1.1《锐角三角函数》 第4课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第1课 锐角三角函数 新版北师大数学九年级下册 第4课时 借助计算器求三角函数 学习目标 1.通过登山缆车、天桥斜道等生活情境,感知非特殊角三角函数求解的必要性,深化对锐角三角函数边角对应关系的理解. 2.通过操作Win11系统自带科学计算器,掌握已知锐角角度（含度分秒）求正弦、余弦、正切值的完整按键流程与操作规范. 3.通过操作计算器的第二功能模式,掌握已知三角函数值反求对应锐角度数的方法,能独立完成十进制度与度分秒的单位转换. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 像登山缆车、人行天桥斜道等生活场景,生活中绝大多数直角三角形的锐角都不是30°、45°、60°这类特殊角,我们如何借助计算器快速、准确地完成“已知角度求三角函数值”和 “已知三角函数值求角度”两类运算,从而解决真实场景中的测量与计算问题？ 问题构建 如图1-13,当登山缆车的吊厢经过点A到达点B时,它行驶了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角∠α＝16°,那么缆车垂直上升的距离是多少（结果精确到0.01m）？ 问题1:上节课我们精准推导了30°、45°、60°三个特殊角的三角函数值,你能用上节课的知识直接算出准确结果吗？为什么？ 不能直接算出准确结果.因为16°不是我们学过的特殊角,无法通过三角尺边长比值推导得出精确的三角函数值,需要借助计算工具求解. 问题构建 追问1:请你先根据题意画出直角三角形,标出已知边和已知角,写出求垂直上升距离BC的数学关系式. 解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α=16°，斜边AB=200m，BC是∠A的对边 根据正弦定义,sinα==， 因此BC=AB・sin16°=200・sin16° 追问2:要算出BC的具体数值,核心是求出sin16°的值.根据生活经验，你觉得我们可以用什么工具求解任意锐角的三角函数值？ 可以用科学计算器计算.Windows系统自带的计算器或者卡西欧计算器就具备科学计算功能,可以准确计算任意锐角的三角函数值. 问题构建 问题2:请大家打开Windows自带计算器,尝试将它切换到“科学型”模式,说一说完整的操作步骤. ①打开计算器:在开始菜单搜索“计算器”并打开应用 ②点击窗口左上角的三条横线图标,打开导航菜单 ③ 在弹出的列表中选择 “科学型”,即可切换到科学计算界面. 问题构建 问题3:计算三角函数前必须确认角度单位.请你观察计算器界面，初中的角度计算都以度为单位，本节课我们需要使用哪种单位？ 界面上有DEG、RAD两个选项,默认选中的是DEG（角度制，单位为度）.我们研究的锐角均以“度”为单位,因此必须保持DEG模式，不能切换到RAD（弧度制） 追问1:现在我们计算sin16°.请你独立操作计算器,得出结果后说一说完整的按键顺序. Windows科学计算器按键顺序： ①确认计算器处于DEG模式； ②依次点击数字键1、6,输入角度数值16；③点击三角学区域的sin按钮； ④显示屏直接显示结果：0.2756373558… 即sin16≈0.2756（精确到万分位） 问题构建 追问2:请你用同样的方法计算cos72°和tan85°,验证操作是否正确,并写出结果. cos72°：输入72，点击cos，结果≈0.3090； tan85°：输入85，点击tan，结果≈11.4301 追问3:请你用计算器计算sin30°、cos45°、tan60°,和上节课记忆的特殊角数值对比,结果一致吗？这一步验证有什么意义？ 答案:计算结果和上节课推导的完全一致：sin30°=0.5,cos45°≈0.7071，tan60°≈1.732. 意义:既验证了计算器计算结果的准确性,也反过来印证了我们之前几何推导的特殊角三角函数值是正确的. 问题构建 问题4:生活中的角度不一定都是整度数,比如cos72°38′25″，你打算怎么算？ 方法一：将度分秒都化为以度为单位的进行计算 72°38′25″=72.我们知道1°=60′,1′=60″, 度分秒转十进制度的公式：度数=度+分/60+秒/3600 72°38′25″=72+38/60+25/3600≈72+0.6333+0.0069≈72.6403° 计算cos72.6403°：输入72.6403,点击cos,结果≈0.2984 方法二：直接借助计算器计算 ①输入72.3825 ②点击函数下拉，点击→deg按钮 ③点击三角学下拉，选COS按钮，得出答案. 协作破冰 问题5:请你总结一下,计算含度分秒的角的三角函数值,通用的操作步骤是什么？ 方法一步骤： ①单位转换：把度分秒形式的角度转换成十进制度数； ②模式确认：确保计算器处于DEG角度模式；③输入数值：输入转换后的十进制角度； ④计算结果：点击对应的 sin/cos/tan按钮,得出函数值 方法二步骤： ①输入要计算的角度 ②选函数下拉，点击→deg ③选择三角学下拉点击对应的三角函数 在本节课讨论的缆车行驶情境中,当缆车继续由点B到达点D时,它又行驶了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角∠β=42°,由此你还能计算什么？ 协作破冰 E 解:在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∠B=β=42°，斜边BD=200m，DE是∠B的对边 根据正弦定义,sinβ==， 因此DE=BD・sin42°=200・sin42°≈133.8261(一般取结果为133.米m) 本书约定，如无特别说明，用科学计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位. 为了方便行人推非机动车过某天桥,市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图1-14）.如何求这条斜道的倾斜角呢？ 教师示范 问题6:你能写出对应的三角函数关系式吗？ 在Rt△ABC中,∠B=90°,对边BC=10m,斜边 AC=40m,sinA=对边/斜边=BC/AC=10/40=0.25 追问1:要进行逆运算,需要用到计算器的第二功能.请你在Windows计算器上找到“2nd” 按钮并点击,观察三角学区域的按钮发生了什么变化？ 教师示范 追问2:请你计算当sinA=0.25时,∠A是多少度,写出完整的按键顺序. 按键顺序： ①确认计算器处于DEG模式； ②点击2nd 按钮,切换到带-1模式； ③依次点击0、.、2、5,输入函数值0.25； ④点击sin⁻¹按钮； ⑤显示屏显示结果：约14.4775°,即∠A≈14.48° 追问3:如果要求结果精确到1″,需要把十进制度转换成度分秒.请你用→dms按钮,把14.4775°转换成度分秒形式. 巩固拓展 追问4:请你独立练习：已知cosB=0.8607,求∠B；已知tanC=56.78,求∠C.结果先保留小数形式,再转换成度分秒. ∠B：输入0.8607,点击2nd,点击cos⁻¹,结果≈30.6047°,转度分秒约30°36′17″； ∠C：输入56.78,点击2nd,点击tan⁻¹,结果≈88.9910°,转度分秒约88°59′28″. 问题7：请你用计算器计算sin10°、sin30°、sin50°、sin70°，观察结果,说一说锐角的正弦值随角度增大有什么变化规律？ sin10°≈0.1736，sin30°=0.5，sin50°≈0.7660，sin70°≈0.9397 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大 巩固拓展 问题8:再计算cos10°、cos30°、cos50°、cos70°，余弦值的变化规律和正弦一样吗？正切值呢？ cos10°≈0.9848，cos30°≈0.8660，cos50°≈0.6428，cos70°≈0.3420； 规律：锐角的余弦值随着角度的增大而减小. tan10°≈0.1763，tan30°≈0.5774，tan50°≈1.1918，tan70°≈2.7475； 规律：锐角的正切值随着角度的增大而增大 问题9:结合三角函数的定义，你能从几何角度解释为什么正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小吗？ 在直角三角形中,当斜边长度固定时,锐角越大,它的对边越长、邻边越短.因此对边与斜边的比值（正弦）、对边与邻边的比值（正切）都会变大,邻边与斜边的比值（余弦）会变小. 巩固拓展 问题10:生活中还有很多测高、测距的场景.请你举一个生活实例,说一说如何用今天的知识解决问题. 例如测旗杆高度： 站在离旗杆底部30米的平地,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为35°,测角仪自身高度 1.5米 计算：旗杆总高度=1.5+30・tan35° 计算器算得tan35≈0.7002 因此高度≈1.5+21.006≈22.51米 当堂检测 1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　 (2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59° 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 当堂检测 2.一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角? 解：设所成锐角为θ. = ∴∠θ=51°19′ 4″ 反思总结 1.本节课我们学习了两类三角函数运算——已知角度求函数值、已知函数值求角度.请你对比两类运算的操作步骤,说一说它们的联系与区别,以及操作时最容易出错的地方有哪些. 2.上节课我们推导特殊角的三角函数值,这节课我们用计算器计算任意角的函数值.既然计算器能算所有角度,为什么我们还要花时间推导并记忆30°、45°、60°的函数值？请谈谈你的理解. 3.从登山缆车、天桥斜道到测高测距,三角函数在生活测量中应用广泛.请你总结一下,用三角函数解决实际测量问题的一般步骤是什么？计算器在其中起到了什么作用？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第10页 第1，2题 二、素养类作业 拓展阅读:借助AI了解图形计算器与普通计算器的区别. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $