四川内江市第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

内江六中2026—2027学年（上）高28届第一次月考 数学试题参考答案及评分建议 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A B A D C A D A BC ACD ACD 8．【详解】取中点，因为为的中点，所以，则四点共面， 所以平面截正方体的截面即为平面，取中点，因为为中点， 所以，同理平面截正方体的截面即为，几何体为三棱台，由对称可知三棱台的体积与的体积相等， 所以正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积， ，所以该正方体处于平面之间部分的体积为. 11．【详解】对于A，因为圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为，设母线长为， 则，所以圆锥的高，故A正确； 对于B，设圆锥的外接球半径为，则， 所以该圆锥不可以整体放入直径为的球内，故B错误； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体底面正方形外接圆半径为，圆锥轴截面如图所示， 根据相似三角形可得，故C正确； 对于D，由C可知正方体的底面的对角线长为2，设圆锥顶点为，因为点到正方体上底面的距离为，而该圆锥的顶点为球心作半径为的球与平面相交所得曲线为圆的部分，圆心为正方形的中心，则截面圆半径， 因为，所以球与正方形的交线为四段圆弧，如图所示四段红色的弧线， 因为，所以，所以，而， 所以每段圆弧的中心角为，四段圆弧和长为，故D正确. 14．【详解】取的中点，连接，由正九边形为轴对称图形，得， 因此； 正九边形每个内角的弧度数为，任意一个内角的外角为，， ， 因此 ，所以. 15．(1)，；(2) 【详解】（1）由题意， 3分 因为 ，所以. 6分 （2）由 ， 8分 所以，解得. 11分 由 . 综上，当时，向量与的夹角为锐角. 13分 16．(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：， 2分 即，在中，，所以， 5分 因为，所以； 7分 （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 9分 即，得， 12分 所以的面积． 15分 17．(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 又，所以平面， 3分 平面，故，又因为，， 平面，平面，故平面． 7分 （2）取的中点M，连接，因为，为中点，所以 9分 由（1）知平面，平面，所以， 11分 ，所以平面，所以就是与平面所成角， 13分 ，所以，CD与平面ABD所成角的正弦值为． 15分 18．(1)证明见详解；(2)；(3) 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 3分 又因为平面，平面平面 ，所以． 5分 （2）因为，平面，底面是正方形，， 依题意可得， 所以， 其中， ， 因为，所以，， 即，解得． 11分 （3）作，与BC交于点R，连接RQ，如图． 因为，所以，又，所以， 所以，因为底面是正方形，所以. 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，则，所以， 则，，且， 所以， 当时，取得最大值为． 17分 19．(1)①；②；(2)直角三角形， 【详解】（1）①因为，即，即， 2分 两边平方得：，即，又， 得，解得； 4分 ②由，得，又， 所以，可得：，， 在中，分别由正弦定理得： ， 7分 两式相比得：，即， 即，即， 化简得，又，所以； 10分 （2）直角三角形 12分 由，可得，由余弦定理可得：， 又，由余弦定理得：，两式联立可得：， 平方得：，又， 得，即， 即，即， 又，所以，即， 所以，所以， 故是直角三角形. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $内江六中2026一2027学年（上）高28届第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若复数z=1-(为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于() A,第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=45°，a=3,c=√2，则b=() A.2 B.V5 C.17 D.V21 3.已知单位向量a,b满足a1(a+2b),则a与b夹角的余弦值为() A.- B.0 C. D.9 4.若一组数据x1,X2,…,x的方差为2，则数据3x1-2,3x2-2,…,3xn-2的方差为（) A.2 B.4 C.6 D.18 5.己知m,n是两条不重合的直线，，B是两个不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若m/a,nca,则m/n B.若m1n,m1a,则n/a C.若a//B,mc,则m//B D.若a1B,m1B,则m/a 6.已知平面向量d=(5,0),b=(2,-1),则向量a+b在向量上的投影向量为() A.(6,-3) B.(4,-2) C.(2,-1) D.(5,0) 7.如图，在△ABC中，D是AB的中点，C尼=CD,设A丽=，A正=石，则AC=() A.i-6B.是i-6 c.-a+6 D.-a+6 D M B E D B 第7题图 第8题图 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，己知M,N分别是棱C1D1,AA1的中点，平面a经过BA1 和M,平面B经过CD,和N,则该正方体处于平面α，B之间部分的体积为() A.9 B.4 c.号 D.103 3 内江六中高二年级数学试卷，第1页（共4页) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打 分（满分100分），得到如图所示的统计图，则() ↑分数 90 87 A.甲得分的极差大于乙得分的极差 86 85 8181 、82 84 B.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 80 .83. 82 80 81 C.甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 79 75-- D.甲得分的方差大于乙得分的方差 0 123456评委编号 一一甲 10.己知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,ω>0，Ipl<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有() A A.9=9 B.fx)的图象关于直线x=-对称 C.不等式f)≥1的解集为x|km-是≤x≤kr+,k∈Z 3 5元 D.f()的图象向左平移2个单位长度得到函数y=2cos2x的图象 6 11.己知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图的面积为4V3π，正方体ABCD-A1B1C1D,在该圆锥内，其中 A1,B1,C1,D1在圆锥的侧面上，A,B,C,D在圆锥的底面上，则下列说法正确的有() A.该圆锥的高为2V2 B.该圆锥可以整体放入直径为√17的球内 C.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为V2 D.以该圆锥的项点为球心作半径为的球，则球面与正方体的底面A1B,CD,相交所得曲线的长度之 和为3 第Ⅱ卷非选择题（满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z=(1+i)·(2-),则zl=」 13.己知sin(g+a)=号则sin(信-2a)的值为 14.富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或 不等关系，从而达到解决问题的目的.如图，在边长为2的正九边形ABCDEFGHI中，AE·A的值为 由向量关系A正=AB+BC+CD+DE,可得A正·A=(AB+BC+CD+D)·Ai,进而得 c0s号+cosg+cos号+cos号的值为 G 内江六中高二年级数学试卷，第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.(13分) 己知向量与的夹角为5，=2，=1. (1)求a·b和a+的值： (2)若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB+bc0sA=2cc0sA. (1)求A的大小： (2)若a=7,b+c=13,求△ABC的面积. 17.(15分)（用向量法书写不给分） 如图，在三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=2,AB⊥BC,平面ACDI平面ABC,AC⊥CD. (I)证明：AB⊥平面BCD; (2)求CD与平面ABD所成角的正弦值. 内江六中高二年级数学试卷，第3页（共4页） 18.(17分)（用向量法书写不给分） 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SAI平面ABCD,AC与BD交于点O. (I)设平面SAB交平面SCD于直线L,求证：AB/L; (2)若AB=2,SA=V2AB,且M是棱SD的中点，点M到平面SAB,平面SBC,平面ABCD的距离分别为 d1,d2,d3.求V2d1+V3d2+2d3的值： ③)者B,Q分别是线段SB、线段AC上的点，且清足器=2。设PQ与5C所成的角为a,PQ与BD所 成的角为B,求sina+sinB的最大值. S 19.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠BAC= (1)当点D满足CD=2DB时. ①若AD=1,c=2b,求b: ②若LB+LDAC=求B. (2)当BA·BC=V3ab时，判断△ABC的形状并证明. 内江六中高二年级数学试卷，第4页（共4页）