来传递角相等． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C；三角形 DEF 与三角形 ABC 是以原点 O 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且三角形 DEF 与三角形 ABC 的相似比为 ． (1) 写出点 D，E，F 的坐标； (2) 求线段 DE 的长； (3) 若点 Q 是三角形 ABC 内任意一点，点 Q 在三角形 DEF 中的对应点为 Q'，求 的值，并说明点 Q，O，Q' 三点的位置关系． 【答案】 (1) D，E，F；(2) ；(3) ，且点 Q，O，Q' 在同一条直线上 【解析】 (1) 以原点为位似中心、相似比为 时，点 的对应点坐标为 ；因为三角形 DEF 与三角形 ABC 的相似比为 ，且两个三角形在原点 O 的同侧， 所以点 D，E，F； (2) ； (3) 由位似图形的性质，每一组对应点与位似中心在同一条直线上，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比， 所以点 Q，O，Q' 在同一条直线上，且 ． 【解题提示】第 (3) 问不必算出具体坐标：位似的两条性质（对应点与中心共线、距离之比等于位似比）就足以回答． 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C；三角形 DEF 与三角形 ABC 是以点 P 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F． (1) 直接写出点 P 的坐标和三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比； (2) 求三角形 DEF 的面积； (3) 若三角形 ABC 内一点的坐标为 ，求该点在三角形 DEF 中的对应点的坐标． 【答案】 (1) ，相似比为 ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 连结 AD 与 BE，两条直线的交点就是位似中心，由坐标可得点 P； 由 ，，得 ，所以三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比为 ； (2) 三角形 ABC 中，底 ，AB 边上的高为 ，所以 ； 因为相似比为 ，所以 ； (3) 设该点为 M，它在三角形 DEF 中的对应点为 M'．点 M 相对于点 P 的位置为 ，乘相似比 得 ，再加上点 P 的坐标，得 ． 【解题提示】位似中心不是原点时，先把「中心」平移到原点（即看相对位置），乘比之后再平移回去． 22．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 与三角形 DEF 是位似图形，点 A 的对应点是 D，点 B 的对应点是 E，点 C 的对应点是 F． (1) 在图中确定位似中心的位置，并求出它的坐标； (2) 求三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比，并说明这两个三角形位于位似中心的同侧还是异侧． 【答案】 (1) 位似中心为 ；(2) 相似比为 ，两个三角形位于位似中心的异侧 【解析】 (1) 位似图形各组对应点所在的直线相交于一点，这一点就是位似中心．连结 AD，BE 并延长，两条直线的交点即为位似中心，设它为 P； 由格点坐标可得 A，D，所以直线 AD 的解析式为 ； B，E，所以直线 BE 的解析式为 ； 由 解得 ，代入得 ，所以点 P 的坐标为 ； (2) ，， 所以 ，即三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比为 ； 因为点 D 与点 A 分别在点 P 的两侧（点 P 在线段 AD 上），所以这两个三角形位于点 P 的异侧，属于反向位似． 【解题提示】求位似中心就是求两条对应点连线的交点；在坐标系里把它转化为「求两条直线的交点」． 23．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C，点 O 为坐标原点． (1) 将三角形 ABC 向右平移 1 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度，得到三角形 ，画出三角形 ； (2) 以原点 O 为位似中心，在第一象限内把三角形 放大为原来的 2 倍，得到三角形 ，画出三角形 ； (3) 直接写出点 的坐标． 【答案】 (3) 【解析】 (1) 把三角形 ABC 的三个顶点分别向右平移 1 个单位长度、向上平移 1 个单位长度，得 ，，，顺次连结 ，，，即得三角形 ； (2) 以原点为位似中心、相似比为 时，点 的对应点为 ，所以 ，，，顺次连结 ，，，即得三角形 ； (3) 由 (2) 知点 的坐标为 ． 【解题提示】先平移、再位似时，第二步必须以上一步的图形为起点；作图题别忘了保留变换过程的痕迹． 24．（14 分）如图，三角形 DEF 是三角形 ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ，． (1) 求证：； (2) 若 ，，，，求 的长、三角形 DEF 的周长和面积； (3) 若线段 OA 上存在一点，它与点 A，B 组成的三角形与三角形 ABC 相似，求该点到点 O 的距离． 【答案】 (2) ，周长为 ，面积为 ；(3) 该点到点 O 的距离为 或 【解析】 (1) 因为三角形 DEF 是三角形 ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，所以点 A，O，D 在同一条直线上，点 B，O，E 在同一条直线上，且 ； 又 ，所以三角形 AOB 与三角形 DOE 相似，所以 ，所以 ； (2) 由 ， 得三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比为 ； 在直角三角形 ABC 中，，，，所以 ； 所以 ，，； 三角形 DEF 的周长为 ； 三角形 DEF 的面积为 ； (3) 设该点为 M．因为 ，点 M 在线段 OA 上，所以 ，三角形 MAB 与三角形 ABC 都是直角三角形； 三角形 MAB 的两条直角边为 与 ，三角形 ABC 的两条直角边为 与 ，要使两个直角三角形相似，两条直角边必须成比例，有两种情形： ① 当 时，，解得 ，所以 ； ② 当 时，，所以 ； 综上所述，线段 的长为 或 ． 【解题提示】第 (3) 问的关键是「两条直角边成比例」有两种配对方式： 与 、 分别对应，漏掉一种就少一个解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 图形的位似分层卷 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：3.5 图形的位似 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两个相似图形一定是位似图形 B．位似图形一定是相似图形 C．两个位似图形的位似中心一定在图形内部 D．位似图形的对应边一定相等 2．下列关于相似图形与位似图形的说法中，错误的是（　　） A．位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上 B．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比 C．位似图形的周长比等于位似比 D．把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形一定是位似图形 3．如图，三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 A，E，B，D 在同一条直线上，点 C 与点 F 是对应点，则它们的位似中心在（　　） A．线段 AE 上 B．线段 EB 上 C．线段 BD 上 D．三角形 ABC 的内部 4．若三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 位似，位似比为 ，则三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 的面积比为（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 是位似图形，位似中心为原点 O．若点 A 的坐标为 ，它的对应点 A' 的坐标为 ，则点 B 的对应点 B' 的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C，D，E，F 都是格点，三角形 ABC 与三角形 DEF 是位似图形，则三角形 ABC 与三角形 DEF 的位似比为（　　） A． B． C． D． 7．三角形 OAB 与三角形 OCD 是以原点 O 为位似中心的位似图形，点 B 的对应点是点 D．若点 B 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 O 为位似中心，位似比为 ．若三角形 ABC 中 AB 边上的中线长为 9，则三角形 DEF 中对应边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 9．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 是位似图形，点 O 是位似中心，点 A 是线段 OA' 的中点．若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 A'B'C'D' 的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在三角形 ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，线段 BE 与 CD 相交于点 G．下列结论中错误的是（　　） A．三角形 ADE 与三角形 ABC 是以点 A 为位似中心的位似图形 B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．三角形 ADE 与三角形 ABC 是以点 A 为位似中心的位似图形，点 D，E 分别在边 AB，AC 上．若 ，则 ______． 12．三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，它们的面积比为 ，AC 的对应边为 DF．若 ，则 ______． 13．在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为 ．以原点 O 为位似中心作位似图形，使原图形与新图形的位似比为 ，则点 A 的对应点 A' 的坐标为 ______． 14．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 ．以点 C 为位似中心，把三角形 ABC 缩小为原来的 ，得到三角形 DEC（点 A 的对应点为 D），则点 D 的坐标为 ______． 15．在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C．以原点 O 为位似中心，把三角形 ABC 放大为原来的 倍，得到三角形 A'B'C'，则三角形 A'B'C' 的面积是 ______． 16．如图，三角形 DEF 是三角形 ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ．若三角形 OAB 的面积为 8，则三角形 ODE 的面积为 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）三角形 ABC 与三角形 DEF 是两个对应边分别平行的三角形． (1) 这两个三角形一定是位似图形吗？请说明理由； (2) 若它们各组对应点所在的直线都经过同一点 O，且 ，求它们的位似比． 18．（4 分）三角形 ABC 与三角形 DEF 位似，点 O 为位似中心，且 ． (1) 求三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比； (2) 若三角形 ABC 的周长为 10，求三角形 DEF 的周长． 19．（4 分）如图，三角形 ABC 与三角形 DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ． (1) 求证：； (2) 若三角形 ABC 的面积为 3，求三角形 DEF 的面积． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C；三角形 DEF 与三角形 ABC 是以原点 O 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且三角形 DEF 与三角形 ABC 的相似比为 ． (1) 写出点 D，E，F 的坐标； (2) 求线段 DE 的长； (3) 若点 Q 是三角形 ABC 内任意一点，点 Q 在三角形 DEF 中的对应点为 Q'，求 的值，并说明点 Q，O，Q' 三点的位置关系． 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C；三角形 DEF 与三角形 ABC 是以点 P 为位似中心的位似图形，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F． (1) 直接写出点 P 的坐标和三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比； (2) 求三角形 DEF 的面积； (3) 若三角形 ABC 内一点的坐标为 ，求该点在三角形 DEF 中的对应点的坐标． 22．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 与三角形 DEF 是位似图形，点 A 的对应点是 D，点 B 的对应点是 E，点 C 的对应点是 F． (1) 在图中确定位似中心的位置，并求出它的坐标； (2) 求三角形 ABC 与三角形 DEF 的相似比，并说明这两个三角形位于位似中心的同侧还是异侧． 23．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A，B，C，点 O 为坐标原点． (1) 将三角形 ABC 向右平移 1 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度，得到三角形 ，画出三角形 ； (2) 以原点 O 为位似中心，在第一象限内把三角形 放大为原来的 2 倍，得到三角形 ，画出三角形 ； (3) 直接写出点 的坐标． 24．（14 分）如图，三角形 DEF 是三角形 ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，点 A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，且 ，． (1) 求证：； (2) 若 ，，，，求 的长、三角形 DEF 的周长和面积； (3) 若线段 OA 上存在一点，它与点 A，B 组成的三角形与三角形 ABC 相似，求该点到点 O 的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $