甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

永昌县第一高级中学2025-2026-1第二次月考·高二数学 参考答案、解析及评分细则 1.A由题可知中点的坐标为(1,1).故选A. 2.C由题知a2=1-1=1, =2,a=11三1，a=112,1=2,…,所以3是数列1a的-个周 期，所以aw=a=ag=之故选C 3.A双曲线的渐近线方程为y=士√13x.故选A. 4.C若l1∥l2,则a(2a+1)=a(a+2),解得a=0或a=1,当a=0时，直线l1:x+1=0与直线l2:2x+2=0重 合，不合题意；当a=1时，直线l1:3.x十y十1=0与直线l2:3x+y+2=0平行，符合题意.综上所述：所以a= 1.故选C. 20,+2221=4 5.B设首项为a1,公差为d,由题意得S2=4,S4=20,则 4a1+44,Dd=20, 解得a1=2d=3,可得S,=6 2 ×号+66卫×3=48，放B正确.故选B, 2 6.C圆C2的方程等价于(x一a)2+(y十a-2)2=2a2,所以圆C2是以(a,2-a)为圆心，一√2a为半径的圆，圆 C是以(1,1)为圆心，W2为半径的圆，所以圆C1,圆C2的圆心距为√(a-1)+(a-1)=√2(1-a),圆C1, 圆C2半径之和为W2+(一√2a)=√2(1一a),即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，所以圆C1,圆C2有3 条公切线.故选C. 7.A由题意，抛物线C:y2=12x的焦点为F(3,0),准线方程为x=一3，因为点P在抛物 y↑x-y+4=0 线C:y2=12x上，所以d=PF,所以d1十d2=PF十d2.联立方程组 ,空0得4红+16=0则△=C4X6=一48<0.所以直线F4里 0与抛物线C:y2=12x无公共点，如图所示，PF+d2的最小值即为点F(3,0)到直线 -y十4=0的距离，所以最小值为B01-7,即d十d的坡小值为.故 √2 选A. 8.B由题意知圆O与l交于B,C两点，且B(-2√2，一1)，C(22,一1)，当直线x-y十m=0过点B(一2√2， 一1)时，得m=一1+2√2，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2+(y十2)2=9，当x一y十m =0与劣弧BC相切时，有m十2=3，所以m=32-2,其中m=-3反-2舍去，结合图形可知，当-1十 √2 2√2<m<3√2-2时，直线x-y十m=0与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意.故选B, .D由题意有专+从=1Dm=2,所以椭圆方程为写+号=1，所以a=2E.b=反c=后-不=万，所以 6 椭圆的长轴长为20=42：故A精误离心率为e冷号故B正确：又因为令十令81，放C正 确：设B()F(-6.0),所以BF=V+V6)+可=√+6)+2-子= 4 2√/+46 3 ,又一2√2≤x≤2√2，所以2W2一√6≤BF1≤2√2十√6，故D正确.故选BCD. 3 10.BD对于A选项，圆C的圆心为C(1,2),半径为r=3,当m=0时，直线1的方程为y=1,则圆心C到直线 l的距离为d=1,此时，l被圆C截得的弦长为2r2一d产=2√9一1=4√2，A错；对于B选项，将直线l的 x-2=0, 可化为m2)+0-)=0,由-y=0,解得1因此，1恒过点(2,1，B对对于C选 【高二月考（二）·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH2511144B 被圆C截得的弦长最大时，直线l过圆心C,则m一2+1一2m=一m一1=0，解得m=一1，此时，直线l的方 程为-x一y十3=0，即y=一x十3，即直线1的斜率为-1，C错：对于D选项，记点A(2,1)则c=已 一1，当AC⊥l时，且直线l的斜率为m,此时m·k4c=一m=一1，即当m=1时，圆心C到直线l距离取最 大值，l被圆C截得的弦长取最小值，且因为AC=√(1一2)十(2-1)=√2，弦长的最小值为 2√r-AC=2√9-2=27，D对.故选BD. 1.AD对于A,由题意得开口向右的抛物线方程为C:y2=2x,焦点为F(2,0),将其逆时针旋转90后得到 的抛物线开口向上，焦点为F,(0,),则其方程为x=2y,故A选项正确；对于B,由 y2=2,得x=0或x x2=2y, =2,即xA=2,所以yA=2,由对称性得A(2,2),B(2,一2)，所以AB=4,故B不正确； y=一x十得 对于C,如图，设直线x十y=1与第一象限花瓣分别交于点M,N,由y=2r, 1-V2+1由-2得v21-B 所以M(t十1-√2+I, yw=√2t+1-1, yN=t+1-√2t+1, √21+I-1),N(√2+I-1,t+1-√2t+1),所以MN|=√2(t+2-2√2t+I)= √2|t十2一2√2t+1|,由图知直线x十y=t经过点A时t取最大值4，经过点O时t取 最小值0，即在第一象限部分满足0<1<4，设u=V2中，则1<a<3,故=“2，代入得MN- “2+?-2-号1(u-2-11<<3),当u=2时，MN取得最大值号，故C 不正确；对于D,根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，所以可以先求部分面积的 近似值，如图，在y=r(≥0)取一点P,使过点P的切线与直线OA平行，由y-r 1可得切点坐标为P(1,2),因为l:x-y=0,所以点P到直线OA的距离d= 2=2 24 所以S。=号×V2十7×华=子，由图知半个花瓣的面积必大于分，所以阴影区域的面积大于8×号 4,故D正确.故选AD. 12.±6由圆Cx2+y=3,则圆心C(0,0),半径r=3,由题意可得=√3，解得a=±√6. √2 13. 3 ,设直线y=√3x十1的倾斜角为a,可得tana=√5，因为0°≤a<180°，所以a=60°，又因为直线1的倾斜 角是直线y=3x十1的倾斜角的一半，所以直线1的倾斜角0=号=30°，所以直线l的斜率为飞=tan日 -3 3 14.4.5在数列{bn}中，a1后面插人2°个x,a2后面插入2个x,…,a后面插入2-1个x,那么到a+1为止， 新数列{bn}的项数为k十1十2°十21十…十2-1.由等比数列前n项和公式可得2°+21十…+2-1 1X12)=2-1,所以到a4+为止，新数列{b.}的项数为为+2.当=10时.k+2=10+2°=1034；当k 1-2 =11时，k+2=11十21=2059，因为10342027<2059，所以a11在新数列{bn}的前2027项中，a12不在. 新数列{，}的前2027项中，41十a2十…十a0十a1=1X)+11山=66.在新数列(h,的前2027项中x的 2 个数为2027-11=2016个，所以66十2016.x=9138,解得x=4.5. 15.解：(1)由题意得圆C的标准方程为：(x一3)2十(y一2)2=4， 2分 所以圆心坐标为(3,2)，………………………………3分 市直线的点斜式方程可得直线1的方程为y一2=1am平(x一3)， 【高二月考（二）·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH2511144B 即x+y-5=0. 6分 (2)圆心(3,2)到直线y=x十1的距离为d=3-2十1=2， 9分 √2 所以弦AB的长为2√22-（√2）了=22. 13分 16.解：(1)因为直线l:2√6x十5y-10√6=0过点(5,0)和(0,2√6)，…2分 所以b=2√6且c=5,则a=仍2十c2=7,…5分 所以所求椭圆的方程为衫十1，……………………………7分 (2)如图，若点P在椭圆C上，根据椭圆的定义，可得PF1十|PF2|=2a=14.…9分 因为PF1一PF2=2,所以PF1=8,PF2=6,…11分 又因为c=5,所以|F1F2|=2c=10,则|PF1|2+PF2|2=|F1F2|2,即△PF1F2是直角三角形且∠F1PF2 =90°…13分 所以△PF1F2的外接圆圆心为O(0,0),半径r=c=5, 14分 所以△PFF2外接圆方程为x2十y2=25.. 15分 17.解：(1)a1=1,a2=3a1+3=6, ……1分 a3=3a2十32=18+9=27.… ……………………………………… 3分 (2)a+1=3a,十3”，0+=3a,十3”≥a+= 3"+ 30+7 3+T 3分Y 3 即g+-a=1 3+33 5分 又号-日∴数列份}是等差数列，且该数列首项为号-}，公差为行 6分 学 1十(n-1)X1三” ……………………………………… 3 3=30=30-1. 8分 (3)Sm=1×3°+2×31+3×32+…+n×3"-1①， .3Sn=1X31+2×32+3×33+…+(n-1)X3m-1+n×3"②，… 10分 ①-②得-2S.=1X3°+1×3+1×32++1X31-n×3"=1X(13)-nX3"=1-2)3”-1 1-3 2 13分 S。=(2m-1)3+1 …15分 4 18.解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=1+（n一1)d,bn=g”1, 由a1=b1=a2-b2=aa-b3=1, (1+d-91,>d=g=2(d=g=0舍去)，… 可得1+2d-g=1 2分 所以an=2n-1,bn=2m-1.… 4分 (2)由1)知a,=2m-1,可得c=,2 2 1 6分 anan+l (2n-1)(2n+1)2n-12n+1' 则Q-(1-)+(合号)+（后-号）++（一2十）=1- 1 2n 2n+12n+1' 所以数列6}的前n项和Q,= 9分 (3)由5≤T+1以≥0，则a…<号+1=2 即入≤衫对任意的∈N恒成立，…… 10分 【高二月考（二）·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH2511144B 当n=1时， 2心 11分 当n≥2时，设数列{ 在第口项取科鼓小值。 2”-1 则 2”2+1 解得2+1≤n≤√2十2，… 13分 n7≤(n+1)2 而n∈N,则n=3,此时号取得最小值 y……………………………………………………………… 15分 由于8<2，即A≤8，则实数入的最大值为8 17分 19.解：1)由题意可得e=后=c=反，故6=V一a=√2= …3分 (2)当6=2时，双曲线E的方程为x2-一兰-1， 由题意可知，直线的方程为y=tx十2， 可得(4rx红z-8=0, 当4一t=0时，即当t=士2时，方程(*)即为tx十2=0，该方程只有一个解，合乎题意；…6分 当4一t2≠0时，即当t≠士2时，则△=16t2一4×(4一t2)×(一8)=16(8一t2)=0,解得t=士2√2.…8分 综上所述，t=士2或士2万.…9分 (3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),当直线1的斜率为0时，此时A1R·A2户=0，不合题意， 则直线的斜率不为0，…………………10分 则设直线l的方程为x=my一2，设点P(x1y),Q(x2,y), 根据OQ延长线交双曲线E于点R,根据双曲线对称性知R(一x2,一y2), x=my-2, 联立 :-若-13wm-10y-46my+36=0. 显然二次项系数bm2-1≠0，其中△=(-4mb2)2-4(b2m2-1)3b2=4bm2+12b2>0, 3b2 韦达定理可得y十y2=20①，y1y2=2②，…12 A1R=(-x2十1，-y2),A2P=(-1,M), 则A1京.AP=(-x2十1)(x1-1)-y1%=1,…13分 因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线1上，则x1=my1一2，x2=my2一2， 即-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1,即yy2(m2+1)-(y1+y2)3m+10=0, 将①@代入有(m+1D·一8m·6一10=0， 3b2 即362(m2+1)-3m·4b2m十10(bm2-1)=0,化简得b2m2+362-10=0,…14分 所以m=是-3，代人到6m2-1≠0，得=10-38≠1.所以≠8，…15分 目m三93≥0，解得≤0…16分 又因为6>0则0<≤号， 综上6∈03U3,号]∈(05U(5, …………………………17分 3 【高二月考（二）·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH2511144B永昌县第一高级中学2025-2026-1第二次月考 高二数学 考生注意： 国 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册。 露 圜 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 如 1.在平面直角坐标系xOy中，设点A(3,一2)，B(一1,4)，则线段AB的中点坐标为 A.(1,1) B.(-2,3) C.(2,2) D.(2,-3) 2.已知数列{a,}满足a1=2,a1=1- ,则a26= an A.-1 n c D.2 3.双白线号一茶-1的新近线方程为 A.y=±√/13x C.y=±13x D.y=±3 13 4.已知直线1：(2a+1)x十ay+1=0,l2:(a十2)x+ay+2=0,若l1∥l2,则a的值为 A.0或1 B.0 C.1 D.不存在 Q如 5.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,S4=20,则S6= A.28 B.48 C.64 D.84 6.圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2与圆C2:x2-2a.x十y2+2(a-2)y=4a-4(a<0)的公切线条 数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知点P是抛物线C:y=12x上的一点，设点P到直线x=一3和x一y+4=0的距离分别为 d1,d2,则d1十d2的最小值为 A吗 B C.3+22 D.4√2 8.已知圆O:x2十y=9,直线1：y=一1，将圆O在1下方的部分沿着1向上 翻折，如图，若直线x一y十m=0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则 m的值可以是 B.2 C.2 D.3 【高二月考（二）·数学第1页（共4页）】 ZH2511144B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 圆C:装十1的左石焦点分别为F,F,点A,B均在C上，其中点A仁 A.椭圆C的长轴长为2√2 B.椭圆C的离心率为 C点(-1，)在椭圆C内 D.BF的最大值为22+√ 10.已知圆C:(x一1)2+(y一2)2=9，直线1：m.x-y+1一2m=0,则下列说法正确的是 A.当m=0时，l被圆C截得的弦长为22 B.1恒过点(2,1) C.当1被圆C截得的弦长最大时，l的斜率为1 D.1被圆C截得的弦长的最小值为2√7 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分 的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺 术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C: y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与 C围成的（如图阴影区域），A,B为C与其中两条曲线的交点，若=1，则 A开口向上的抛物线的方程为y= B.AB=2 C直线x十)=1截第一象限花瓣的弦长最大值为 D.阴影区域的面积大于4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12.若直线l:x一y十a=0与圆C:x2十y2=3相切，则实数a= 13.已知直线1的倾斜角为直线y=√3x十1的倾斜角的一半，则直线1的斜率为 14.已知数列{an}的通项公式为an=,在项a和a+1之间插入2-1个x,形成一个新数列{bn}, 若{bm}的前2027项的和为9138，则x= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知圆C的方程为x2十y2-6x-4y十9=0. (1)若直线1经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线1的方程： (2)若直线y=x+1与圆C交于A,B两点，求弦AB的长， 【高二月考（二）·数学第2页（共4页）】 ZH2511144B 16.(15分) 已知直线l:2√6x+5y一10√6=0同时过椭圆C的右焦点和上顶点， (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在椭圆C上，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点，且PF一PF2=2,求 △PFF2外接圆的方程. 17.(15分) 已知数列{an}满足a1=1,且am+1=3am十3”(n∈N*). (1)求a2,a3的值； (2)求证：数列学是等差数列，并求出数列口，)的通项公式： (3)求数列{an}的前n项和Sn 【高二月考（二）·数学第3页（共4页）】 ZH2511144B 18.(17分) 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=a2一b2=a3一b3=1,其中{an}与{bn}的前n 项和为Sn和Tm. (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)若，=2，求数列{G的前n项和Q.: anan+l (3)当λ>0时，若λSn≤Tm十1对任意的n∈N*恒成立，求实数入的最大值. 如 19.(17分) 已知双曲线E:-若=1(6>0)的左、右顶点分别为AA,过点M(-2.0)的直线1交双曲 线E于P,Q两点 (1)若离心率e=√2，求b的值； (2)若b=2,过点N(0,2)且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点，求t的值； (3)连接OQ并延长交双曲线E于点R,若A1R·AP=1,求b的取值范围 【高二月考（二）·数学第4页（共4页）】 ZH2511144B