精品解析：福建三明市尤溪县第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 2. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的对角线判定，结合正方形的性质逐项判断即可，注意矩形需以平行四边形为前提，据此可直接判断D项错误． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意； C、正方形的对角线互相垂直平分，说法正确，不符合题意； D、∵等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形， ∴仅对角线相等的四边形不能判定为矩形，即D说法不正确，符合题意． 3. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正八边形的性质可得，再根据邻补角的定义、等腰三角形的内角和可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，重叠部分是正八边形， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正八边形的性质、等腰三角形的内角和问题等知识点，熟练掌握正八边形的性质是解题关键． 4. 已知是关于x的一元二次方程的根，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵已知是关于x的一元二次方程的根， ∴且， 解得. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 则 ∴， 故选：B． 6. 据国家统计局发布的《年国民经济和社会发展统计公报》显示，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，根据题意得，． 故选：C． 7. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握四边形的判定方法是解题的关键．根据题意画出图形，依次逐一判断是否正确即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项A错误，不符合题意； B、如图， 同选项A可得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故选项B错误，不符合题意； C、如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项C错误，不符合题意； D、如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，根据菱形的性质得出，，再得出是等边三角形，，得出是的中位线，求出，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． 又∵E是的中点，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵四边形是菱形， ∴，是的中位线， ∴， ∴，． ∴​． 故选：C． 9. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交的延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知菱形中对角线、相交于点O，若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出另一条对角线的长度． 【详解】解：如图： 四边形是菱形，边长为， 对角线与互相垂直平分，， 即，且，， 一条对角线长为6，不妨先设，则， 在中，， 由勾股定理得， ， 若已知的是的长，同理可计算得， 即另一条对角线长仍为， 因此另一条对角线长为． 12. 方程的二次项系数为3，一次项系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数为3，一次项系数为． 故答案为：． 13. 方程化为一般形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程左边展开，移项后合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可得到结果． 【详解】解： 展开方程左边得： 合并左边同类项得： 将所有项移到方程左边得： 合并同类项得： 即原方程的一般形式为． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为___________．     【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，根据矩形的性质可求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：2． 15. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程得 ， 即． ∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得 ． ∴． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，总分86分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 移项，得， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ，，， ， ， ； 【小问4详解】 ． ， ． 即． 18. 已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， ，F分别是边、的中点， ，， ， ， ∴． 【解析】 【分析】先证明，，，再进一步证明即可． 【详解】略． 19. 如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2）30° 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴， ∵， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求m的值． 【答案】（1）证明：由题意得，， ， ， ∵ ∴ 无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）把代入方程求解参数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是原方程的根 21. 某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为8元，原售价定为每件20元时，每天可销售50件．根据销售经验，每件售价每降低1元，日销售量可增加10件． （1）若将该商品每件售价定为17元，每天可销售多少件？ （2）商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，该商品每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）每天可销售80件 （2）每件售价应定为14元 【解析】 【分析】（1）先求出降价了多少，然后可求销售量增加了多少，即可求解； （2）设每件降价x元，则单件利润元，日销量件，再由利润公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：降价：（元） 销量：（件） 答：每天可销售80件． 【小问2详解】 解：设每件降价x元，则单件利润元，日销量件． 整理得： 解得． 要销售量尽可能大，取． 售价：（元） 答：每件售价应定为14元． 22. 如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：点F是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理求解，然后求解菱形的对角线长，再由菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ∴ ， 四边形的面积为． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小是不发生变化，； 理由：作于点M，作于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ③ （2）； 理由：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， 由旋转知：， ∴， 作交AB于点E，交于点G，如图 则四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明，即可得出结论；②作于点M，作于点N， 推出，进而求证，得出，即可得出结论；③作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，通过证明，四边形是矩形，得出，，再根据，得出，最后根据，即可得出． （2）先证明，作交AB于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，，推出是等边三角形，同理与都是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①略 ②略 ③； 作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形是性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 对角线相等的四边形是矩形 3. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于x的一元二次方程的根，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 据国家统计局发布的《年国民经济和社会发展统计公报》显示，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 8. 如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 9. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知菱形中对角线、相交于点O，若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______． 12. 方程的二次项系数为3，一次项系数为__________． 13. 方程化为一般形式为_________． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为___________．     15. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为________． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共9小题，总分86分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 19. 如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求m的值． 21. 某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为8元，原售价定为每件20元时，每天可销售50件．根据销售经验，每件售价每降低1元，日销售量可增加10件． （1）若将该商品每件售价定为17元，每天可销售多少件？ （2）商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，该商品每件售价应定为多少元？ 22. 如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $