1.1《锐角三角函数》 第3课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第1课 锐角三角函数 新版北师大数学九年级下册 第3课时 特殊角的三角函数 学习目标 1.通过对一副三角尺的观察、赋值与推理,经历30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程,理解特殊角三角函数值的几何意义,准确识记三个特殊角的正弦、余弦、正切值. 2.通过代数式化简与混合运算练习,掌握含特殊角的三角函数式的运算规则,能规范完成特殊角三角函数的求值计算. 3.通过解决秋千摆高、测高类实际生活问题,经历将现实场景抽象为直角三角形数学模型的过程,体会特殊角三角函数的应用价值,发展数学建模与几何直观能力. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 在上一个课时的最后,我们解决了右图关联的问题,实际上同学们只要善于观察就会发现：这对三角形你们很熟悉,你在哪里见过呢？ 一副标准的数学三角尺中，一共有几个锐角？它们分别是多少度？ 一副三角尺包含2个直角三角形,一共有4个锐角;度数分别是30°、60°、45°、45° 问题构建 问题1:上节课我们学习了锐角三角函数的定义，请你结合直角三角形，用自己的话描述一个锐角的正弦、余弦、正切分别对应哪两条边的比值？ 追问:既然30°、45°、60°是生活和数学中最常见的锐角,那对于一个确定度数的锐角,它的三角函数值是固定不变的吗？为什么？ 是固定不变的.只要角度确定,所有含这个角的直角三角形都相似,对应边的比值就固定,因此三角函数值只和角度大小有关,和三角形大小无关. 问题构建 问题2:我们先研究30°角.要计算三角函数的边长比值,三角尺没有给出具体边长,你有什么方法可以简化计算？说说你的思考思路. 可以特殊值法,设定最短直角边为1，再根据 “直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到斜边长度，最后用勾股定理算出第三条边的长度，就能直接计算比值了. 在Rt△ABC中,AC=1，∠B=30° ∴AB=2 由勾股定理得：BC=== ∴ = 问题构建 问题3:如果我们把最短边的长度赋值为2、或者赋值为a（a>0）,计算出来的30°角三角函数值会发生变化吗？这验证了我们之前的什么结论？ 不会发生变化.这验证了“锐角的三角函数值只与角度大小有关,与直角三角形的边长大小无关”的结论,本质是相似三角形对应边成比例的性质. 问题构建 问题4:类比30°角的推导方法,请你独立推导60°角的三个三角函数值,推导完成后思考:它和30°的函数值之间有什么联系？ 在Rt△ABC中,AC=1，∠B=30° ∴AB=2 由勾股定理得：BC=== ∴ = 问题构建 问题5:类比刚才的方法研究45°角.请你借助等腰直角三角尺，自主设定边长,推导45°角的三个三角函数值. 在Rt△ABC中,AC=1，∠B=45° ∴BC=1 由勾股定理得：AB=== ∴= =1 追问: 相等的原因是什么？ 因为45°+45°=90°，所以它们正弦值和余弦值相等. 问题构建 问题6:请你将三个特殊角的三角函数值整理填入下表,填完后从横向、纵向多个角度观察数据,你能总结出哪些数学规律？ ∠α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° ①增减规律:角度从30°增大到60°时,正弦值、正切值逐渐增大,余弦值逐渐减小； ②互余规律:若两个锐角互余,则一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，即sinα=cos(90°−α)； ③商数规律:对同一个锐角, 协作破冰 问题7:掌握了特殊角的三角函数值,我们就可以进行相关的代数运算.请你计算sin30°+cos45°,并说一说这类运算的基本步骤是什么. ①代入对应三角函数值 ②进行二次根式的加减运算，最后化简结果 sin30°+cos45 解：原式= 追问1:实数运算中除了加减乘除运算之外，还有乘方和开方的运算，在三角函数中有怎样的书写方式和运算法则？ sin²60°表示(sin60°)²,即sin60°与自身相乘 对sin60°先计算再开方. 协作破冰 计算：sin²60°+cos²60°−tan45° 解:原式= = =0 追问2:通过刚才的计算,我们发现sin²60°+cos²60°=1.换成30°、45° 这个结论还成立吗？由此你能提出什么更一般的猜想？你能结合三角函数定义证明这个猜想吗？ 换成30°、45°计算后结论依然成立； 猜想:对于任意一个锐角α,都有sin²α+cos²α=1； 证明:在直角三角形中,设α的对边为a,邻边为b,斜边为c， 则sinα=a/c,cosα=b/c.sin²α + cos²α = (a²+b²)/c²， 由勾股定理a²+b²=c²,因此sin²α + cos²α = c²/c²=1. 教师示范 例4 如图1-12,一个小孩正在荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千前后摆动时,摆过的角度∠BOD恰好为60°,且前后摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01m） 问题8:这个问题里,最低位置、最高位置分别对应哪个点？所求的高度差是哪条线段的长度？ 秋千摆到最低位置对应点A,摆到最高位置对应点B（或D）;所求的高度差是线段AC的长度,即链子竖直长度OA减去水平方向对应的竖直高度OC 追问:要求出AC的长度,我们需要先计算哪条线段的长度？如何利用今天学习的知识求解？ 需要先求出OC的长度.在Rt△OCD中,借助三角函数计算. 教师示范 解:由题意得:∠AOD=1/2×60°=30°,OD=OA=2.5m； 在Rt△OCD中,OC=OD・cos30°=2.5×≈2.5×0.866≈2.165m； 高度差AC=OA−OC=2.5−2.165≈0.34m 答:最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 变式训练:如果秋千链子长度不变,前后摆动的总角度变为90°,此时的高度差会变成多少？请你独立完成计算. 解:∠AOD=1/2×90°=45°;OC=2.5×cos45° =2.5×≈2.5×0.707≈1.768m； AC=2.5−1.768≈0.73m 答:总角度为90°时,高度差约为0.73m. 巩固拓展 问题9:今天我们研究的都是30°、45°、60°这些特殊角,如果给你一个15°的角,你能借助今天学到的方法,构造图形求出sin15°的近似值吗？说说你的设计思路. 请大家观察右侧的图形，我们借助一幅三角板构造了15°的角，请你结合图形说说15°是怎样构造出来的？ 借助构造出来的图形，我们打算在哪个直角三角形中计算15°的三角函数值？需要计算哪些数据？ 设AC=CD=1，沿着图形继续运算，尝试写出你的计算结果. 巩固拓展 在Rt△ADE中，AD=， sin15°= cos15°= tan15°= 根据互余角度的数量关系，不画图，你能得出哪个角的三角函数值，请你直接写出答案，并解释理由. 75°的三个三角函数值. 当堂检测 2.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D D 当堂检测 3.求下列各式的值： （1）1－2sin30°cos30° （2）3tan30－tan45°+2sin60° (1)1－2 sin30°cos30° (2)3tan30°－tan45°+2sin60° 解： 当堂检测 4.如图,一段长1500m的水渠,它的横截面为梯形ABCD,其中AB∥CD,BC=AD,渠深AE=0.8m,底AB=1.2m,坡角为45 °,那么该段水渠最多能蓄水多少立方米? D E F C A B 45° 解: 如图,由题意可知,BF⊥CD,AE⊥CD. ∴ BF=AE=0.8m. 由AB∥CD可知∠C=45 °,则FC=FB=0.8m. ∴ CD=DE+EF+FC=0.8×2+1.2=2.8m. ∴ S梯形ABCD=(2.8+1.2)×0.8÷2=1.6m2. ∴ V=1.6×1500=2400m3. 反思总结 1.本节课我们从一副普通的三角尺出发,推导出了三个特殊角的三角函数值.整个探究过程用到了哪些数学思想方法？请你结合具体环节举例说明. 2.在解决秋千、测高这类实际问题时,我们完成“生活场景→数学问题”转化的关键是什么？请你总结出这类实际问题的通用解题步骤. 3.特殊角的三角函数值有很多记忆方法,你本节课总结出了哪些理解性记忆的技巧？请你分享至少2种,并说说为什么“理解推导过程”比“死记硬背数值”更重要? 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第7页 第1，2题 二、素养类作业 主动尝试推导三角尺组成的15°和75°的三角函数值. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $