云南省昆明市高三一轮复习数学作业设计（导数中的切线问题）

导数中切线问题作业设计 一、作品基础信息 项目 作业设计 作品名称 导数中的切线问题 学段学科 高中 适用年级 高三一轮复习 教材版本 人教A版 对应内容 导数中的切线问题（切线方程，切线条数等） 作业类型 一轮复习备考作业 完成时长 总时长50分钟 设计者 易龙阳 二、设计背景与意图 1、课标与教材分析 （1）课标要求 学生能理解导数的几何意义：函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率。会求曲线在切点已知时的切线方程，区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”两类题型。能结合切线方程、切点、斜率三者关系列式求解参数。会利用切线分析函数局部变化趋势，体会数形结合思想。要求能解决切线与直线位置关系、切线条数判定等简单综合问题，能将几何条件转化为代数方程求解。在解题中注重逻辑推理，规范设切点、求导、列方程的步骤，提升运用导数工具处理平面曲线几何问题的能力。 （2）教材地位 导数的切线位于人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用，5.1导数的概念及其意义，是导数几何意义的核心载体，承接函数单调性、导数定义，是连接函数与解析几何的桥梁。它既是导数新授课的基础内容，也是高考高频考点。切线问题把导数的代数运算与曲线几何直观结合，落实数形结合思想。学好切线，为后续研究函数极值、最值、零点以及导数综合大题奠定基础。在整个高中函数板块中，起到由概念理解转向综合应用的过渡作用，是学生建立导数解题思维的重要一环。 2、学情分析 整体学生在函数方面，基础较为扎实，能够理解导数几何意义，熟练求简单函数的切线方程。但容易混淆“在某点处”与“过某点”的切线，常忽略点不在曲线上时需设切点求解。学生代数运算能力尚可，但处理含参切线问题、判断切线条数时，方程转化与分类讨论易出错。数形结合意识不足，难以快速借助图像分析切线个数。具备一定自主解题能力，但审题细节、规范书写仍需强化，综合题型的转化思路需要进一步训练。 3、设计意图 本次作业立足高考对导数切线的考查方向，分层设置习题。基础题巩固导数几何意义，落实“在某点处”切线的基本求法；中档题区分“在点”与“过点”两类模型，训练设切点、列方程的常规解题流程；拔高题融入参数与切线条数判断，对接高考选填题型。意在强化数形结合思想，规范答题步骤，排查学生易混易错点。引导学生将几何条件转化为代数方程，提升逻辑转化能力，实现基础知识向高考应试能力的递进。 三、作业设计目标 通过分层作业，巩固导数的几何意义，掌握曲线切线方程的基本求法，能准确区分“在某点处”和“过某点”的切线问题。熟练掌握设切点、求斜率、构建方程的解题流程，规范书写答题步骤。借助含参、判断切线条数类习题，提升数形结合与代数转化能力，纠正常见审题错误。落实高考考点要求，强化方程思想，提升学生分析几何条件、求解方程的运算能力，初步形成解决切线综合小题的思维模式。 四、作业内容 导数切线问题以导数几何意义为核心，主要包含：一是求曲线在某点处的切线方程，直接利用切点横坐标求导得斜率，结合点斜式写出切线；二是求过某点的切线方程，该点不一定在曲线上，需要设切点，联立方程求解。三是已知切线方程或斜率，反求函数参数、切点坐标。四是切线条数的判定，转化为方程根的个数问题，结合函数图像分析。还包含切线与已知直线平行、垂直，切线间位置关系，切线与曲线公共点等综合题型。题型融合方程、数形结合思想，是高考导数小题的常见考查方向。 五、作业详情 导数的切线问题作业 一、单项选择题 1．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ） A．－1 B． C．1 D． 2．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·模拟预测）若函数的图象与直线相切于点，则实数（ ） A． B．2 C． D．3 4．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题 10．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 11．（2026·云南昆明·二模）若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是________________． 四、单解答题 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数图象关于点对称． (1)求； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 六、作业答案 1．【答案】C 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 2．【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 3．【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 4．【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 5．【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 6．【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 故选：A. 7．【答案】D 【详解】由，得. 设切点为，则切线斜率. 切线方程为. 将原点代入得， 即，因为，所以，解得. 所以切线斜率，切线方程为. 故所求切线方程为. 8．【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 9．【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 10．【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 11．【答案】或 【分析】先根据导数得出切线斜率计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则，则，， 即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或 12．【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 13．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解； （2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解. 【详解】（1）因为函数图象关于对称， 所以，故， 化简可得， 所以，解得． （2）由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值； 当时，有极大值． 过点存在3条直线与曲线相切，等价于 关于x的方程有三个不同的根，则， 所以实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $