精品解析：辽宁沈阳市第八十三中学2026-2027学年高一上学期10月学科诊断数学试题

高一数学学科诊断 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（8个小题，每题5分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可. 【详解】因为恒成立，所以命题p是假命题； p的否定是：，使. 故选：D. 3. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于集合，分k是偶数和是奇数分别来研究可得答案. 【详解】集合， 当是偶数时，令，， 有， 当是奇数时，令，， 有， ， ，， 故A，B，D错误，C正确. 故选：C. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 7. 已知集合，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 解不等式，因式分解得，解得，故； 解分式不等式，等价于，解得，故； ， 选项A：，结论正确； 选项B：，结论正确； 选项C：，结论正确； 选项D：由选项C的计算结果可知，结论错误. 8. 下列不等式中成立的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【详解】①若，若，则，不成立，故①错误； ②若，则，即，故②正确； ③由，可得，又，则得，故③正确； ④若，则，则，即，故④错误. 综上，成立的是②③. 二、多项选择题（3个小题，每题6分） 9. 给出下列说法，其中不正确的是（    ） A. 集合用列举法表示为 B. 实数集可以表示为为所有实数}或 C. 方程组的解组成的集合为 D. 集合与是同一个集合 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：命题，则的否定为：，故C选项为假命题 对于选项D：若，则，故D选项为假命题． 故选：AB. 11. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 三、填空题（3个小题，每题5分） 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，集合，故分两种情况讨论： 若，则，此时集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，解得或， 当时，集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，集合，符合题意. 综上，. 13. 设，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式的解集是，且关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式解集得出，再由一元二次不等式解集为空集，利用判别式建立不等式得解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以的两根为，且， 所以，解得， 不等式，即的解集是， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题 15. 集合，. （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【小问1详解】 若，，. 则，. 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以. 所以. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【小问1详解】 因为 ， 故  无解，解集为 . 【小问2详解】 原不等式化为 ，即 ， 即， 解得, 故原不等式的解集为 【小问3详解】 不等式等价于下列不等式组的并集： 或或， 解不等式组，得，即； 解不等式组，得，得； 解不等式组，得，得 综上，不等式的解集为. 17. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【小问1详解】 若p为真，在恒成立，即， 时，，故； 【小问2详解】 若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 18. （1）已知集合，．若，求实数m的取值范围． （2）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【详解】（1）由，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，若，则需满足： ，解得. 综上，的取值范围为. （2）设方程的两根为， 若方程有两个不等异号实根，且正根绝对值大于负根绝对值，则， 即，解得. 所以的取值范围为. 19. 设函数． （1）若，求的解集； （2）解关于的不等式：． （3）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【小问3详解】 由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科诊断 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（8个小题，每题5分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 3. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列不等式中成立的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 二、多项选择题（3个小题，每题6分） 9. 给出下列说法，其中不正确的是（    ） A. 集合用列举法表示为 B. 实数集可以表示为为所有实数}或 C. 方程组的解组成的集合为 D. 集合与是同一个集合 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 11. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 三、填空题（3个小题，每题5分） 12. 已知集合，，则______. 13. 设，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______. 14. 已知关于的不等式的解集是，且关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 集合，. （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 17. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 18. （1）已知集合，．若，求实数m的取值范围． （2）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数m的取值范围． 19. 设函数． （1）若，求的解集； （2）解关于的不等式：． （3）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $