精品解析：吉林省长春外国语学校2026-2027学年高一上学期第一学程调研数学试题

长春外国语学校2026-2027学年第一学期高一年级第一学程调研 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】对于①：是无理数，无理数属于实数，所以，故①正确； 对于②：属于有理数，所以，故②错误； 对于③：自然数集包含，所以，故③正确； 对于④：由空集的基本性质，空集是任意集合的子集，所以正确，故④正确. 综上，正确的关系式为①③④，共个. 2. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用集合元素的互异性和集合间的包含关系，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，可得，即，解得且， 因为且， 当时，显然不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去）， 综上可得，实数的取值集合为. 3. 已知命题：：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】由：，，可得是，. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 又，， 所以. 5. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 【答案】B 【解析】 【分析】采用作差法比较与的大小，对差式配方后根据平方的非负性判断符号即可得到结论 【详解】 因为 所以，对任意实数，恒成立，即. 6. 二次函数的零点为（ ） A. 和 B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对原式进行凑配变形，转化为可应用基本不等式的结构，结合基本不等式求解最大值 【详解】已知，故，即， 所以  ， 根据基本不等式： ， 当且仅当，即时等号成立 所以，代入变形后的原式可得：  ， 所以，原式的最大值为. 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，正确； 对于B，若，则，错误； 对于C，若，则，错误； 对于D，， 因为，，所以，所以，正确. 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值是 C. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形后由基本不等式得到的最大值为；B选项，由基本不等式进行求解，但等号成立的条件不满足；C选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围是；D选项，由题意得且，故，变形换元化简得到，,由基本不等式进行求解. 【详解】A选项，若，则，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，A正确； B选项，，当且仅当，时，等号成立，但无解，故的最小值不为2，B错误； C选项，当时，，满足要求； 当时，恒成立，需满足， 解得，综上，的取值范围是，C正确； D选项，由题意得且，故， 则，分子分母同除以得， 因为，所以，令，则，令，，则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】，则， ，解得， 所以解集为． 13. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合. 【详解】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 14. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题：，；命题：， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题、为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵ 命题为真命题. ∴ 二次函数的图象恒在轴上方，对应判别式. 即. 解得. 【小问2详解】 ∵ 命题为假命题. ∴ 存在使得，对应判别式，解得. ∵ 命题为真命题. ∴ 一元二次方程有实根，对应判别式. 解得或. 取两个范围的交集，得. 16. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解得，即. 当时，. ∴ . 【小问2详解】 ∵ ""是""的必要条件, ∴ . 当时, 满足, 此时, 解得. 当时, 需满足, 解得. 综上, 实数的取值范围为. 17. （1）已知，且，求的最小值； （2）求证：若，，，则． 【答案】（1）100 （2）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 同理可得时等号成立），时等号成立） 三式相加可得：， 移项可得：，当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）由可得，进而利用基本不等式求解； （2）利用基本不等式及不等式相加的性质可得证. 【详解】（1）因为，，由可得. 根据基本不等式有：. 因此，令（）， 则不等式变为，即，因式分解得. 因为，所以，即，进而. 当且仅当且时取等号，解得，. 所以的最小值为. （2）略 18. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式，． 【答案】（1） （2）①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）二次函数开口向上，不等式解集为空集，转化为判别式小于求解参数范围； （2）对含参二次不等式因式分解，按五类讨论，区分一次与二次情形，比较两根大小，结合开口方向写出解集． 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由，得， 当时，，且，解得， 当时，，解得， 当时，，且，解得或， 当时，，解得； 当时，，且，解得或， 所以①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为． 19. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026-2027学年第一学期高一年级第一学程调研 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 6. 二次函数的零点为（ ） A. 和 B. C. D. 和 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值是 C. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为8 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________. 13. 已知集合，，则________． 14. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题：，；命题：， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题、为真命题，求实数的取值范围． 16. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）已知，且，求的最小值； （2）求证：若，，，则． 18. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式，． 19. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $