精品解析：河南周口市淮阳区2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026~2027学年上学期初中生学情分析与测评（一） 九年级数学（HS） （考试范围：第20~21章） 注意事项： 1．本试卷共2页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的常数项是（ ） A. B. C. D. 3. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（ ） A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 7. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（ ） A. B. C. D. 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．若三角形点阵中前行的点数之和为300，则的值为（ ） A. 25 B. 24 C. 23 D. 22 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较实数的大小： ______．（填入“”、“”或“”） 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 13. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 15. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解． （2）若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 19. 某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 20. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 21. 把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒后足球回到地面？ （2）经过多少秒后球的高度为10米？ （3）足球高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能，请说明理由． 22. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 23. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 （1）种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） （2）若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． （3）若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年上学期初中生学情分析与测评（一） 九年级数学（HS） （考试范围：第20~21章） 注意事项： 1．本试卷共2页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 选项中仅符合要求， 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程的常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵ 最简二次根式与可以合并， ∴ ， 解得， 将代入，得． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； C．，正确； D． ，故不正确． 5. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 6. 化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（ ） A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 7. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 8. 实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定 a，b 与 1的大小关系，利用二次根式性质和绝对值的性质化简，最后利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ∴， ， ∴ ． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10. 已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．若三角形点阵中前行的点数之和为300，则的值为（ ） A. 25 B. 24 C. 23 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】找出前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，即可建立方程求解． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和，前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较实数的大小： ______．（填入“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】比较两个正数的大小，可采用平方法，将两个数分别平方后比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，， 计算得，， ， ， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，判断，的符号后化简所求式子，代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ， ∵，， ∴，， 代入得原式． 14. 设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 15. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义得到两根差为，分情况列方程求解即可． 【详解】解：对因式分解得： ， 或， 解得，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 所以，． 17. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后对因式分解，然后整体代入求值即可； （2）先对因式分解，然后将代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解． （2）若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】（1）， （2），方程的另一个解为 【解析】 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【小问1详解】 解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 19. 某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】（1）在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 （2）预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【解析】 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 20. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【解析】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 21. 把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒后足球回到地面？ （2）经过多少秒后球的高度为10米？ （3）足球高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能，请说明理由． 【答案】（1）4秒 （2）秒或秒 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出时符合题意的的值即可； （2）根据高度为10米列方程，解方程即可； （3）将函数解析式配方成顶点式，由顶点式得出足球高度的最大值即可作出判断． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：（舍去），， 经过4秒后足球回到地面； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：，， 经过秒或秒后球的高度为10米； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ， 由可知，当时，的最大值为20，不能达到21米， 故足球高度不能达到21米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力． 22. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】（1）24 （2）（，n为整数） （3） 证明： （，且n为整数）． 【解析】 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：根据前3个式子，可得： 故a为24． 【小问2详解】 解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． 【小问3详解】 略 23. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 （1）种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） （2）若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． （3）若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 【答案】（1）， （2） 解：符合要求． 理由如下， ， 整理得，， 解得，，． 道路宽度不超过7米，且不小于3米， ，即道路设置的宽度符合要求； （3）20元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出，即可得到答案； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，由题意即可得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：种植园区的长为米，宽为米； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ， 整理得，， 解得，，． 让客户得到实惠， 每平方米草莓的月利润应该下调20元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $