精品解析：河南淮阳第一中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段检测数学试卷

2026-2027学年九年级第一次月考数学试卷 时间：100分钟满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 将化简，结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 6. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 化简：的结果是（　　） A. B. 5 C. D. 10. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：________；_________． 12. 若代数式有意义，则点在平面直角坐标系中的第_______象限． 13. 比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 15. 如果，那么的值为______． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：关于x的方程． （1）若，求该方程的解． （2）若是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 21. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 22. 如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为28米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长； （2）矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ （3）你能求出矩形场地的最大面积吗？若能，求出的长，并写出最大面积． 23. 阅读理解： 材料1．若一元二次方程的两根为，则，． 材料2．已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 解决问题： （1）一元二次方程的两根为，则 ， ； （2）已知实数满足且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的值； （4）已知实数满足且，．则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一次月考数学试卷 时间：100分钟满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项B满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 选项C，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项D，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 4. 将化简，结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． 5. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 6. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 9. 化简：的结果是（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 10. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行分析即可． 【分析】解：要使等式成立， 则，， 解得，， 则． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：________；_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】第一个算式利用二次根式性质化简，注意先判断绝对值内式子的符号，第二个算式先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再移因式入根号化简． 【详解】解：根据二次根式性质，得， ∵，即， ∴； 由二次根式有意义的条件可知， ∴，即， 将移入根号内，得：． 12. 若代数式有意义，则点在平面直角坐标系中的第_______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出关于，的不等式，判断，的符号，再根据平面直角坐标系象限的坐标特征确定点所在的象限． 【详解】解：代数式有意义， 且，解得且与同号， 当时，，分式分母为零，无意义， ， ， 平面直角坐标系中，横坐标小于，纵坐标小于的点位于第三象限， 点位于第三象限． 13. 比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 15. 如果，那么的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：3． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【小问1详解】 解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 19. 已知：关于x的方程． （1）若，求该方程的解． （2）若是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 【解析】 【分析】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【小问1详解】 解：把代入方程得：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； 【小问3详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得，，再由得到，解得，，然后利用（1）中m的取值范围确定m的值． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得m， 所以m的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴m的值为2． 21. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）海水稻的定价为每千克10元或12元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 22. 如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为28米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长； （2）矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ （3）你能求出矩形场地的最大面积吗？若能，求出的长，并写出最大面积． 【答案】（1）的长为10米． （2）面积不能等于280平方米．理由： 令面积为280： 则， 整理得： ，  ， 该一元二次方程无实数根， 因此不存在符合条件的矩形． （3） 能，当长为9米时，最大面积为243平方米． 【解析】 【分析】先根据栅栏总长度、小门宽度和的长度，推导边的长度表达式，同时结合墙的最大可利用长度确定的取值范围． 对于（1），根据矩形面积公式建立关于的一元二次方程，求解方程后结合的取值范围筛选符合条件的解． 对于（2），同样根据面积公式建立方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合条件的实根． 对于（3），将面积表示为关于的二次函数，结合的取值范围，利用二次函数的性质求解最大值． 【小问1详解】 解：∵长为米，场地有3条垂直于墙的边（含分隔栅栏），底部留2个1米宽的小门，栅栏总长度为52米， ∴平行于墙的边的长度为：（米）． 同时墙的最大可利用长度为28米， 因此， 即， 得的取值范围：． ∵面积为240平方米 矩形面积， 令面积为240： 则 ． 整理得： ． 因式分解为， 解得，． ∵， ∴不符合要求，舍去． ∴的长为10米． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：面积表达式为二次函数： ，  二次函数开口向下，对称轴为直线，且在的取值范围内， 因此当时，取得最大值： 此时米， ，符合墙的长度限制，最大面积为243平方米．  23. 阅读理解： 材料1．若一元二次方程的两根为，则，． 材料2．已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 解决问题： （1）一元二次方程的两根为，则 ， ； （2）已知实数满足且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的值； （4）已知实数满足且，．则 ． 【答案】（1）4， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用材料1求解即可； （2）由题意可得是方程的两个不相等的实数根，利用材料1可得，再对所求代数式变形后，整体代入求值即可； （3）由题意可得是方程的两个不相等的实数根，利用材料1可得，再对所求代数式变形后，整体代入求值即可； （4）由题意可得是方程的两个不相等的实数根，利用材料1可得，再对等式变形后得到关于a的方程，求解即可得到a的值，然后运用根的判别式检验即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根为，且， ∴，． 【小问2详解】 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 【小问3详解】 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 【小问4详解】 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得或． 检验： 当时，方程为，由，则方程无实数解，不符合题意； 当时，方程为，由，则方程有两个不相等的实数根，符合题意． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $