1.1锐角三角函数第1课时正切 【一境到底】课件2026-2027学年九年级数学下册北师大版

该初中数学课件聚焦“锐角三角函数（正切）”，通过“梯子陡度”现实情境导入，以问题串（铅直高度与水平宽度比较、比值比较、相似三角形验证比值不变）搭建学习支架，引导学生从直观到抽象理解正切定义、与倾斜程度的关系及坡度应用。 其亮点在于以现实问题驱动培养数学眼光，通过相似三角形推理比值不变发展数学思维，结合基站塔高度测量等实例强化数学语言表达。采用问题链设计和结构化小结，帮助学生建立知识体系，教师可直接用于情境教学和能力训练。

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第1课时 正切 九年级下│BS 主题情境·哪个梯子更陡呢？(一) 1.理解正切的意义，感受正切与现实生活的联系. 2.能运用tan A表示直角三角形中两边的比. 3.了解坡度(坡比)、坡角的概念，能解决与坡度(坡比)、坡角有关的实际问题. 学习目标 学校围墙需要翻新粉刷，两个工人借助梯子粉刷墙面. 有什么办法不计算就能判断哪个梯子更陡？ 情境串新知 梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度 铅直高度 A C 水平宽度 B 不用计算的判断方法 情境串新知 问题1 梯子在上升过程中，倾斜角的大小如何变化？梯子的倾斜程度如何变化？ 1 2 梯子在上升过程中，倾斜角越大，梯子越陡. 情境串新知 问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎么判断的？ 梯子AB更陡 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡. 情境串新知 问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 分析：铅直高度与水平宽度都不一样时，可以比较一下铅直高度与水平宽度的比值. ∴梯子EF更陡. 用梯子斜靠在墙上时的铅直高度与水平宽度的比值来判断梯子的倾斜程度，比值越大，梯子越陡 情境串新知 思考1 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ 情境串新知 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系? 有什么关系？ 情境串新知 (3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3 )呢?由此你得出什么结论? B3 C3 当梯子的倾斜角度一定时，它的竖直高度与水平宽度的比值一定. Rt△AB1C1∽Rt△AB3C3 情境串新知 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切，记作tanA，即 tanA＝ ∠A的邻边 ∠A的对边 ∠A的对边 ∠A的邻边 当锐角A变化时，tanA的值也随之变化. 归纳总结 情境串新知 1.tan A不表示“tan”乘“A”. 2.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；tan∠BAC不省略角的符号“∠”. 3.tan A＞0且没有单位，它表示一个比值. 4.tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5.tan A是在直角三角形中定义的，如果没有直角三角形则构造直角. 温馨提示 情境串新知 思考2 tan A可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ A B C ┌ 可以等于1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 思考3 梯子的倾斜程度与tan A有关系吗？ tanA的值越大，梯子越陡. 归纳总结 情境串新知 例 下图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 4m ┐ 8m α (甲) β 5m ┌ 13m (乙) 解：甲梯中， 乙梯中， 因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡. 情境串新知 变 式 如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为60，则△ABC的面积为 (　　) A.60 B.30 C.240 D.120 解析：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝， 设BC＝12x(x>0)，则AC＝5x，根据勾股定理，得AB＝13x. 由题意，得12x＋5x＋13x＝60，解得x＝2， 所以BC＝24，AC＝10，可求出△ABC的面积. D 情境串新知 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度(或坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度 的比称为坡度(或坡比). 坡角越大，坡度越大，坡面就越陡. α 坡角 归纳总结 正切也经常用来描述山坡的坡度. 铅直高度 水平宽度 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m， 那么山坡的坡度(即tanα)就是: 100m 60m ┌ α 情境串新知 1.在Rt△ABC中，∠B＝90°，若各边的长都扩大为原来的5倍，则 tan A的值( ) A.不变 B.扩大为原来的5倍 C.缩小为原来的 D.不能确定 A 随堂练习 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A. 2 B. C. D. D 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD.若BD＝CD， 则tanB＝________． 随堂练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan ∠BCD＝ ，AC＝12，则BC＝____. 9 随堂练习 5.如图，在一个坡比为1∶2.4的斜坡上，测量斜坡上一个垂直于水平地面的基站塔AB的高度，当太阳光线与水平线夹角成45°时，测得在斜坡上基站塔的影子BC长为52m，求基站塔AB的高度． 解：如图，过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于点D， ∵斜坡的坡比为1∶2.4，∴ 设BD＝x，则CD＝2.4x， 在Rt△BCD中，BD2＋CD2＝BC2，即x2＋(2.4x)2＝522， 解得x＝20(负值已舍去)，∴BD＝20，CD＝48. 在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴AD＝CD＝48， ∴AB＝AD－BD＝48－20＝28(m)． 答：基站塔AB的高度为28m． D 随堂练习 坡度 正切 与梯子倾斜 程度的关系 tanA＝ ∠A的邻边 ∠A的对边 ∠A越大，tanA越大，梯子越陡 定义 课堂小结 $