精品解析：山东省牟平第一中学2026-2027学年高三10月月考数学试题

24级高三月考试题（10.10） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 3. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值. 【详解】对，求导得. 由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为. 代入曲线方程得，所以. 4. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出 ，结合夹角范围 得到具体角度. 【详解】由，得， 所以，所以 在 上的投影向量为：，所以 由①②得，所以，即， 所以，因为，所以. 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值. 【详解】，的定义域为，，所以是奇函数， 令，，在定义域上单调递减， 对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数， 由，得，因为为奇函数，，所以， 又因为为减函数，则，， 、均为正实数， ， 当且仅当，即，时等号成立. 7. 已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义，分析函数零点的性质，将不同函数零点用一个函数零点表示，进而分析出集合中有多少种不同的元素，即可求解. 【详解】如果是函数的零点，即， 那么用代换可得，， 即也是函数的一个零点， 而因为零点共有五个，因此必有，即， 故剩下的四个零点必然互为倒数，即，， 而因为，因此联立，得，，，， 根据条件集合中的元素可能包括，，，，，，，，，， 根据集合的性质，集合中共有7个不同的元素. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 是的一个周期 C. D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由图可知，所以， 又，所以或， 从图象看，处函数处于上升阶段，即， 又，所以， 因为，所以，故，故A正确； 对于B，，处函数处于下降阶段， 所以，解得， 又，所以，所以，又， 故，得， 所以，所以，故B正确； 对于C， ，C错误； 对于D，当时，， 所以，所以， 所以的最小值为，故D正确. 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，第个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，则原来每条边变为4条，即，从而求出即可判断；对于B，从图形中找出面积变化规律即可判断；对于C，由作法知，，而，从而求出即可判断；对于D，由选项AC知，，从而求出数列的前n项和． 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形， 则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为 ，D正确． 11. 函数的定义域是，对于，定义集合，以下选项正确的有（   ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若的定义域为，对任意都有，则是偶函数 D. 若，对任意都有，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先求得，再根据题设定义解不等式即可判断；对于B，根据指数函数的单调性结合题设定义判断即可；对于C，利用反证法判断即可；对于D，由题设易得函数在上单调递增，可得在上恒成立，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则，故A正确； 对于B，因为函数在上单调递减， 则， 又，所以，故B错误； 对于C，假设存在使得，不妨设， 而， 则，与题设矛盾，因此对任意都有， 则是偶函数，故C正确； 对于D，由于， 且对任意都有，因此对任意都有， 所以函数在上单调递增，即在上恒成立， 当时，，显然成立； 则问题等价于时，恒成立，且时，恒成立， 设，则， 令，得或；令，得， 则函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以时，，则，即； 时，，则，即， 所以，故D错误. 三．填空题（共3小题） 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解. 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 14. 已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据数列连续子段总数判断：时子段数量不足，无法凑出六种和，故再构造三项数列，验证其所有连续子段和恰好覆盖，满足题意。 因此的最小值为3. 【详解】①证明 当时，数列仅有1个连续的子段，最多只能得到1个和，无法覆盖，不符合题意， 当时，连续的子段共有3个，最多只能得到3个和，无法覆盖6个不同的数值，不符合题意， 因此， ②构造的例子， 取数列为， ：， ：， ：， ：， ：， ：， 综上，的最小值为3. 四．解答题（共5小题） 15. 在中，角的对边分别为，． （1）证明：． （2）若为钝角，，的面积为22，求． 【答案】（1）因为，，， 所以. 因为，所以． 因为,,所以. 所以或（舍去），所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，对进行转换得即可证明. （2）作边上的高，利用面积可求出，再利用，在中建立方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，作边上的高． 因为的面积为，，所以． 设，则． ，． ， 所以，化简得，解得（舍去）． ，，即． 16. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【解析】 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 【小问2详解】 ①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性； （3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令得， 令得，则在上单调递增， 令得，则在上单调递减 所以为函数的极小值点，且， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，恒成立，令得，令得， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，， 故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 显然，故2为的一个零点， 当时，仅有一个零点2， 由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 恒成立，当趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得上，存在一个零点， 故有2个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，， 故2为的唯一零点； 时，在上单调递增，，故有1个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 若，即时，共有2个零点，分别为1和2； 若，即时，共有1个零点，即2； 若，即时，若，即时，共有2个零点， 其中一个零点为2，另一个零点位于上， 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 综上，或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 【答案】（1） （2）． 令函数，则，所以是增函数． ，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以． （3）令，则． 因为，所以． 因为在上单调递增，所以. 则，在上单调递增． 因为，所以，即． 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，再由导数求得切线斜率，即得切线方程. （2）利用二次求导判定的单调性，用零点存在性定理设，利用将最小值化为二次函数，结合范围放缩证明即可. （3）利用构造辅助函数，借助的单调性判断辅助函数递增，代入端点化简证二元不等式即可. 【小问1详解】 当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高三月考试题（10.10） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 3. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 7. 已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 是的一个周期 C. D. 当时，的最小值为 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. D. 数列的前项和为 11. 函数的定义域是，对于，定义集合，以下选项正确的有（   ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若的定义域为，对任意都有，则是偶函数 D. 若，对任意都有，则的取值范围为 三．填空题（共3小题） 12. 函数的值域为______． 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 14. 已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为_______． 四．解答题（共5小题） 15. 在中，角的对边分别为，． （1）证明：． （2）若为钝角，，的面积为22，求． 16. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $