1.4《问题解决活动：利用三角函数测高》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 问题解决活动：利用三角函数测高 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过对底部不可到达物体测高问题的方案研讨,完成从实际场景到双直角三角形数学模型的抽象,形成可落地的测量方案与计算方法. 2.通过小组合作完成实地测量操作,规范使用测角仪、卷尺等工具,完成数据记录与物体高度的计算. 3.通过对测量结果的误差分析与讨论,梳理误差的主要来源,归纳减小测量误差的可行策略.借助活动报告与成果交流,总结不同测高方法的适用场景,体会三角函数在现实测量中的应用价值. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 我们身边有很多高大的物体,比如教学楼前的旗杆:如果想知道旗杆的高度,结合之前学过的知识,你能想到哪些测量方法？ ①相似三角形法：影子法、镜子反射法、标杆法； ②三角函数法:测出人看旗杆顶端的仰角,再测出人到旗杆底部的水平距离,用正切函数计算高度. 如果我们要测量河对岸的大楼高度,我们没法走到物体的底部,刚才的三角函数方法还能直接用吗？最大的困难是什么？ 问题构建 要解决底部不可以到达的物体,怎么用三角函数测量高度的问题？先请大家思考:我们核心要突破的是什么？ 核心是在不能直接测水平距离的情况下,通过其他可测量的量,把未知的水平距离消掉,最终求出物体高度. 问题1:你知道数学测量工具测倾器吗？ 测倾器是一种用于测量倾斜角度的仪器,简单测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 使用方法:①把支杆竖直插入地面,使支架的中心线、铅锤线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置. ②转动度盘,使度盘的直径对准目标,记下此时铅垂线所指的读数. 问题构建 追问1:测量底部能到达的物体高度,我们需要哪些工具？分别测什么量？ 工具:测倾器（测仰角）、皮尺（测长度）测量量： ①测点到物体底部的水平距离L； ②观测物体顶端的仰角； ③测倾器离地面的高度. 追问2:请你把这个场景画成几何图形,标上已知量和未知量,说说这个图形的本质是什么？ 三角函数 问题构建 追问3:你会推导旗杆高度h的计算公式吗？ 在Rt△CBE中,tanα = = 变形得：h-a=・tanα 因此高度：h=·tanα + a 依据：正切函数的定义,直角三角形中锐角的正切等于对边与邻边的比值. 追问4:如果计算时漏掉了测倾器的高度a,结果会怎么样？这个细节提醒我们什么？ 结果会比真实高度小a,误差等于测倾器的高度.提醒我们实际问题建模时,要关注观测点的真实位置. 问题构建 探究活动——底部不可到达的测高模型 李华带着他的好朋友王羽到郑州市的会展中心游玩,图片中就是郑州市郑东新区的会展中心,因形似玉米被称之为“玉米楼”,下面是如意湖,他们走到如意湖的对面,李华和王羽一起思考如何测量玉米楼的高度？ 问题2:这个测量问题和测量学校旗杆有什么区别呢？ 旗杆的底部可以到达，当前测量问题因湖的阻挡无法到达. 问题构建 问题3:王羽画出了以前学过的测量方法图,观察他设计的数据,这个方法能计算出来吗？问题在哪里？ 图中的h、a和角度α都可以测出来，但是无法测量，无法计算出答案. 追问1:李华认为,如果把测倾器换个位置再测一次,有可能解决问题,他说在视图与投影那一章有类似的学习经验？你能把李华的想法变成具体的图吗？动手试一试. 问题构建 追问2:王羽按照李华的描述画出了右侧的图形,大家觉得王羽能测量并计算出玉米楼的高度吗？ 更换位置之后，依然无法解决线段DI长度无法测量的问题，计算时缺少有效数据. 追问3:如何解决两次无法测量的DI与AD的长度的问题？这两条线段能否快速建立关系？ 把DI和AD放到同一条直线上，可以测量湖对岸的测倾器两次地面位置之间的线段长度. 问题构建 追问4:王羽观察得到的新图形,需要测量哪些数据？ α、β、测倾器高度,线段AG可测量设为 追问5:对比本章前面学习的内容,本例主要增加了哪个部分？ 测倾器的高度 在两个测点之间,存在一个固定的公共边AG,利用这两个角和这个公共边作为桥梁,就可以列出两个方程,这是解决此类问题的标准数学逻辑. 协作破冰 β 在Rt△CEF中， 在Rt△CBE中， AG=BF=BE-BF= = ∴ 如果第二个测点不是向前走,而是向后退一段距离,公式会变吗？本质有没有变化？ 都是通过两个共竖直边的直角三角形,消去不可测的水平距离,只用可测的两个仰角和测点间距求高度. 教师示范 问题4:如果明天我们去实地测量,每组需要准备哪些工具？每种工具的作用是什么？ 测倾器:测量观测物体顶端的仰角 皮尺/钢卷尺:测量两个测点的间距、测倾器的离地高度 记录单、笔:记录每组测量数据 计算器:计算三角函数值和最终高度 追问:正确的测量步骤应该是什么样的？请你按顺序排一排. ①选定被测物体,确定第一个观测点,安置测倾器并调至水平,测出物体顶端的仰角α ②沿测点与物体底部的连线方向,向前走一段固定距离,确定第二个观测点,再次调平测倾器,测出仰角β ③用皮尺测量两个观测点之间的水平距离b ④测量测倾器离地面的高度a ⑤重复测量2-3次,记录数据后取平均值 教师示范 问题5:我们测量计算出来的高度,和物体的真实高度一定会有偏差，也就是误差.大家想一想,误差可能来自哪些方面？ 工具误差、操作误差、环境误差、模型误差 追问:针对这些误差来源,我们可以用哪些方法减小误差？ 1.工具层面:选用精度更高的测量工具,测量前校准测倾器的水平零点； 2.操作层面:仰角、距离、测倾器高度都多次测量,取平均值代入计算； 3.安置测倾器时严格调平,保证视线水平时读数为0°;用三点共线的方法校准测点位置,保证在同一直线上；皮尺拉紧保持水平，避免倾斜下垂； 4.环境层面：选择无风、视线清晰的天气测量,尽量选平整的地面作为观测点 巩固拓展 当堂检测 1.如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.） 当堂检测 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m） 因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7≈468（m） tan∠BAC= 因此， 当堂检测 2.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数） 当堂检测 ∵AD＋BD = AB， ∴ 解：设CD =x 米．在Rt△ACD中， 在Rt△BCD，tan48°= 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． 反思总结 1.本节课我们完整经历了“真实任务—方案设计—实地测量—数据计算—误差优化”的探究过程.请你梳理，从现实问题到数学求解,最核心的一步是什么？整个活动体现了哪些数学思想？ 2.对比“底部可到达”与“底部不可到达”两种测高情况,二者对应的几何模型和解题方法有什么区别与联系？ 3.实地测量中我们发现,数学理论的理想计算和现实测量的结果总会存在偏差.请你谈一谈,数学理论和现实应用之间是什么关系？开展这样的实践活动课有什么意义？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第26页 第21题 二、素养类作业 课本第26页 第20题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $