1.2《解直角三角形》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第2课 解直角三角形 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.梳理直角三角形边角关系的六类元素,归纳出能够求解三角形的两类必备条件,区分“已知两边”与“已知一边一角”的基本题型. 2.运用三类边角关系式完成规范计算,针对V形槽测量、梯子安全角度测算等生活场景,完成从实际情境到直角三角形模型的抽象与求解. 3.对比不同解题路径的运算效率,内化“有斜用弦、无斜用切、宁乘勿除”的策略原则,体悟数形结合与转化思想在优化算法中的作用. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 同学们,这个三角形共有6个元素（3条边、3个角）.如果我想把剩下的未知元素全部求出来,是不是必须得知道其中5个才行呢？ 类似的问题你在过去的学习中是否有研究的经验,是在哪个知识点上形成的经验？ 在探索三角形全等和相似条件中有类似的学经验,先从一个条件开始探究. 问题构建 问题1:如果只知道这个直角,能确定这个三角形的形状和大小吗？为什么？ 不能.只知道一个直角,三条边的长度可以任意缩放,两个锐角的大小也可以变化,三角形的形状和大小都无法唯一确定. 追问1:要想把这个直角三角形完全确定下来,也就是能求出所有未知的边和角,你觉得至少还需要知道几个元素？猜猜可能有哪些有效的组合？ 至少还需要知道2个元素,而且其中至少要有一条边.有效的组合主要有两大类： ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角. 已知两个锐角的条件只能确定三角函数值,不能确定边长,两个三角形是相似关系. 问题构建 探究一：已知两边，解直角三角形 例1 在△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c,且a=，b=，求这个三角形的其他元素. 问题2:要求这个三角形的其他元素,我们第一步通常先求什么？用什么知识？ 第一步先求斜边c,用勾股定理. 计算过程:c=== == 追问1:求出斜边后,我们接着求锐角的度数.要求∠B的度数,你可以选择哪些三角函数来计算？请写出计算过程. 问题构建 可以用正弦、余弦、正切三种方式. 方法一（正弦）:sinB==因此∠B=30° 方法二（正切）:tanB==,因此∠B=30° 方法三（余弦）:cosB==,因此∠B=30° 追问2:求出∠B之后,求∠A最简便的方法是什么？这用到了直角三角形的什么性质？ 最简便的方法是利用“直角三角形两锐角互余”计算:∠A=90°−∠B=90°−30°=60°.用到了直角三角形两个锐角之和为90°的性质,比再用一次三角函数计算更简便. 问题构建 追问3:如果已知的两边不是两条直角边,而是一条直角边和斜边,比如已知a=19,c=19,∠C=90°,请你写出求解其余元素的完整过程. ①求另一条直角边b: 由勾股定理,=19 ②求锐角∠A：sinA=,因此∠A=45°；③求锐角∠B:∠B=90°−∠A=90°−45°=45°. 追问4:请你总结一下,已知两边解直角三角形的通用解题步骤是什么？ ①先用勾股定理求出第三条边； ②再选用合适的三角函数,求出其中一个锐角； ③最后利用两锐角互余,求出另一个锐角. 问题构建 探究二：已知一边一角，解直角三角形 例2 在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且 b=30,∠B=25°,求这个三角形的其他元素（边长精确到1） 问题3:第一步我们能直接求出哪个元素？怎么求？ 第一步可以直接求出另一个锐角∠A.利用两锐角互余:∠A=90°−∠B =90°−25°=65°. 追问1:如果接下来求斜边c.已知∠B和它的对边b,要求斜边c,你会选择哪个三角函数？为什么？ 选择正弦函数 因为正弦的定义是“对边比斜边”,sinB=,正好包含已知的对边b、角B和未知的斜边c 变形得代入计算: ≈≈71 问题构建 追问2:要求另一条直角边a,你有几种计算方法？ 有两种方法： 方法一:用正切函数,tanB=因此≈64； 方法二:用勾股定理, 追问3:以上两种方法你更推荐哪一种？说明理由. 更推荐方法一.因为它直接使用题目给出的原始已知条件计算,避免使用中间算出的c,能减少误差累积,也能避免前一步算错导致后续全错. 追问4:如果已知的是斜边和一个锐角,比如c=20,∠A=60°,∠C=90°,请你写出求解两条直角边的过程. 协作破冰 ①先求∠B:∠B=90°−∠A=90°−60° =30° ②求∠A的对边a:sinA=因此 ③求∠A的邻边b:cosA=因此b 追问5:请你总结一下,已知一边一角解直角三角形的通用解题步骤是什么？ ①先用两锐角互余,求出另一个锐角； ②再选用合适的三角函数,求出第二条边； ③最后用三角函数或勾股定理,求出第三条边. 协作破冰 问题4:数学上,我们把“由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程”叫做解直角三角形.请你思考:解直角三角形的过程中，我们用到了哪三类核心关系式？ ①三边关系:勾股定理a²+b²=c²； ②角角关系:两锐角互余∠A+∠B=90°; ③边角关系:锐角三角函数sinA=,cosA=,tanA= 追问:解直角三角形时,选择三角函数有什么实用技巧？怎样做能让计算更简便、结果更准确？ ①有斜用弦,无斜用切 ②宁乘勿除:尽量选择乘法形式的关系式,减少除法运算带来的误差和计算难度； ③优选原始数据:尽量用题目给出的已知条件直接计算,少用中间计算结果,降低误差累积. 教师示范 课本P16页第3题：如图,工件上有一V形槽（AC=BC）,测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V形角（∠ACB）的度数（结果精确到1°） 探究三：解直角三角形的应用 问题5:这个问题里没有现成的直角三角形,我们该怎么处理？ 可以作辅助线构造直角三角形. 过点C作CD⊥AB于点D， 因为AC=BC,△ACB是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一,CD平分AB,也平分∠ACB. 这样就得到了Rt△ACD,AD=20÷2=10mm，CD=19.2mm 教师示范 追问:请你完整计算出∠ACB的度数（结果精确到1°） 在Rt△ACD中,tan∠ACD= ==≈0.5208； 用计算器求角度:∠ACD≈27.5°; 因此∠ACB=2×∠ACD≈55° 答:V形角约为55° 课本P16页第4题:要想使人安全攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角∠一般要满足50°≤∠≤75°,现有一架长6m的梯子,那么 (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果精确到0.1m） 巩固拓展 梯子与地面夹角越大,顶端高度越高,因此当 α=75°时,攀登高度最高. 设高度为h,在直角三角形中,sin==h=6・sin75° ≈6×0.9659≈5.8m. 答:最高可以安全攀上约5.8m高的墙. (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,使用这架梯子是否安全？请说明理由. 已知梯子长6m,底端距墙面2.4m,cos= ==0.4; 用计算器求得≈66.4°;因为50°≤66.4°≤75°, 在安全角度范围内,所以此时使用梯子是安全的. 巩固拓展 (3)根据此情境,你还能提出其他问题吗？ 例如：如果梯子顶端距离地面4.5m高,此时梯子与地面的夹角是多少度？是否安全？ sin===0.75； 用计算器求得≈48.6°; 因为48.6°<50°,不在安全范围内,所以此时使用梯子不安全 解直角三角形是连接几何知识与现实测量的桥梁,能解决生活中测高、测距、测角等大量实际问题,体现了数学从生活中来、又服务于生活的特点,是将数学知识转化为应用能力的重要载体. 当堂检测 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（　　） D 2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB的值是_________. 当堂检测 3.在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形； （1）a=30 , b=20 ; 解：根据勾股定理得 A B C b=20 a=30 c 当堂检测 (2)∠B＝72°,c=14. A B C b a c=14 解： ∴3 ∴3 反思总结 1.本节课我们学习了解直角三角形的概念与方法.请你梳理：解直角三角形的三大依据是什么？解直角三角形必须满足什么前提条件？ 2.解直角三角形分为“已知两边”和“已知一边一角”两大类.请你对比两类题型的解题思路，说一说它们的相同点和不同点,以及解题时最容易出错的地方有哪些. 3.从工件V形槽到梯子安全攀爬,生活中很多问题都能转化为解直角三角形来解决.请你说一说,把生活实际问题转化为解直角三角形问题的关键是什么？学习解直角三角形有什么实际价值？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第15页 第1题 二、素养类作业 课本第16页 第2题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $