精品解析：甘肃金昌市永昌县第一高级中学2026-2027学年高二上学期学业质量检测数学试卷（一）

永昌县第一高级中学2026-2027-1学业质量检测（一） 高二数学 一、单选题（每题5分；共40分） 1. 已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据分母2,3,4,5,6，可知分母为， 观察数列各项，符号为正负交替，可表示为， 分子为，是项数的平方，即， 则数列的通项公式可以为. 2. 若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用倾斜角与斜率间的关系及过两点的斜率公式，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又因为直线经过两点和，因此，解得， 故选：B． 3. 等比数列中，，，则与的等比中项为（ ） A. 12 B. C. D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 4. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 6. 等差数列中，若，为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以，则， 所以. 故选：A. 7. 已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质及充分条件和必要条件的定义可得结果. 【详解】由题意知，为等比数列， 当时，得，所以，故充分性成立； 当时，，解得， 又同号，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ） A. 561 B. 595 C. 630 D. 666 【答案】D 【解析】 【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律得出结果. 【详解】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个， 据此规律，第三十六层有小球个. 故选：D 二、多选题（每题6分；共18分三个答案（每个全对6分，选对2个4分，选对1个2分，有错选不得分），两个答案（每个全对6分，选对1个得3分，有错选不得分）） 9. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据及，代入计算即可求出，进而判断选项. 【详解】因为， 所以当时， ； 当时， . 当时，不符合上式，故， 故选：AD 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据截距是否为零进行分类讨论，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，直线的方程为，即. 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 故选：ABD. 11. 等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 当且仅当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到，再结合得到，即可判断A选项；根据和得到，的最大值为，即可判断BC选项；根据和等差中项的性质得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，又，所以，故A错； 因为，所以数列为递减数列，又，所以，，的最大值为，故BC正确； ，故D错. 故选：BC. 三、填空题（每题5分；共15分） 12. 等比数列中，则首项=___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为，所以. 13. 中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设每一秒钟的路程为等差数列，由首项和公差写出前项和公式，由列方程求出的值． 【详解】设每一秒钟的路程为数列， 由题意知为等差数列，首项为，公差为， 由前项和公式为，又， 解得． 故答案为：． 14. 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分；共77分） 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 【答案】（1） （2）；最大值为 【解析】 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【小问1详解】 设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 ，， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 16. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出基本量即得； （2）利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式即得． 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ∵， ∴，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 因为， ∴数列的前项和 . 17. 已知直线． （1）求证：直线l恒过一个定点； （2）当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 【答案】（1） 由，得，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点； （2） 【解析】 【分析】（1）变形可得，根据点斜式方程可得定点； （2）由已知得不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 因为当时，直线上的点都在轴上方，需满足即，解得， 所以实数的取值范围是 18. 已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. （1）求数列、的通项公式； （2）设，，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意得 又，解得 所以，． 【小问2详解】 设， 所以，① ，② 得： ． 即数列的前n项和． 19. 已知等差数列的前项和为，现给出下列三个条件：①；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，设数列的前项和为，求证：. 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分. 【答案】（1）若选①②，①③，②③，均有 （2） 由，且， 当时，则， ， 又也满足，故对任意的，有. 则， 所以， 由于是单调递增，所以. 综上，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，先将条件①条件②条件③化简，再分选①②，选①③，选②③求解； （2）由，且，利用累加法求得，进而得到，然后利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，由条件①得， ，即. 由条件②得，，即. 由条件③得，，可得，即. 若选①②，则解得所以； 若选①③，则解得则； 若选②③，则解得则； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2026-2027-1学业质量检测（一） 高二数学 一、单选题（每题5分；共40分） 1. 已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A. B. C. D. 2. 若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，，，则与的等比中项为（ ） A. 12 B. C. D. 30 4. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 6. 等差数列中，若，为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ） A. 561 B. 595 C. 630 D. 666 二、多选题（每题6分；共18分三个答案（每个全对6分，选对2个4分，选对1个2分，有错选不得分），两个答案（每个全对6分，选对1个得3分，有错选不得分）） 9. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 当且仅当时， 三、填空题（每题5分；共15分） 12. 等比数列中，则首项=___________． 13. 中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为______. 14. 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分；共77分） 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 16. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 已知直线． （1）求证：直线l恒过一个定点； （2）当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 18. 已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. （1）求数列、的通项公式； （2）设，，求数列的前n项和. 19. 已知等差数列的前项和为，现给出下列三个条件：①；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，设数列的前项和为，求证：. 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $