1.1 《锐角三角函数》 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第1课 锐角三角函数 新版北师大数学九年级下册 第1课时 正切的概念 学习目标 1.通过计算梯子高度与水平宽度的比值,能用“正切”符号表示直角三角形的边角关系. 2.通过计算特定角度的正切值,能比较自动扶梯或山坡的陡缓程度,并能根据已知的一边一角求出另一边的长度. 3.通过代入具体数据解方程,能解决类似“奥林匹克塔测高”情境中关于高度和水平距离的求值问题. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 实景参考：北京奥林匹克塔 主塔高约246.8米 不用爬塔顶、不用无人机,怎么算出它的高度？ 直角三角形 边 角 tan是什么？ 问题构建 梯子是生活中常见的物品,它能帮我们达到高处,给生活带来方便. 问题1:观察左侧的图片中的梯子,你能抽象出哪种基本平面图形？ 直角三角形、长方形等. 追问1:我们聚焦到直角三角形的内容展开回忆,关于角的知识,你能想起哪些？ 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90° 根据直角的定义，∠C=90° 问题构建 追问2:关于直角三角形边的知识,你能想起哪些？ 三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 追问3:借助已有边、角的研究经验,我们还能从哪个方面展示研究呢？ 研究边和角的关系应该是一个很好的角度 追问4:以∠A为对象，如何描述直角三角形的三条边？ ∠A的对边是BC，∠A的邻边是AC，AB是斜边 请你换成∠B，说一说 问题构建 追问5:继续从∠A的角度思考,三边关系我们有勾股定理，如果选取其中的两条边,你有几种选法？ 可以分为三类： ∠A的对边，∠A的邻边 ∠A的对边，斜边 ∠A的邻边，斜边 完成下面的表格： 三角形的关系 对应边 对应角 全等三角形 相似三角形 相等 相等 成比例 相等 对于我们发现的三种类型的边和角怎样建立关系,让我们去生活中看一看! 问题构建 (1)在图1-2中,梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 方法一:观察梯子与地面的夹角 显然夹角越大，梯子越陡，AB更陡 方法二：平移变换 两幅图高度一样，可以把其中一把梯子平移到和另一把梯子上顶端重合，观察下端的位置 方法三：借助比值 左图： 右图： 问题构建 (2)在下方图中,梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ (3)在图1-3中,梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 问题构建 问题2:对比以上三幅图的判断方法？你觉得哪种更适合解决一般性问题？ 计算比值的方法更加准确,能作为一般性判断方法 问题3:如图1-4,小明想通过测量B₁C₁及AC₁，计算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为,通过测量B₂C₂及AC₂,计算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ 同意,两个比值相等,都能表示梯子倾斜程度 协作破冰 追问1:观察右侧的动画展示,我们可以确定两人说法都是正确,你是根据哪个数学知识确定的？ △∽△ 相似三角形对应边成比例 追问2:右边展示的动画中,随着点的变化,两条线段的比值却没有发生变化,对此你有怎样的思考？ 在直角三角形中,当一个锐角的大小确定时,它的对边与邻边的比值就是一个固定不变的值,和直角三角形的大小、测量的位置无关. 协作破冰 追问3:如果两个直角三角形中,某一个锐角的对边与邻边的比值相等，那么这两个锐角的大小相等吗？这组对应关系有什么重要意义？ ，所以∠D=∠A 锐角的度数和它的对边邻边比值是对应的——角确定,比值唯一确定;比值确定,角的大小也唯一确定.借助边长比值，来定量角的大小. 既然这个比值只由锐角的大小决定,我们就给它一个专门的数学名称,这就是我们今天要学习的核心概念——角的正切. 教师示范 正切的定义 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比,叫做∠A的正切,记作tanA. 问题4:结合刚才的定义判断：tanA的大小是由什么决定的？和直角三角形的边长有没有关系？tanA有单位吗？ tanA的大小只由锐角A的度数决定,和直角三角形的边长、整体大小没有关系.tanA是一个比值,没有单位. 教师示范 问题5:回到最开始的梯子问题,梯子的倾斜程度和tanA有什么关系？请你用一句话总结规律. tanA的值越大,梯子的倾斜角就越大,梯子就越陡 tanA的值越小,梯子的倾斜角就越小,梯子就越缓 例1​.图1-6表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡？ 解:甲扶梯中, tanα== 乙扶梯中, tanβ= 因为tanα>tanβ,所以甲扶梯更陡. 巩固拓展 正切也经常用来描述山坡的坡度. 例如,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m（如图1-7）,那么山坡的坡度就是 说明：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比） 问题6:本节课我们研究了“对边与邻边的比”,也就是正切, 你能推测一下,后续我们研究另外两组比值时,会遵循怎样的研究顺序吗？ 巩固拓展 会和今天的路径一致:先通过相似三角形证明“锐角确定则比值固定”，然后给出对应的数学定义;接着研究特殊角的三角函数值，学习一般锐角的三角函数计算方法;最后用这些知识解决更多的实际问题. 问题7:从本节课思考本章的研究：我们从直角三角形的角角关系、边边关系,拓展到边角关系;从一个正切概念,拓展到更多概念；从概念定义，拓展到计算与应用.请你猜测一下本章整体的研究路径是什么？ 生活实际 得出定义 研究性质 求解位置 实际运用 当堂检测 1.如图，在4×4的正方形网格中,的值为(　　) A. B.2 C. D. B 当堂检测 解：图1,在Rt△ABC中，tanA＝，tanB＝. 图2，在Rt△ABC中中，tanA＝，tanB＝＝. 2.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值. 图1　　 　　图2 当堂检测 3.在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.求tanC的值. 解：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D. 因为S△ABC＝BC·AD＝84，所以×14×AD＝84. 所以AD＝12.又因为AB＝15，所以BD＝＝9. 所以CD＝14－9＝5. 在Rt△ADC中，tanC＝＝. 反思总结 1.我们已经掌握了直角三角形的角角互余和勾股定理,为什么还要继续研究边角关系？研究边角关系的核心价值是什么？ 2.正切这个概念,是怎样从“梯子陡不陡”的生活现象,一步步变成严谨的数学定义的？支撑这个定义成立的核心几何依据是什么？ 3.这节课是本章的起始课,我们不仅学习了正切的概念,还了解了整章的研究路径.这种“从生活问题到数学概念,再到计算应用”的研究思路,对你后续学习数学新知识有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第4页 第1，2题 二、素养类作业 整理一个表格，展示你目前学习过的直角三角形关联知识 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $