1.6 利用三角函数测高（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“利用三角函数测高”，通过“测量高楼高度”的情景导入激发兴趣，围绕测倾器使用、底部可到达与不可到达物体的测高方法，构建从三角函数定义到实际应用的学习支架。 其亮点在于以情境化实例（如旗杆、东方明珠）和分组活动探究为载体，体现数学眼光（抽象现实问题为直角三角形模型）、数学思维（推导两次仰角测高公式），通过典例与练习强化数学语言表达。助力学生提升应用能力与探究意识，为教师提供结构化教学资源。

1.6 利用三角函数测高 第一章 直角三角形的 边角关系 九年级下册数学（北师版） 如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法测出它们的高度吗？ 通过这节课的学习，相信你就行. 情景导入 活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：测倾器(或经纬仪、测角仪)、皮尺等测量工具. 活动探究 1 测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由 度盘、铅锤和支杆组成. 度盘 铅锤 支杆 问题1：如何测量倾斜角？ 探究新知 问题2：如何使用测倾器？ 1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0° 刻线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置. 2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. M P Q α 仰角 根据测量数据，你能求出目标 M 的仰角或俯角吗？说说你的理由. 2 测量底部可以到达的物体的高度 问题3：如何测量底部可以到达的旗杆的高度？ 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图 CE 的长度. M N E α A C M N A α C E l a 1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α ； 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3. 量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN 的高度. 问题4：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？ MN = ME + EN = l·tanα + a 例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是 5m，大门距主楼的距离是 30 m，在大门处测得主楼顶部的仰角是 30°，而当时侧倾器离地面 1.4 m，求学校主楼的高度(精确到 0.01m). 典例精析 30° A B E D C 解：如图，作 EM 垂直 CD 于 M 点，根据题意，可知 ∠DEM = 30°，BC = EM = 30 m， CM = BE = 1.4 m. 在 Rt△DEM 中， DM = EM tan30° ≈ 30×0.577 = 17.32 (m)， CD = DM + CM = 17.32+1.4 ≈ 18.72 (m). ∴学校主楼的高度约为 18.72 m 30° A B E D C M 3 测量底部不可以到达的物体的高度 问题 1：在黄浦江的另一端，你能测量东方明珠的高度呢？ 在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中 α 和 β ），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度. C D M N E α β A B 问题 2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ M N 1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α. A α C E 2. 在测点 A 与物体之间 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β. B D β 3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b. a b 根据测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？ M N A α C E B D β a b CD = AB = CE－DE = =b ∴MN = + a ∴ME = 课题 在平面上测量地王大厦的高 AB 测量示意图 测得数据 (测倾器高度为1m) 测量项目 ∠α ∠β CD 的长 第一次 30°16' 45° 5' 60.11 m 第二次 29°44' 44°25’' 59.89 m 平均值 例2 下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高. C E D F A G B α β 30° 45° 60 m 解：由表格中数据，得α = 30° ，β = 45°， 答：大楼高度为 . (1) 到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？ 议一议 全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高. (2) 如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离? 可以测出 M 的仰角∠MCE = α，以及测倾器的高 AC = a，然后根据 即可求出测点 A 到物体 MN 的水平距离 AN. A C B D M E N α β 利用三角函数测高 测倾器的认识及使用 测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角） 测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角） 利用解三角形的知识，求出物体的高度 情景导入 1.如图所示，在离上海东方明珠塔 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角 ∠BAC为 25° (在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为 1.7 m.求上海东方明珠塔的高 BD.（结果精确到 1m .） 课堂练习 解：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m， 答：上海东方明珠塔的高度 BD 为 468m. 从而 BC = 1000×tan25°≈ 466.3 (m). 因此，上海东方明珠塔的高度 BD = 466.3+1.7 ≈ 468 (m). 因此 2.如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高为 1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到 1 m) D′ A B′ B D C′ C 解：如图，设 AB′ = x m. 由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m. ∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ， D′ A B′ B D C′ C 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 Lavf56.15.102 $