精品解析：河南省部分校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “所有正数都有平方根”的否定为（ ） A. 所有正数都没有平方根 B. 所有非正数都没有平方根 C. 至少有一个正数没有平方根 D. 至少有一个非正数没有平方根 【答案】C 【解析】 【详解】“所有正数都有平方根”的否定为“至少有一个正数没有平方根”． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则，可得，即. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件， 但，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“，”是“”的充分不必要条件. 4. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，其定义域为，值域为． 对于A，由的值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故A错误； 对于B，由，即与对应法则不同，所以其与不是同一个函数，故B错误； 对于C，由值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，值域为，所以其与是同一个函数，故D正确． 5. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出集合，再求其子集个数即可. 【详解】因， 则当时，则或；当时，. 即集合， 故其子集个数为. 6. 学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动．已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】设参加“非遗手工体验”的同学构成集合，参加“校园植物观察”的同学构成集合，参加“传统诗词诵读”的同学构成集合， 则集合的元素个数分别为，且集合的元素个数为， 可得韦恩图，如图所示： 由题意可得，则， 且，则， 即，解得， 所以同时参加了三项活动的人数为4. 7. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，分和两种情况即可求解. 【详解】由，得，解得，所以. 当时，得，解得； 当时，由，得，解得； 综上所述：的取值范围为. 8. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法分析各选项即可. 【详解】，， 对于A：，所以，故A正确； 对于B：， ，所以方程有2解，故不恒成立，故B错误； 对于C：，所以，故C正确； 对于D：，所以，故D正确. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 【答案】AC 【解析】 【详解】任意两个整数作加法、减法、乘法运算结果仍然为整数，故整数集是封闭集， 故A正确； 集合是由所有奇数构成的集合， 由于任意两个奇数的和为偶数，所以集合不是封闭集，故B错误； 若是封闭集，则取集合中任意一个元素使其与自身作减法即得， 故中一定含有元素0，故C正确； 取，， 由于集合，都是封闭集，但是对加法、减法、乘法均不封闭，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，，，得中的两个元素分别为和. 当时，，此时，不符合集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上所述，. 13. 若函数的定义域为，则的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 即的定义域为. 14. 已知正数a，b满足，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得. 由得，所以. 所以. 又因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可； （2）解绝对值不等式求得全集，利用补集的意义求得，进而利用并集的意义求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以. 【小问2详解】 由，得，解得， 所以， 又，，所以，， 所以. 16. 已知函数且． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）求的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题基于分段函数的定义域分段规则，先通过复合函数求值求解参数，再分类讨论求解中的取值，最后分别计算两段函数的值域取并集得到的值域. 【小问1详解】 因为，代入对应的解析式得. 由于，将代入对应的解析式得. 由题设，列方程，解得. 【小问2详解】 由（1）得分两类讨论： ① 当时，，解得，即或. 结合的约束，舍去，得； ② 当时，，解得，不满足的约束，舍去. 综上，. 【小问3详解】 分别求解两段函数的值域后取并集： ① 当时，，由平方的非负性得，故， 即该段值域为； ② 当时，为单调递减一次函数，当时， 故，即该段值域为. 因此的值域为两段值域的并集，即. 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 【答案】（1）当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． （2）当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 【解析】 【分析】（1）设图案的长为、宽为，由面积得，将海报周长表示为的函数，利用基本不等式求最小值及取等条件； （2）将海报面积表示为、、的表达式，代入后转化为关于的函数，再用基本不等式求最小值及取等条件. 【小问1详解】 设矩形图案的长为，宽为，则，画报的宽为，长为． 画报的周长（单位：cm）， 当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． 【小问2详解】 画报的面积（单位：） ，当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 18. 已知函数． （1）当时，设的图象与轴交于，两点，求的值； （2）若，，求的取值范围； （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【小问1详解】 当时，将代入函数的表达式，得：，因为的图象与轴交于两点，所以是方程的两个实数根， 由韦达定理可得：，计算所求表达式可求得； 【小问2详解】 当时，，是一次函数，其值不可能恒大于等于0，故不合题意，舍去. 当时，为二次函数，要使对一切恒成立，必须满足开口向上且判别式，即，解得； 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 ， 题意等价于使得， 因为，因此，从而， 令 ， 令，则，则， 再令，则，函数转化为关于的二次函数， 易得， 因此，的最小值为，故的取值范围是. 19. 已知实数，，，满足，在平面直角坐标系中，若点，满足则称为的“变换序”． （1）设点，若是的“变换序”，求点的坐标． （2）设集合，． （ⅰ）若存在点，，使得为的“变换序”，证明：． （ⅱ）设集合为的“变换序”，且，其中a，b，c，d，均大于0，且．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设点，， 根据变换序定义得，消去，得， 因为存在实数满足上述方程，， 即得证. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题干的定义进行求解即可； （2）（ⅰ）根据题意得到，再利用一元二次方程有实根即可证明； （ⅱ）先推导集合的表达式，联立方程得到，再利用韦达定理表示，最后设即可求出. 【小问1详解】 点，是的“变换序”，根据题干得， 故点的坐标为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），，根据变换定义得， 消去得，即是直线， 又，联立，得，其中是该方程的两个正实根， ，因为a，b，c，d，均大于0，， ， 又，设，则， ，，则， 又，解得，， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “所有正数都有平方根”的否定为（ ） A. 所有正数都没有平方根 B. 所有非正数都没有平方根 C. 至少有一个正数没有平方根 D. 至少有一个非正数没有平方根 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动．已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则______． 13. 若函数的定义域为，则的定义域为______． 14. 已知正数a，b满足，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求． 16. 已知函数且． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）求的值域． 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 18. 已知函数． （1）当时，设的图象与轴交于，两点，求的值； （2）若，，求的取值范围； （3）若，，求的取值范围． 19. 已知实数，，，满足，在平面直角坐标系中，若点，满足则称为的“变换序”． （1）设点，若是的“变换序”，求点的坐标． （2）设集合，． （ⅰ）若存在点，，使得为的“变换序”，证明：． （ⅱ）设集合为的“变换序”，且，其中a，b，c，d，均大于0，且．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $