广东佛山市顺德区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市顺德区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在实数，0，，503，π，0.101中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】无理数；算术平方根．版权所有 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：是分数，属于有理数； 0，503是整数，属于有理数； 0.101是有限小数，属于有理数； 无理数有：，π，共2个． 故选：A． 【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 2．（3分）下列各组数据为勾股数的是（　　） A．，， B． C．5，12，13 D．2，3，4 【考点】勾股数．版权所有 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、（）2+（）2，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意； B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意； C、122+52＝132，能构成直角三角形，故符合题意； D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数进行判断． 3．（3分）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（　　） A．3楼5号 B．北偏西40° C．解放路30号 D．东经120°，北纬30° 【考点】坐标确定位置．版权所有 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、3楼5号，物体的位置明确，故本选项错误； B、北偏西40°，无法确定物体的具体位置，故本选项正确； C、解放路30号，物体的位置明确，故本选项错误； D、东经120°，北纬30°，物体的位置明确，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 4．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，﹣2），则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标．版权所有 【分析】根据各象限内点的坐标特征即可得出答案． 【解答】解：∵点P的坐标为（5，﹣2）， ∴点P在第四象限． 故选：D． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 5．（3分）一个直角三角形，两直角边长分别为6和8，下列说法正确的是（　　） A．斜边长为36 B．三角形的周长为64 C．斜边上的高为4.8 D．三角形面积为48 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】由勾股定理求出斜边长为10，即可求出三角形的周长，由面积法求出斜边上的高，再由三角形面积公式即可求出面积，进行比较即可． 【解答】解：∵两直角边长分别为6和8， ∴斜边长为10， ∴三角形的周长为：6+8+10＝24， 斜边上的高为：4.8， 三角形面积为：6×8＝24， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B．2 C．4 D．4 【考点】二次根式的混合运算．版权所有 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、23，故A不符合题意； B、2与﹣2不能合并，故B不符合题意； C、4，故C符合题意； D、2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（3分）估算的值应在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【考点】估算无理数的大小．版权所有 【分析】根据无理数的估算方法估算即可得解． 【解答】解：∵9＜14＜16， ∴，即， ∴即， ∴的值在5到6之间， 故选：D． 【点评】本题考查了无理数的估算，正确得出是解此题的关键， 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】由图可知正方形ADEC的面积为AC2；正方形BCFG的面积为BC2；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，从而得到答案． 【解答】解：如图所示，正方形ADEC的面积为AC2；正方形BCFG的面积为BC2； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2， ∵AB＝13， ∴AC2+BC2＝132＝169，即正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为169， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，熟记勾股定理，数形结合表示正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是解决问题的关键． 9．（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示中福海商店的点的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣1，﹣2） 【考点】坐标确定位置．版权所有 【分析】根据弘义阁的点的坐标和本仁殿的点的坐标，建立平面直角坐标系，进而得出中福海商店的点的坐标． 【解答】解：根据题意可建立如下坐标系： 由坐标系可知，表示中福海商店的点的坐标是（﹣4，﹣3）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD，AC，则AE的长为（　　） A． B．5 C．6 D．4 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】由CD、AE是Rt△ABC中线，得BE＝CEBC，AB＝2BD，由勾股定理得（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2＝BC2，即可求得BD＝2，则AB＝4，进而求得BC6，BE＝3，则AE5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CD、AE是Rt△ABC中线， ∴BE＝CEBC，BD＝ADAB， ∴AB＝2BD， ∵∠B＝90°， ∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2＝BC2， ∵CD，AC， ∴（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2， ∴BD＝2，AB＝4， ∴BC6，BE＝3， ∴AE5， ∴AE的长为5， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、勾股定理等知识，将AB的长用BD表示，再根据勾股定理列方程是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）实数的平方根是 　　 ． 【考点】平方根．版权所有 【分析】根据平方根的定义即可得到结果． 【解答】解：∵（）2． ∴实数的平方根是 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 12．（3分）点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab的值为 　﹣6　 ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出a、b的值，然后将a、b代入即可求出答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴ab＝﹣3×2＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 13．（3分）若使代数式有意义，则x的取值范围是 x≤2　 ． 【考点】二次根式有意义的条件．版权所有 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故答案为：x≤2． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14．（3分）如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 　10　 ． 【考点】平面展开﹣最短路径问题．版权所有 【分析】画出正方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ10． 答：蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，6），点P为射线OA上一动点，点O关于直线PC的对称点为点B，当△ABP为直角三角形时，OP的长为 　3或6　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣对称；勾股定理．版权所有 【分析】根据轴对称性质可得：△CBP≌△COP，由△ABP为直角三角形，可分类讨论：∠ABP＝90°或∠APB＝90°或∠PAB＝90°，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【解答】解：设P（m，0）， ∵点O关于直线PC的对称点为B， ∴△CBP≌△COP ∴CB＝CO＝6，∠CBP＝∠COP＝90°，∠CPB＝∠CPO，PB＝PO＝m， ∴AP＝8﹣m， 当△ABP为直角三角形时，∠ABP＝90°或∠APB＝90°或∠PAB＝90°， ①若∠ABP＝90°，如图1， ∵∠ABP+∠CBP＝180°， ∴A、B、C三点共线， ∵AC10， ∴AB＝AC﹣CB＝10﹣6＝4， ∵AB2+PB2＝AP2，即42+m2＝（8﹣m）2， 解得：m＝3， ∴OP＝3； ②若∠APB＝90°，如图2， ∵∠OPB＝180°﹣∠APB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CPB＝∠CPO＝45°， ∴△CPB、△CPO为等腰直角三角形， ∴OP＝OC＝6； ③若∠PAB＝90°，则CB≥OA＝8，与CB＝OC＝6矛盾，故不存在； ∴OP长为3或6． 故答案为：3或6． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形性质，分类讨论数学思想等；分类讨论数学思想应用是解答本题的关键． 三、解答题（一）（共3题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16．（6分）计算：． 【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．版权所有 【分析】化简各个二次根式，再合并同类二次根式，利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 17．（7分）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′点． （1）那么O′点对应的数是 　π　 ； （2）从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【考点】实数与数轴；实数大小比较．版权所有 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离＝圆的周长，即可解答； （2）根据2，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：O′点对应的数是π， 故答案为：π； （2）因为， 所以， 即， 所以． 【点评】本题考查了实数与数轴，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（8分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长． 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】直接利用已知设AE＝BF＝x寸，则AC＝（x+2）寸，进而结合勾股定理得出答案． 【解答】解：设AE＝BF＝x寸，则AC＝（x+2）寸， ∵AE2+CE2＝AC2， ∴x2+102＝（x+2）2， 解得：x＝24， 则AB＝24+24+4＝52（寸）， 答：AB的长为52寸． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19．（9分）已知：3a+1的立方根是﹣2，b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【考点】估算无理数的大小；平方根．版权所有 【分析】（1）根据立方根的定义，算术平方根，估算即可求出的a，b，c的值； （2）把a，b，c代入计算即可． 【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2 ∴3a+1＝（﹣2）3，则a＝﹣3， ∵b﹣1的算术平方根是3， ∴b﹣1＝32，则b＝10， ∵，即 ∴的整数部分c＝6， ∴a＝﹣3，b＝10，c＝6； （2）由（1）得a＝﹣3，b＝10，c＝6， ∴， ∴的平方根为． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 20．（9分）如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0）， （1）求这个四边形的面积． （2）在x轴上有一点P使得△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等，求点P坐标． 【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．版权所有 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设P（x，0），利用三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G． 所以SABCD＝S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD3×6（6+8）×112×8＝94； （2）设P（x，0）， ∵△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等， ∴|x﹣16|×8＝94， 解得x1，x2， ∴P（，0）或（，0）． 【点评】本题考查的是三角形的面积，坐标与图形性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解题的关键． 21．（9分）综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD，以及点D到旗杆AB的距离BD． 测量数据 测量项目 数值 图1中BC的长度 2米 图2中FD的长度 1米 图2中BD的长度 9.6米 （1）根据以上测量结果，请求学校旗杆AB的高度； （2）若BC＝a，FD＝b，BD≡c请用关于a，b，c的代数式表示学校旗杆AB的高度． 【考点】勾股定理的应用；列代数式．版权所有 【分析】（1）设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF为（x+2）米，由题意可知BE＝FD＝1米，BD＝FE＝9.6米，AE＝AB﹣BE＝（x﹣1）米，然后在Rt△AEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）由题可知AF＝x+a，AE＝x﹣b，EF＝BD＝c，在Rt△AEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF＝AB+BC＝（x+2）米， 由题意得：BE＝FD＝1米，FE＝9.6米，AE＝AB﹣BE＝（x﹣1）米， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+EF2＝AF2， 即（x﹣1）2+9.62＝（x+2）2， 解得：x＝14.86， 答：旗杆AB的高度为14.86米； （2）设旗杆AB的高度为x， 由题意得：AF＝AB+BC＝x+a，AE＝AB﹣BE＝AB﹣FD＝x﹣b，EF＝BD＝c， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+EF2＝AF2， 即（x﹣b）2+c2＝（x+a）2， 解得：， 即旗杆AB的高度为． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及列代数式，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）综合运用： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接运用： ①请直接写出图1中△ABC的面积为 　　 ； ②请在图2中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形； （2）若△MNP的边长分别为，且m≠n），试运用构图法在图3中画出相应的△MNP，并用m，n表示△MNP的面积； （3）拓展应用：求代数式的最小值． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）①分割法求出三角形的面积即可； ②根据题意作出图形即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积． （3）根据题意画出图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）①△ABC的面积＝9×9， 故答案为：； ②如图所示，△DEF为所求； （2）如图：由勾股定理得，△MNP即为所求； △MNP的面积； ＝12mn﹣2mn﹣2mn﹣3mn＝5mn； （3）构造图形如下： 依题意，得AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x， ∴AP+BP（0≤x≤4）， ∴AP+BP的最小值为AB的长， ∵AE＝AC+CE＝1+2＝3，BE＝CD＝4， ∴由勾股定理，得， ∴代数式的最小值是5． 【点评】本题是三角形的综合题，考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称，掌握构图方法，勾股定理及割补法求面积是解题的关键． 23．（14分）综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），B（b，0），C（0，c），P点为y轴上一动点，且． （1）直接写出b，c，AB的值：b＝ 　6　 ，c＝ 　4　 ，AB＝ 　2　 ； （2）当点P在线段OC上运动时，是否存在一个点P使S△PAB＝9，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P在y轴上运动，是否存在△PAB为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】三角形综合_存在型_特殊三角形．版权所有 【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质求出b＝6，c＝4，则B（6，0），C（0，4），得OB＝6，过点A作AD⊥OB于点D，再由A（4，4），得AC⊥y轴，OD＝AD＝4，然后由勾股定理求出AB的长即可； （2）设P点的坐标为（0，y），根据S△PAB＝S四边形OBAC﹣S△PAC﹣S△POB列出方程，解方程即可； （3）分三种情况，①当∠PAB＝90°时，证明△PCA≌△BDA（ASA），得PC＝BD＝OB﹣OD＝2，即可解决问题；②当∠ABP＝90°时，根据勾股定理求出OP的长即可；③当∠APB＝90°时，不符合题意；即可得出结论． 【解答】解：（1）∵， ∵|b﹣6|≥0，0， ∴b﹣6＝0，c﹣4＝0， ∴b＝6，c＝4， ∴B（6，0），C（0，4）， ∴OB＝6， 如图1，过点A作AD⊥OB于点D， ∵A（4，4）， ∴AC⊥y轴，OD＝AD＝4， ∴BD＝OB﹣OD＝2， ∴AB2， 故答案为：6，4，2； （2）存在一个点P使S△PAB＝9，理由如下： 设P点的坐标为（0，y）， 由（1）可知，B（6，0），C（0，4）， ∴S△PAB＝S四边形OBAC﹣S△PAC﹣S△POB， 即， 解得：y＝3， ∴P（0，3）， 综上所述，存在一个点P使S△PAB＝9，P点的坐标为（0，3）； （3）点P在y轴上运动，存在△PAB为直角三角形，理由如下： ①如图2，当∠PAB＝90°时，过点A作AD⊥OB于点D， 由（1）可知，∠PAD+∠PAC＝∠PAD+∠BAD＝90°， ∴∠PAC＝∠BAD， ∵AC＝AD，∠PCA＝∠BDA＝90°， ∴△PCA≌△BDA（ASA）， ∴PC＝BD＝OB﹣OD＝2， ∴OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2， ∴点P的坐标为（0，2）； ②如图3，当∠ABP＝90°时， 设OP＝a， 由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝42+（a+4）2，AB2＝42+22＝20， BP2＝OP2+OB2＝a2+62， ∵∠ABP＝90°， ∴BP2+AB2＝AP2， 即a2+62+20＝42+（a+4）2， 解得：a＝3， ∴P的坐标为（0，﹣3）， ③当∠APB＝90°时，不符合题意； 综上所述，点P在y轴上运动，存在△PAB为直角三角形，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣3）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形性质、直角三角形的性质、绝对值和算术平方根的非负性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/15 20:08:02；用户：李腾飞；邮箱：18675708799；学号：23721054 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $