精品解析：福建省三明市尤溪第一中学洋中分校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025——2026学年九年级（上）阶段测试一数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 5. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 9. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定 10. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是____________． 12. 如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为________． 13. 政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 15. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=9，AB=15．点E为射线DC上的一个动点，将沿着AE折叠，当为直角三角形时，DE的长为_______． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 解方程： 20. 解方程：． 21. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 22. 如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为，已知床单的长是，宽是，求花边的宽度． 23. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 24. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为，，请利用这种方法解方程：． 25. 如图，已知正方形是线段上的一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年九年级（上）阶段测试一数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是2是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； 矩形是轴对称图形，是中心对称图形； 菱形是轴对称图形，是中心对称图形； 正方形是轴对称图形，是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ∴， 故选：A． 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出k的值． 【详解】解：根据题意，直接把代入，则 ， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 5. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 6. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 9. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可以求得方程的根，再根据三角形三边的关系可以求得这个三角形的周长． 【详解】∵， ∴（x-3）（x-4）=0， 解得，x1=3，x2=4， ∵等腰三角形的底和腰是方程的两个根， ∴当4为底边时，则腰为3，因为3+3=6＞4，此时三角形的周长是：3+3+4=10， 当3为底边时，则腰为4，此时三角形的周长是：3+4+4=11， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法、三角形三边关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确解方程的方法，利用分类讨论的数学思想解答． 10. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：设与交于点E，连接． 在与中，， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤，将原方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 12. 如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】标注字母，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°， ∠1+∠2=180°-90°=90°， ∵BE⊥AE， ∴∠2+∠3=180°-90°=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， ∴AE=DF=1， 在Rt△ABE中， ， 即正方形的边长为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用三角形全等，把长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键． 13. 政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意得到方程即可． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 15. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 根据方程有两个不相等的实数根可知，据此代入数值进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=9，AB=15．点E为射线DC上的一个动点，将沿着AE折叠，当为直角三角形时，DE的长为_______． 【答案】3或27 【解析】 【分析】由题意，可分两种情况：点E在DC线段上、点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨即可得出答案． 【详解】解：如图1，点D翻折到D′位置， 由折叠得△AD'E≌△ADE， ∴∠AD'E=∠D=90°，AD′=AD=BC， ∵∠AD'B=90°， ∴B、D′、E三点共线， 又∵∠C=90°，∠ABC=90°，∠AD′B=90°， ∴∠CEB+∠CBE=90°，又∠D′BA +∠CBE=90°， ∴∠CEB=∠D′BA， 又∵AD′=BC，∴△ABD′≌△BEC(AAS)，∴BE=AB=15， ∵BD'=， ∴DE=D'E=15−12=3； 如图2，点D翻折到D′′位置， ∵∠D"=∠ABC=90°， ∴∠ABD''+∠EBC=∠ABD''+∠BAD''=90°， ∴∠EBC=∠BAD''， 在△ABD''和△BEC中， ∠D′′=∠BCE，AD′′=BC，∠BAD′′=∠EBC， ∴△ABD''≌△BEC(ASA)， ∴BE=AB=15， CE=， ∴DE=CD+CE=15+12=27． 综上所知，DE=3或27． 故答案为3或27． 【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、矩形的性质，在分类讨论的基础上灵活运用有关性质或定理是解题关键． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开方法，先移项，再直接开方即可． 【详解】解：， ， ， ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：因式分解，得 ． 于是得 ，或， ． 19. 解方程： 【答案】x=−3,x=−6 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】2(x+3)=x(x+3)， 2(x+3)−x(x+3)=0， (x+3)(2x+6−x)=0， x+3=0，x+6=0， x=−3,x=−6. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键. 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 21. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为，已知床单的长是，宽是，求花边的宽度． 【答案】花边的宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，首先设花边的宽度为，然后求出剩余部分的长和宽，然后根据面积的计算公式列出方程，从而求出方程的解得出花边的宽度． 【详解】解：设花边的宽度为， 依题意得：， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 答：花边的宽度为． 23. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：是的角平分线， ， ∵ABCD， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 24. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为，，请利用这种方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握题目中的换元法是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解关于的方程，再求解即可． 【详解】解：， 设，则原方程可化为， ， 或， 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 原方程的解为，． 25. 如图，已知正方形是线段上的一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ． 在和中， ， ． （2） 是等腰三角形． 理由：由（1）可知，． ，，． ，， ， 是等腰三角形． （3）7 【解析】 【分析】（1）只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题； （2）只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题； （3）利用等腰三角形性质，中位线，勾股定理即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意可知，点在线段上，连接，如图． ，，， ，， 为的中点．为的中点， 为的中位线，． 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $