精品解析：山东济南西城实验中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情质量检测数学试题

济南西城实验中学 高二阶段性学情质量检测数学试题 2026.10 注意事项： 1.答卷前，考生务必把二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2. 已知直线，直线．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 故． 故选：A. 3. 直线和之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】化为，化为， 两条直线平行，运用两平行直线的距离公式. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 5. 空间内有三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示求出，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为. 因为， 所以点到直线的距离为. 故选：A 6. 已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示 若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或. ，. 故直线的斜率的取值范围是. 7. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 8. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】经过点的直线方程为，即， 故直线的一个方向向量为， 又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 经过定点的直线都可以用方程表示. C. 直线必过定点 D. 直线关于直线的对称直线是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据轴上的截距定义直接判断选项A，根据垂直于轴的直线的斜率不存在，判断选项B，赋值法求解直线定点判断选项C，根据求解点关于线的对称点，求出直线关于直线的对称线，即可判断选项D. 【详解】对于A，令，得，则直线在轴上的截距为，正确； 对于B，直线经过定点，此时直线没有斜率，不能用方程表示，所以B错误； 对于C，令，则，直线不一过点，错误； 对于D，联立方程，解得， 在直线上取一点，设关于直线的对称点为， 由与的连线和垂直，及中点在上， 得，解得， 因为直线过，所以直线关于直线的对称直线是，正确. 11. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ） A. 二面角的大小为 B. C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为 D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用数量积计算夹角的余弦值可判断A的正误，求出的坐标，利用数量积可判断B的正误，由已知条件确定点的轨迹图形，进而求其长度判断C的正误，最后利用直线的方向向量和平面的法向量计算线面角的正弦值可判断D的正误. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设. . . 记平面的法向量为 则，令，则，. 同理可得平面的法向量. 记二面角的平面角为， . 此时二面角的大小不为，A选项错误. . ，，B选项正确. 设点，. ，整理得. 点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧， 点的轨迹长度为，C选项正确. 平面，为平面的法向量，. 记直线与平面所成角为. 则. ，， 即，D选项正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 【答案】或 【解析】 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得， 所以直线方程为，即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得， 所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据投影向量公式，向量在向量上的投影向量为， ，， 所以投影向量为. 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 16. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 17. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 即. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以线段的长为. 【小问3详解】 ， 所以异面直线与所成的角为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） （3）存在点，，理由如下： 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． （1）求证：平面； （2）已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥的体积及其外接球的表面积； ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置． 【答案】（1）由题意，在中，勾股定理得，， 过D点作垂足为点E， 则在中，勾股定理可得， 在中，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，平面，, ，， 所以平面 （2）①体积为，外接球表面积为 ② 是上满足的点， 是上满足的点. 【解析】 【分析】（1）由已知条件计算边长结合勾股定理证明直角，再由面面垂直的性质定理证明 （2）①转换三棱锥顶点，证明PB为高，底面为直角三角形求体积，利用三棱锥的长方体模型求外接球半径进而求其表面积， ②方法一：由已知，解三角形求，判断点的位置，过点作，证明平面与平面重合，由此确定的位置； 方法二：建立空间直角坐标系，设点的坐标，再利用共线向量表示出相应点的坐标，结合垂直向量的数量积为零解方程求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知平面，平面， 所以，故在中，，解得， 在中，， 因为平面，平面，所以，即为直角三角形， 所以， 在三棱锥中，因为，， 故可将其补成以为体对角线的长方体模型， 设外接球半径为，则，所以， 所以外接球表面积 ②方法一：因为平面，， 所以，又，所以， 在中，，，， 所以， 即，故， 又，， 所以， 由正弦定理可得，所以，  是上满足的点， 过点作，交与点，则， 因为，所以， 因为，，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面与平面重合，点与点重合，即 是上满足的点. 综上： 是上满足的点， 是上满足的点. 方法二：由（1）及①知，以D为原点，为轴，为轴，过点在平面中作垂直于的垂线为轴，建立空间直角坐标系，作轴，轴， 在等腰直角中，由面积相等可得，,解得， 所以，因为四边形为矩形，所以， 所以，，， ， 设，，，得， 同理，， ，，， 由题意得，， 所以，，解得，， 所以，，  是上满足的点， 是上满足的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高二阶段性学情质量检测数学试题 2026.10 注意事项： 1.答卷前，考生务必把二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，直线．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2或 3. 直线和之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 空间内有三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 经过定点的直线都可以用方程表示. C. 直线必过定点 D. 直线关于直线的对称直线是 11. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ） A. 二面角的大小为 B. C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为 D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 16. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19. 如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． （1）求证：平面； （2）已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥的体积及其外接球的表面积； ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $